微積分練習(xí)題5定積分考例

1、基礎(chǔ)課程教學(xué)資料祝福您及家人身體健康萬事如意闔家歡樂！祝福同學(xué)們快樂成長，匚紡取得好成績，為祖國奉獻力量1.: e 廠3dx解令t二.x 3，則x =忙_33 t原積分=2 e tdtJ 233-2tde2tet |3 -2 2 etdt3.232.32=6e -4e -2e 2e 4e -2e 。2.dx解令x = sect，則原積分二M 14sect tan tdt0 sect tan t兀4dt =42求積分-be 1dx。x(x 2)原積分忖11(x 1)-1(x 1)1-be1 , 1 1 . oIn In 3。12321 4=o注：原積分二丄2. 1lx x+2 丿 20x = -

2、(1 n x Tn( x + 2)。3.x 2Ldt( f(u)du求極限lim(x-2)22fx f (u)du原極限=lim T 2(x _2)，其中f (x)連續(xù)。-f(x) f(2)2求極限Hm0o2 -1)dxln(1 x6)X2 t2(e -1)dt解原式二lim 07（等價無窮小代換）X4.2x(e -1)=lim5_-x 卩6x5e 一13x41 一35.設(shè) f (x)是連續(xù)函數(shù)，H (t x) f (2x t)dt =sinx+cosx，求f (x)dx.-x- u有誤：x耳0時，左端為0，右端為1。 此題等式的右端應(yīng)改為sin osx y解 先求出f（X）的表達式。在積分中

3、去換兀u =2x - t，貝y t =2x - u。x (x 一 u) f (u)du 二 sinx cosx于是積分等式變?yōu)?- J (x-u) f(u)du = sinx + cosx，即對方程的左端求導(dǎo)；(x u)f (u)du = x ； f (xu)du - J0 uf (u)du jx；f（u）du_xxo uf(u)duf(u)du xf(x)xf(x) f(u)du在方程的兩端求二階導(dǎo)數(shù)可得f（x）二-sinx -cosx ,遲2f(x)dx 二-2。三.（本題滿分8分）2 1設(shè)D是由拋物線y =2x和直線x=2所圍成的平面區(qū)域,(1)(2)求區(qū)域D的面積；求區(qū)域D繞y軸旋轉(zhuǎn)一

4、周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(1) |D| =1 1022 2xdx2X2 1矜(2 ) Vy 1 2(2)1 -2/ j dx1. J2-X解令 t R.J2 x，則 X=2_t2(1 +x2) 0。1 1 二 原積分=_ (2t)dt = 2 f dt = 2( 1) otM1. l或原積分二-2 d .2 一 x = 2( . 2 一 1) o o2.X(1x2)2dx解原積分:-2d(x 1)0 (1 x2)2-bo1x 2 0 (1 2t )e2 t2 _x2(dt解原極限X 2t22(1 2t2)etdt二 lim -X )二2xeV/X2t2eo(1 2t2)et dtx 2 t2x22

5、x2J。(1+2t2) dt+e (1+2x2)ex 2x2)ex2 2x o (1 2t2)et2dtx2exe4 - .mX2 x2r2 t22 x22x(1 2x2)ex -2 0 (1 2t2)et dt-2x(1 2x2)ex2xee2XXX2x2x2X2 t20 (1 2t2)et dtxe=12.叩IX2 x22 x24x2eX -(1 2x2)eXx22 x2ex 2x2ex1x 211.計算 I = J x2 f (x)dx ,其中 f (x) = J 3e dt X解此時X t23 e 一 dt 二01dtTx2edx =1 1 33 o (tt)e_t2心。tedt 13t3e*dtoed(t2) =1(1-e)13 t2t3e J dt 二_2ft2d(ef = U_fe2d(t2) -1 eJ (eJ -1) i1(2eJ)2 2故| =丄(1-e)一丄(12e)e6 6 614.(