電路與電子技術(shù)-正弦穩(wěn)態(tài)分析

1、第5章 正弦穩(wěn)態(tài)分析,5.1 基爾霍夫定律的相量式 5.2 歐姆定律的相量式 , 阻抗及導(dǎo)納 5.3 簡單交流電路的計算 5.4 交流電路的功率 5.5 正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸 5.6 正弦電路中的諧振 習(xí)題5,5.1 基爾霍夫定律的相量式,在交流電路中，對任何一瞬時而言，基爾霍夫定律都成立，用瞬時值表示為 對圖5.1中的節(jié)點A而言，應(yīng)有 i1-i2+i3=0,5.1,圖5.1 節(jié)點電流,由于在正弦交流電路中，所有激勵和響應(yīng)都是同頻率的正弦時間函數(shù)，因此可以用相應(yīng)的相量表示為 根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則可知：各正弦電流旋轉(zhuǎn)相量的虛部的代數(shù)和等于所有旋轉(zhuǎn)相量的代數(shù)和的虛部，于是上式可改寫成,顯然, 上式就是節(jié)

2、點電流瞬時值的相量式。推廣后的一般表示式為 式(5.2)表明流入電路中任一節(jié)點電流相量的代數(shù)和恒等于0。 同理可得到基爾霍夫電壓定律的相量式： （5.3,5.2,5.2 歐姆定律的相量式 , 阻抗及導(dǎo)納,1. 單參數(shù)交流電路的歐姆定律及阻抗 元件C和L上的電壓電流瞬時值關(guān)系式為 可見它們不存在類似電阻元件具有的歐姆定律的關(guān)系。R、L、C用相量式表示的歐姆定律為,5.4,上三式各分母項都具有阻礙電流通過的作用，它們的單位都是歐姆。為了統(tǒng)一表示上述關(guān)系，引入復(fù)數(shù)Z，稱為復(fù)數(shù)阻抗，簡稱復(fù)阻抗。對于不同的電路，復(fù)阻抗具有不同的意義。例如對電阻元件有Z=R，對電容元件有Z=-jXC，對電感元件有Z=jX

3、L，于是式(5.4) 、(5.5)和(5.6)可統(tǒng)一表示為,5.7,2. 多參數(shù)交流電路的歐姆定律及阻抗 實際電路往往由若干不同性質(zhì)的元件組成。下面以圖5.2所示的RLC串聯(lián)電路為例，推導(dǎo)出它們的歐姆定律的相量式及阻抗表達式,圖5.2 RLC串聯(lián)電路 (a) 電路圖； (b) 相量模型圖,由KVL知 u=uR+uL+uC 相量式為 把式(5.4)、(5.5)和(5.6)代入上式，得到 式中,5.8,5.9,有時需要把復(fù)阻抗寫成指數(shù)形式： Z=R+jX=zej （5.10） 式中,5.11,圖5.3 阻抗三角形,由式(5.11)知, R、X及z 三者的關(guān)系可用直角三角形表示，如圖5.3所示。 該

4、三角形稱為阻抗三角形。這里小寫字母z表示復(fù)阻抗的模、簡稱阻抗；是復(fù)阻抗的輻角，或稱為阻抗角。 若電壓相量是 , 電流相量是 , 則復(fù)阻抗,5.10,式中, 當(dāng)電抗值不同時，電路呈現(xiàn)出以下三種不同的特征： (1) 當(dāng)X0時，表明感抗大于容抗，電路呈現(xiàn)電感性，0，此時電壓相位超前于電流。 (2) 當(dāng)X0時，表明容抗大于感抗，電路呈現(xiàn)電容性，0，此時電流相位超前于電壓。 (3) 當(dāng) X=0時，表明感抗和容抗的作用相等，即XL=XC，電壓與電流同相，=0，此時電路如同純電阻電路一樣，這樣的情況稱為諧振。有關(guān)諧振問題將在后面討論,5.13,例5.1電路如圖5.2(b)所示，已知其中R=4，XL =3，X

5、C =6 ，電源電壓 =1000V，試求電路的電流相量及各元件上的電壓，并畫出相量圖。 解 復(fù)阻抗為 Z=R+j(X L-X C)=4+j(3-6)=4-j3=5-36.9 電流為 各元件上的分電壓為,各元件的相量和為,圖 5.4 例5.1相量圖 (a) 電壓電流相量關(guān)系； (b) 各電壓相量； (c) 阻抗三角形,3. 導(dǎo)納 比較方便。下面按圖5.5所示的RLC并聯(lián)電路，引出導(dǎo)納的概念及關(guān)系式,圖5.5 RCL并聯(lián)電路,設(shè)外加正弦電壓為 u=Um sin(t+u) 若各支路電流分別為iR、iL和iC，則總電流i為 i=iR+iL+iC 上式對應(yīng)的相量式為 因為,得到 即,5.14,5.15,

6、式(5.15)是歐姆定律的又一種相量表示式。式(5.14)中幾個符號的名稱和關(guān)系如下，其單位都是西門子(S)。電導(dǎo) 電感電納 電容電納,電納 復(fù)導(dǎo)納 Y=G-jB 復(fù)導(dǎo)納Y不是相量，所以符號上不加“”，只用大寫字母表示,復(fù)導(dǎo)納的指數(shù)形式表示為 式中, 由式(5.17)可知，G、B和y三個量的關(guān)系也可用直角三角形表示，稱為導(dǎo)納三角形，如圖5.6所示。,5.16,5.17,圖5.6 導(dǎo)納三角形,就一段無源支路而言，既可以用復(fù)阻抗表示，也可以用復(fù)導(dǎo)納表示。一段無源支路在同樣電壓下取得相同電流時，復(fù)導(dǎo)納與復(fù)阻抗互為倒數(shù)，即有 從式(5.18)可以看出: =- （5.19） 即阻抗角和導(dǎo)納角等值異號,5

7、.3 簡單交流電路的計算,1. 阻抗串聯(lián)電路 如圖5.7所示，有n個復(fù)阻抗串聯(lián),圖5.7 阻抗串聯(lián)電路,若每個阻抗元件的參數(shù)是 Z 1=R1+jX1 Z 2=R2+jX 2 = Z n=Rn+jX n 每個阻抗元件都應(yīng)服從歐姆定律的相量形式，即有,從式(5.20)知總電阻、總電抗和總復(fù)阻抗分別為 R=R 1+R 2+ :+R n= X=X 1+X 2+ :+X n= Z=Z 1+Z 2+ :+Z n= 串聯(lián)電路中各元件上的電壓分別是,5.21,5.22,例5.2 電路如圖5.8所示，已知電流相量 =50A，電容電壓UC=25V，阻抗Z1=(7.07+j12.07) 。求電路的總阻抗Z與端電壓

8、。 解 電路中的容抗為 電路中的總阻抗為 電壓相量為,圖5.8 例5.2電路圖,2. 阻抗并聯(lián)電路 有n個阻抗并聯(lián)，如圖5.9所示。 每個阻抗的參數(shù)分別是： Z 1=R 1+jX 1 Z2=R2+jX 2 Zn=Rn+jX n 每個阻抗元件上電壓電流關(guān)系都應(yīng)服從歐姆定律，即,圖5.9 阻抗并聯(lián)電路,由KCL知,式中的Y為并聯(lián)電路總的復(fù)導(dǎo)納： Y=Y1+Y2+ :+Yn= 當(dāng)只有兩個復(fù)阻抗并聯(lián)時，有,5.24,5.25,3. 阻抗串并聯(lián)電路 例5.3 如圖5.10(a)所示電路中，L=20 mH，C=10 F，R1=50 ，R2=30 ， =1500V，=1000 rad/s。求各支路電流并畫出

9、相量圖,圖 5.10 例5.3電路圖 (a) 電路； (b) 相量圖,解 容抗和感抗為 X L=L=10002010-3=20 并聯(lián)支路阻抗 Z2=R2+jL=30+j20 總阻抗 Z=Z1+Z 2=(40-j20)+(30+j20)=70,各支路電流為,4. 相量分析法的一般解題步驟 應(yīng)用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的一般步驟如下： (1) 將已知電壓、電流寫成相應(yīng)的相量形式。 為了運算或畫圖方便，一般選取初相為0的相量為參考相量； 若相量中初相均不為0，則可根據(jù)題意任選一個相量為參考相量。 (2) 把電路參數(shù)寫成相應(yīng)的復(fù)阻抗或復(fù)導(dǎo)納形式，并畫出它們的相量模型電路圖,一般串聯(lián)電路或僅含有兩條支路的

10、并聯(lián)電路以復(fù)阻抗形式表示比較簡便，多支路并聯(lián)電路以復(fù)導(dǎo)納形式表示比較簡便。 (3) 根據(jù)相量模型電路圖，應(yīng)用基爾霍夫定律的相量式，列出相應(yīng)的相量方程進行相量運算。 在運算中，若能畫出它們的相量圖，則可以幫助了解各相量之間的幾何關(guān)系，從而簡化計算過程。 (4) 將求解出的相量式變換成相應(yīng)的正弦函數(shù)的瞬時值表達式,5.復(fù)雜交流網(wǎng)絡(luò)的分析 交流復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的求解需要用第2章的所有定理和方法，例如支路電流法、網(wǎng)孔電流法、疊加原理、電壓源與電流源的等效變換以及戴維南定理等等,5.4 交流電路的功率,5.4.1 基本元件的功率 1. 電阻元件的功率 設(shè)電阻元件R上的端電壓u為 u=Um sin(t+) 則流過

11、R的電流為 i=Im sin(t,那么，電阻R上的瞬時功率p為 p=ui=UmIm sin +2(t+) =UI1-cos2(t+) =UI-UI cos(t+) 圖5.11所示。由于u和i同相, 因此瞬時功率恒為正，這表明電阻是個耗能元件。衡量電阻元件消耗功率的大小，用瞬時功率在一個周期的平均值，稱為平均功率或有功功率，單位是瓦（W）或千瓦（kW），用大寫字母P表示，即,5.26,5.27,圖 5.11 電阻元件的功率 (a) 電路模型； (b) 波形圖,2. 電感元件的功率 設(shè)電感元件中的電流和端電壓分別為i=Im sint和u=Um sin(t+/2)，則電感元件的瞬時功率為 如圖5.1

12、2所示,圖 5.12 電感元件的功率 (a) 電路模型； (b) 波形圖,電感元件的平均功率 （5.28） 為了衡量能量交換的規(guī)模，取其瞬時功率的最大值來表示，稱為無功功率，單位是乏（var）或千乏（kvar），用字母QL表示，即,5.29,從第3章式(3.12)知電感的儲能為 平均儲能為,5.30,3. 電容元件的功率 對電容元件的分析過程和電感元件相同。設(shè)電容元件中的電流和端電壓分別為uC=UCm sint和iC=Imsin(t+/2)，則電容元件的瞬時功率為,如圖5.13所示,圖 5.13 電容元件的功率 (a) 電路模型； (b) 波形圖,電容元件的平均功率 為了衡量能量交換的規(guī)模，取

13、其瞬時功率的最大值來表示，稱為無功功率，單位也是乏（var），用字母QC表示，即,5.31,5.32,由第3章式(3.6)知電容的儲能為 平均儲能為 5.4.2 二端網(wǎng)絡(luò)的功率和功率因數(shù) 圖5.14(a)所示為一線性無源二端網(wǎng)絡(luò),5.33,圖 5.14 無源二端網(wǎng)絡(luò)的功率 (a) 電路模型； (b) 波形圖,為討論問題簡便起見，設(shè) i=Im sint u=Um sin(t+) 則二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率為 p=ui=2UmIm sint sin(t+) =UIcos(1-cos2t)+sin sin2t =UI cos(1-cos2t)+UI sin(sin2t) （5.34） 式(5.34)表明二

14、端網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率為2個分量的疊加。第一項始終為正，它表示二端網(wǎng)絡(luò)從電源吸取的功率(其實就是電路中所有電阻R上消耗的功率之和)，其平均值為,上式是計算正弦交流電路有功功率的一般公式。cos稱為功率因數(shù); 角稱為功率因數(shù)角，其大小由電路的參數(shù)、頻率和結(jié)構(gòu)決定。對于純電阻電路，=0，cos=1，P=UI；對于純電容或純電感電路，=/2，cos=0，P=0；一般情況下，01，cos1，PUI。式（5.34）的第二項表示二端網(wǎng)絡(luò)中的電抗元件與電源之間能量交換的速率，其振幅為UI sin，它表示二端網(wǎng)絡(luò)與外電路能量交換的規(guī)模，定義其為無功功率，用Q表示,5.35,5.36,電路中總的無功功率等于各電感元件

15、和各電容元件的無功功率的代數(shù)和，即 在交流電路中，把電壓有效值與電流有效值的乘積UI稱為視在功率或設(shè)備容量，用字母S表示，單位是伏安(VA)或千伏安(kVA)，即 S=UI （5.38,5.37,二端網(wǎng)絡(luò)的有功功率P與視在功率S的關(guān)系為 P=UI cos=S cos （5.39） 一般交流用電設(shè)備，如發(fā)電機、變壓器等都是按照安全運行規(guī)定的額定電壓UN和額定電流IN運行的，所以把UN和IN的乘積稱為額定視在功率，用SN表示，即 S N=U NI N （5.41,5.40,SN表示了電源設(shè)備可能提供的最大有功功率，該功率也稱為額定容量，簡稱容量。 有功功率P、無功功率Q、視在功率S之間的關(guān)系可用圖

16、5.15的三角形表示，該三角形稱為功率三角形,圖5.15 功率三角形,從功率三角形可看出 P=UI cos=S cos Q=UI sin=S sin S2=P 2+Q 2 S= =arctan,5.42,5.4.3 復(fù)功率 把功率三角形放在復(fù)平面里，用復(fù)數(shù)來表示的功率稱為復(fù)功率，用 表示: 例5.4電路如圖5.16所示，電源頻率為50 Hz，電壓為220 V，求： (1) 電路的功率因數(shù)cos，電路消耗的有功功率P，無功功率Q； (2) 在電路a , b端并入一個80 F的電容后，電路的功率因數(shù)。,5.43,圖5.16 例5.4電路圖,解 (1) 電路的阻抗為 Z=4+16+j20=20+j2

17、0=20 45 功率因數(shù)為 cos=cos45=0.707 設(shè)電源電壓相量 =2200V, 則電路的電流為 有功功率P為 P=IU cos=7.782200.707=1210 W 無功功率Q為 Q=UI sin=7.782200.707=1210 var,2) 并入一個80 F的電容后，電容的阻抗為 電路的總阻抗變?yōu)?功率因數(shù)cos為 cos=cos11.3=0.98,5.5 正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸,如圖5.17所示電路，設(shè)負(fù)載Z=R+jX，電源為 =U 00，電源的內(nèi)阻抗為Z 0=r 0+jX 0,圖5.17 電路模型圖,由電路圖知 電流的有效值為 負(fù)載獲得的功率為,由上式可知，若r不變，僅改變

18、X，則為了獲得最大功率，應(yīng)使 X+X0=0 即 X=-X0 這時電路變?yōu)榧冸娮桦娐?，其功率?在X=-X0的條件下，改變R使負(fù)載獲得最大傳輸功率的條件應(yīng)該是 從而可得出R=r0,綜上所述，負(fù)載獲得最大功率的條件是 R=r 0 及X=-X0 （5.44） 用復(fù)數(shù)形式可以寫成 Z=Z*0 （5.45） 即負(fù)載阻抗為電源內(nèi)阻抗的共軛值時（或稱負(fù)載阻抗與電源或信號源相匹配，這種匹配也稱為共軛匹配），負(fù)載可獲得最大傳輸功率，其最大功率為,5.46,例5.5 如圖5.18(a)所示，若ZL中的RL和XL均可改變，則ZL等于多少時，負(fù)載才能獲得最大功率? 最大功率為多少,圖 5.18 例5.5電路圖,解 首

19、先可求出ZL端口的戴維南等效電路，如圖5.18(b)所示。等效內(nèi)阻抗為 等效電源為 所以，ZL獲得最大功率的條件是 ZL =Z* 0=1.2-j0.4,ZL獲得的最大功率為,5.6 正弦電路中的諧振,5.6.1 串聯(lián)電路的諧振 在圖5.19所示的RLC串聯(lián)電路中，電路的總阻抗為,圖5.19 RLC串聯(lián)電路,當(dāng)L-1/(C)=0時，Z=R，阻抗角=0，電壓與電流同相。這種狀態(tài)稱為串聯(lián)諧振，其特點如下： (1) 阻抗為純電阻，且為最小值。 設(shè)諧振時的阻抗為Z0，則 (2) 電流為最大值。 設(shè)諧振時的電流為 ，則,3) 諧振頻率為 諧振時有 則,5.47,4) 電感和電容上的電壓相等，且為激勵源電壓

20、的Q倍。由于調(diào)諧時 因此,5.48,其中, 5.6.2 并聯(lián)電路的諧振 在圖5.20所示的 RLC并聯(lián)電路中，其回路導(dǎo)納Y為,圖5.20 RLC并聯(lián)電路,1) 回路導(dǎo)納為純電阻性，且為最小值。 設(shè)諧振時的導(dǎo)納為Y0，則 Y=Y 0=G-jB= 由于Y0為最小值，因此Z0為最大值。當(dāng)電路的品質(zhì)因數(shù)Q= 很大時，有Z=Z 0= (2) 電壓為最大值。 設(shè)諧振時的電壓為U 0，則 由于IS恒定，Z0為最大，因此U0為最大值,3) 諧振頻率為 由于諧振時 因此可求出,4) 電感和電容上的電流大小、相位相反，且為激勵電流的Q倍。由于 因此當(dāng)Q值較大時，有,習(xí)題5,1. 試求題圖5.1所示各電路的輸入阻抗

21、Z和導(dǎo)納Y,題圖 5.1,2. 已知題圖5.2所示電路中 =20A，求電壓 ，并作出電路的相量圖,題圖 5.2,3. 電路如題圖5.3所示， 試求 和 ，并畫出表示它們關(guān)系的相量圖,題圖5.3,4. 電路如題圖5.4所示，已知 =40A， =80+j200 V，=10 +3 rad/s，求電容C,題圖5.4,5. 電路如題圖5.5所示，已知R=50 ，L=2.5 mH，C=5 F， =100 V，=10 +4 rad/s，求 和 , 并畫出相量圖,題圖5.5,6. 電路如題圖5.6所示，Z 2=j60 ，各交流電表V , V1 , V2的讀數(shù)分別為100 V , 171 V ,240 V。求阻抗Z1，并說明其性質(zhì),題圖 5.6,7. 電路如題圖5.7所示，已知R1=1.5k，R2=1k，L=