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文檔簡介
1、勾股定理經典例題類型一:勾股定理的直接用法1. 在 RtAABC 中,ZC=90已知 a=6,c=10,求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c; (3)已知 c=25, b=15,求 a.思路點撥:寫解的過程中,一定要先寫上在哪個直角三角形中,注意勾股定理的變形使用。舉一反三【變式】:如圖, Q13,爐12, Q3,則AB的長是多少?類型二:勾股定理的構造應用2、如圖,巳知:在中,= = 70, 5 = 30.求:BC的長1、某市在舊城改造中,計劃在市一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境,巳知這種草皮每平方米售價a元,則購買這種草皮至少需要()A. 450a 元B. 225a
2、 元 C、150a 元D、 300a 元舉一反三【變式1】如圖,已知:= 9迸,AM = CM 9丄曲于只 求證:BP2=APUBC2【變式2】已知:如圖,ZB=ZD=90 , ZA=60 , AB=4, CD二2。求:四邊形ABCD的面積。類型三:勾股定理的實際應用(一)用勾股定理求兩點之間的距離問題3、如圖所示,在一次夏令營活動中,小明從營地A點出發(fā),沿北偏東60方向走了知屁到達B 點,然后再沿北偏西30方向走了 500m到達目的地C點。(1) 求A、C兩點之間的距離。(2) 確定目的地C在營地A的什么方向。舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車,其外形高2. 5米,寬1.6米,要開進廠門形狀
3、如圖的某工廠,問這輛 卡車能否通過該工廠的廠門?(二)用勾股定理求最短問題4、如圖,一圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā), 沿著圓柱的側面爬行到點C,試求出爬行的最短路程.類型四:利用勾股定理作長為而的線段5、作長為血、忑、厲的線段。 作法:如圖所示舉一反三 【變式】在數軸上表示折的點。解析:可以把歷看作是直角三角形的斜邊,(姮二1, 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數,而10又是9和1這兩個完全平方數的和,得另外兩邊分別長3和1。作法:如圖所示在數軸上找到A點,使0A=3,作AC丄0A且截取AC二1,以OC為半徑, 以0為圓心做弧,弧與數軸的
4、交點B即為巫。類型五:逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1. 原命題:貓有四只腳.(正確)2. 原命題:對頂角相等(正確)3. 原命題:線段垂道平分線上的點,到這條線段兩端距離相等.(正確)4. 原命題:角平分線上的點,到這個角的兩邊距離相等.(正確)7、如果 ABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷A ABC的形狀。舉一反三【變式1】四邊形ABCD中,ZB=90 , AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四邊形ABCD的面積。【變式2】已知:磁的三邊分別為m2-n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數,且m
5、n),判斷AABC是否為直角 三角形.丄【變式3】如圖正方形ABCD, E為BC中點,F為AB上一點,且BF= ABo 請問FE與DE是否垂直?請說明?!敬鸢浮看穑篋E丄EF。證明:設 BF=a,則 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD2=4a2+16a=20a2。連接DF (如圖)DAFADga2+ 16a2=25a2。:.DF2二EF+DE:FE丄DE。練習一、判斷直角三角形問題:1、.滿足下列條件的不是直角三角形的是A. Z2=c2-a2 B. a : 6 : g3 : 4 : 5C. ZC=ZA-ZBD. Z
6、A: ZB: ZC=12 : 13 : 152、若一個三角形的三邊長的平方分別為:32, 4%彳則此三角形是直角三角形的#的值是A. 42B. 52C.7D.5?或 73、如果磁的三邊分別為加一I, 2 m, m+1(21)那么A. AABC是直角三角形,且斜邊長為分+1B. 磁長直角三角形,且斜邊長2為血C仏ABC是直角三角形,但斜邊長需由刃的大小確定D. AABC不長直角三角形4、已知 RtAABC 中,ZC=90 ,若 a+b=14cm, c=10cm,則 RtAABC 的面積長()A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25、下面幾組數:7,8,9;(2)12,9,15;
7、m2+n2, m2 - n2, 2mn(m,n 均為正整數,mn);a21 a2+11 a2+2.其中能組成直角三角形的三邊長的長()A.;B.;C.;D.6、三角形的三邊長為 + b)2=c2+2ab,則這個三角形是()A.等邊三角形;B.鈍角三角形;C.直角三角形; D.銳角三角形.7、已知|x-6| + |y-8| + (z-10)2=0,則由此工,”Z為三邊的三角形長三角形.9、已知a, b, c為磁三邊,且滿足a+c+338=10-242H-26a試判斷磁的形狀.10、若磁的三邊長為a,b,c,根據下列條件判斷磁的形狀.(1) a2+c2/?3=011、已知,ZABC中,AB=17c
8、m, BC=16cm, BC邊上的中線AD二15cm,試說明AABC是等腰三角形。經典例題精析類刮一勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3: 4,斜邊長是20,求此直角三角形的面積。舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長為2,求它的面積。注:等邊三角形面積公式:若等邊三角形邊長為a,則其面積為4 ao【變式2】直角三角形周長為12cm,斜邊長為5cm,求直角三角形的面積?!咀兪?】若直角三角形的三邊長分別是n+1. n+2, n+3,求n??偨Y升華:注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方,在題目沒有給出哪條是直 角邊哪條是斜邊的情況下,首先要先確定斜邊,直角邊
9、?!咀兪?】以下列各組數為邊長,能組成直角三角形的是()A、 8, 15, 17 B、 4, 5, 6 C 5, 8, 10 D、 8, 39, 40類型二:勾股定理的應用2、如圖,公路MN和公路PQ在點P處交匯,且ZQPN=30,點A處有一所中學,AP=160mo假設拖 拉機行駛時,周圍100m以會受到噪音的影響,那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時,學校是否會 受到噪聲影響?請說明理由,如果受影響,已知拖拉機的速度為18km/h,那么學校受影響的時間為多少 秒?總結升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的 方法,構造直角三角形以便利用勾股定理
10、。舉一反三【變式1】如圖學校有一塊長方形花園,有極少數人為了避開拐角而走“捷徑S在花園走 出了一條“路”。他們僅僅少走了步路(假設2步為lm),卻踩傷了花草。【答案】4【變式2】如圖中的虛線網格我們稱之為正三角形網格,它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角 形,這樣的三角形稱為單位正三角形。(D直接寫出單位正三角形的高與面積。(2) 圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形?平行四邊形ABCD的面積長多少?(3) 求出圖中線段AC的長(可作輔助線)。類型三:數學思想方法方程的思想方法4、如圖所示,巳知AABC 中,ZC=90 , ZA=60 , q +思路點撥:由+ 再找出必、B的關系即
11、可求出必和的值。 解:在 RtAABC 中,ZA=60 , ZB=90 -ZA=30Q ,則2 込 由勾股定理,得Q =朋-* =(2硏-護。 因為a+b = 3+艮 所以忌+b = 3 +昉,羽(+1)語+1總結升華:在直角三角形中,30。的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半。舉一反三:【變式】如圖所示,折疊矩形的一邊AD,使點D落在BC邊的點F處,已知AB=8cm, BC=10cm,求EF的長。解:因為ZkADE與ZkAFE關于AE對稱,所以AD=AF, DE=EFO 因為四邊形ABCD是矩形,所以ZB=ZC=90 , 在 RtAABF 中,AF=AD=BC=10cm, AB=8cm,gr.n/ BF =- AB2 = /102 - 82 = 6(cm)= BC- BF =10 - 6 = 4(cm)設5C = xcm,則SF = DE=(3-mo在RtAECF中,歐嚴+陽2=渥嚴,即x2+42 =(8-x)解得3。SF = =(8-x)cm = 5cm 即 EF 的長為 5cm。三、折疊問題1.已知,如圖長方形ABCD中,AB=3cm, AD=9cm,將此長方形折疊,使點B與點D重合,折痕為EF,則ABE 的面積為
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