高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入2.1復(fù)數(shù)的加法與減法教材基礎(chǔ)北師大版選修2-2資料

1、2.1 復(fù)數(shù)的加法與減法 隨著虛數(shù)的產(chǎn)生,數(shù)系得到了進(jìn)一步的擴(kuò)充.同時(shí),隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步,逐步建立起來的復(fù)變數(shù)函數(shù)理論在應(yīng)用于堤壩滲水的問題、建立巨大水電站時(shí)所提供的理論依據(jù)中越來越需要進(jìn)行大量的加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算.早在1747年,法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾指出,如果按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算規(guī)則對(duì)虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,那么它的結(jié)果總是a+bi的形式(a、b都是實(shí)數(shù)).他開創(chuàng)了復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的先河.高手支招1細(xì)品教材一、復(fù)數(shù)的加法1.復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的加法按照以下法則進(jìn)行:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.兩個(gè)復(fù)數(shù)

2、和仍是一個(gè)復(fù)數(shù),其實(shí)部為a+c,虛部為b+d.因此,兩復(fù)數(shù)相加就是將兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相加作為和的實(shí)部,虛部相加作為和的虛部.【示例1】 計(jì)算(7+5i)+(2+3i).思路分析:實(shí)部相加作為和的實(shí)部,虛部相加作為和的虛部.解:(7+5i)+(2+3i)=(7+2)+(5+3)i=9+8i.【示例2】 計(jì)算:(-2+3i)+(5-i);(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR).思路分析:直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.解:原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.原式=(a-2a)+b-(-3b)-3i=-a+(4b-3)i.2.復(fù)數(shù)加法的交換律、結(jié)合律對(duì)任何z1,z2,z3C,復(fù)數(shù)

3、運(yùn)算律如下:(1)交換律:z1+z2=z2+z1.證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i.則:z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,而z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i,由a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1及復(fù)數(shù)相等的定義得:(a1+a2)+(b1+b2)i=(a2+a1)+(b2+b1)i,z1+z2=z2+z1.(2)結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.(z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2

4、+b2i)+(a3+b3i)=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iz1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).狀元筆記 因?yàn)閺?fù)數(shù)可以用向量表示,而向量的加法遵循平行四邊形法則,所以復(fù)數(shù)的加法遵循平行四邊形法則.3.復(fù)數(shù)加法的幾何意義 復(fù)數(shù)用向量表示以后,如果復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量不在同一直線上,那么這些復(fù)數(shù)的加法就可按向量加法的平行四邊形法則來進(jìn)行. 設(shè)及分別與復(fù)數(shù)a+bi,c+di對(duì)應(yīng),且

5、、不在同一直線上,以及為兩條相鄰邊畫平行四邊形OZ1ZZ2,畫x軸的垂線PZ1、QZ2及RZ,并且畫Z1SRS. 于是,點(diǎn)Z的坐標(biāo)是(a+c,b+d)，這說明就是復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)的向量. 由此可知,求兩個(gè)復(fù)數(shù)的和,可以先畫出與這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量、,如果、不在同一直線上,再以這兩個(gè)向量為兩條鄰邊作平行四邊形,那么與這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線所表示的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),就是所求兩個(gè)復(fù)數(shù)的和. 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量在同一直線上,則畫一條直線,平移,使的起點(diǎn)與的終點(diǎn)Z1重合,就得向量,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就表示復(fù)數(shù)z1與復(fù)數(shù)z2的和.【示例】 已知復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,求復(fù)數(shù)z.思路分析:

6、常規(guī)解法為設(shè)出z=a+bi(a,bR),代入等式后,可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求出a、b.也可以將復(fù)數(shù)從實(shí)部與虛部角度來理解,即將方程化為:z=(2-|z|)+8i,則其實(shí)部為2-|z|，虛部為8,然后利用復(fù)數(shù)求模運(yùn)算求得|z|.解法1:將z=a+bi(a,bR)代入等式,得a+bi+=2+8i,z=-15+8i.解法2:將方程化為:z=(2-|z|)+8i,|z|R,2-|z|是z的實(shí)部,于是,|z|=,即|z|2=68-4|z|+|z|2,|z|=17,z=(2-|z|)+8i=(2-17)+8i=-15+8i.二、復(fù)數(shù)的減法1.復(fù)數(shù)的減法法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),

7、復(fù)數(shù)的減法按照以下法則進(jìn)行:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.證明:根據(jù)復(fù)數(shù)的加法法則和復(fù)數(shù)相等的定義,有c+x=a,d+y=b,即x=a-c,y=b-d,(x+yi)=(a-c)+(b-d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.兩個(gè)復(fù)數(shù)差仍是一個(gè)復(fù)數(shù),其實(shí)部為a-c,虛部為b-d.因此,兩復(fù)數(shù)相減就是將兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相減作為差的實(shí)部,虛部相減作為差的虛部.【示例】 計(jì)算(1-3i)-(2+5i).思路分析:實(shí)部相減作為差的實(shí)部,虛部相減作為差的虛部.解:(1-3i)-(2+5i)=(1-2)+(-3-5)i=-1-8i.狀元筆記 復(fù)數(shù)z1-

8、z2所對(duì)應(yīng)的向量，實(shí)質(zhì)上就是從復(fù)數(shù)z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)指向復(fù)數(shù)z1所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的向量;而兩復(fù)數(shù)z1與z2差的模就是這兩個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.兩復(fù)數(shù)的加法和減法的幾何意義均可用平行四邊形法則來表達(dá).2.復(fù)數(shù)減法的幾何意義 復(fù)數(shù)減法的運(yùn)算同樣適應(yīng)向量的平行四邊形法則和三角形法則. 設(shè)與復(fù)數(shù)a+bi對(duì)應(yīng),與復(fù)數(shù)c+di對(duì)應(yīng),如圖以為一條對(duì)角線,為一邊畫平行四邊形,那么這個(gè)平行四邊形的另一邊所表示的向量就與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對(duì)應(yīng). 這是因?yàn)榕c平行且相等,所以向量也與這個(gè)差對(duì)應(yīng),實(shí)際上,兩個(gè)復(fù)數(shù)差z-z1(即-)與連結(jié)兩個(gè)終點(diǎn),并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng),這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.【示例】 已知z-|z|=-1+i,求復(fù)數(shù)z.思路分析:設(shè)z=x+yi(x,yR)將原復(fù)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)