6平衡中的“臨界、極值”問題

1、平衡中的“臨界、極值”問題基礎(chǔ)保分類考點(diǎn)1.多選如圖所示，一根上端固定的輕繩，其下端拴一個質(zhì)量為2 kg的小球，g取10 m/s2，開始時輕繩處于豎直位置。用一方向與水平面成37角的外力F拉動小球，使繩緩慢升起至水平位置。這一過程中輕繩拉力的(取cos 370.8，sin 370.6)()A最小值為16 NB最小值為20 NC最大值為26.7 N D最大值為20 N解析：選AC小球受重力mg、拉力F、繩施加的力F繩處于平衡狀態(tài)。如圖所示，應(yīng)用極限法分析臨界點(diǎn)。在力三角形為直角OAB時，F(xiàn)繩小，為最小值(臨界點(diǎn))，有F繩小mgcos 3716 N，故A對，B錯。在力三角形為直角OCB時，F(xiàn)繩大，

2、為最大值(臨界點(diǎn))，有F繩大26.7 N，故C對，D錯。2.多選某學(xué)習(xí)小組為了體驗(yàn)最大靜摩擦力與滑動摩擦力的臨界狀態(tài)，設(shè)計了如圖所示的裝置，一位同學(xué)坐在長直木板上，讓長直木板由水平位置緩慢向上轉(zhuǎn)動(即木板與地面的夾角變大)，另一端不動，則該同學(xué)受到支持力FN、合外力F合、重力沿斜面方向的分力G1、摩擦力Ff隨角度的變化關(guān)系圖中正確的是() 解析：選ACD重力沿斜面方向的分力G1mgsin ，C正確；支持力FNmgcos ，A正確；該同學(xué)滑動之前，F(xiàn)合0，F(xiàn)fmgsin ，滑動后，F(xiàn)合mgsin mgcos ，F(xiàn)fmgcos ，考慮到最大靜摩擦力略大于滑動摩擦力的情況，可知B錯誤，D正確。3.如

3、圖所示，三根長度均為l的輕繩分別連接于C、D兩點(diǎn)，A、B兩端被懸掛在水平天花板上，相距2l?，F(xiàn)在C點(diǎn)上懸掛一個質(zhì)量為m的重物，為使CD繩保持水平，在D點(diǎn)上可施加的力的最小值為()Amg B.mgC.mg D.mg解析：選C分析結(jié)點(diǎn)C的受力如圖甲所示，由題意可知，繩CA與豎直方向間夾角為30，則可得：FDmgtan mg，再分析結(jié)點(diǎn)D的受力如圖乙所示，由圖可知，F(xiàn)D與FD大小相等且方向恒定，F(xiàn)B的方向不變，當(dāng)在D點(diǎn)施加的拉力F與繩BD垂直時，拉力F為最小，即FFDcos 30mg，C正確。1臨界問題：當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體的平衡“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”某種臨

4、界狀態(tài)，在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等字眼。2極值問題：平衡問題的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值。3求解臨界、極值問題的常用方法(1)圖解法：根據(jù)已知量的變化情況，畫出平行四邊形或三角形的邊角變化，進(jìn)而確定未知量大小、方向的變化，求出臨界值或極值。(2)解析法：利用物體受力平衡寫出未知量與已知量的關(guān)系表達(dá)式，根據(jù)已知量的變化情況來確定未知量的變化情況，求出極值，或利用臨界條件確定未知量的臨界值。 1.(2018屆高三河南名校聯(lián)考)如圖所示，斜面小車M靜止在光滑水平面上，一邊緊貼墻壁。若再在斜面上加一物體m，且小車M、物體m相對靜止，此時小車受力個數(shù)為()A3B4C5

5、 D6解析：選B對小車和物體整體，它們必受到重力和地面的支持力，因小車、物體相對靜止，由平衡條件知墻面對小車無作用力，以小車為研究對象，它受重力Mg，地面的支持力FN1，物體對它的壓力FN2和靜摩擦力Ff，共四個力，選項B正確。2.(2017湖南師大附中期末)如圖所示，兩根直木棍AB和CD相互平行，斜靠在豎直墻壁上固定不動，一個圓筒從木棍的上部以初速度v0勻速滑下。若保持兩木棍傾角不變，將兩棍間的距離減小后固定不動，仍將圓筒放在兩木棍上部以初速度v0滑下，下列判斷正確的是()A仍勻速滑下 B勻加速滑下C減速滑下 D以上三種運(yùn)動均可能解析：選B圓筒從木棍的上部勻速滑下過程中，受到重力、兩棍的支持

6、力和摩擦力，根據(jù)平衡條件得知，兩棍支持力的合力和摩擦力不變。將兩棍間的距離減小后，兩棍支持力的合力不變，而兩支持力夾角減小，則每根木棍對圓筒的支持力變小，則滑動摩擦力變小，而重力沿斜面向下的分力不變，則圓筒將勻加速滑下，故B正確，A、C、D錯誤。3.如圖所示，一豎直放置的大圓環(huán)，在其水平直徑上的A、B兩端系著一根不可伸長的柔軟輕繩，繩上套有一光滑小鐵環(huán)?，F(xiàn)將大圓環(huán)在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)順時針緩慢轉(zhuǎn)過一個微小角度，則關(guān)于輕繩對A、B兩點(diǎn)拉力FA、FB的變化情況，下列說法正確的是()AFA變小，F(xiàn)B變小 BFA變大，F(xiàn)B變大CFA變大，F(xiàn)B變小 DFA變小，F(xiàn)B變大解析：選A柔軟輕繩上套有光滑小鐵環(huán)，

7、兩側(cè)輕繩中拉力相等。將大圓環(huán)在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)順時針緩慢轉(zhuǎn)過一個微小角度，A、B兩點(diǎn)之間的水平距離減小，光滑小鐵環(huán)兩側(cè)輕繩間夾角2減小，由2Fcos mg可知，輕繩中拉力F減小，輕繩對A、B兩點(diǎn)的拉力FA和FB都變小，選項A正確。4多選如圖所示，用一輕繩將光滑小球(大小不能忽略)系于豎直墻壁上的O點(diǎn)，現(xiàn)用一細(xì)桿壓在輕繩上緊貼墻壁從O點(diǎn)緩慢下移，則()A輕繩對小球的拉力保持不變B輕繩對小球的拉力逐漸增大C小球?qū)Ρ诘膲毫χ饾u增大D小球?qū)Ρ诘膲毫χ饾u減小解析：選BC對小球受力分析，如圖所示，由于小球始終處于平衡狀態(tài)，其合力為零，在細(xì)桿從O點(diǎn)緩慢下移過程中，輕繩與豎直方向的夾角增大，由圖中幾何關(guān)系

8、可知：輕繩對小球的拉力F逐漸增大，墻壁對小球的支持力FN也逐漸增大，根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)Ρ诘膲毫σ仓饾u增大，故選項B、C正確，A、D錯誤。5多選(2018屆高三皖南八校聯(lián)考)如圖所示，三角形ABC是固定在水平面上的三棱柱的橫截面，A30，B37，C處有光滑小滑輪，質(zhì)量分別為m1、m2的兩物塊通過細(xì)線跨放在AC面和BC面上，且均恰好處于靜止?fàn)顟B(tài)，細(xì)線均與斜面平行，已知AC面光滑，物塊2與BC面間的動摩擦因數(shù)0.5，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則兩物塊的質(zhì)量比m1m2可能是()A13 B35C53 D21解析：選BCD物塊1受重力m1g、細(xì)線拉力T和斜面支持力FN作用處于平衡狀態(tài)，則Tm

9、1gsin 30，物塊2受重力m2g、細(xì)線拉力T、斜面支持力FN及摩擦力Ff作用處于平衡狀態(tài)，當(dāng)m1較大時，最大靜摩擦力方向沿斜面向下，此時有Tm2gsin 37m2gcos 37，即2；當(dāng)m1較小時，最大靜摩擦力方向沿斜面向上，此時有Tm2gsin 37m2gcos 37，即，所以2。6.如圖所示，一小球在斜面上處于靜止?fàn)顟B(tài)，不考慮一切摩擦，如果把豎直擋板由豎直位置繞O點(diǎn)緩慢轉(zhuǎn)至水平位置，則此過程中球?qū)醢宓膲毫1和球?qū)π泵娴膲毫2的變化情況是()AF1先增大后減小，F(xiàn)2一直減小BF1先減小后增大，F(xiàn)2一直減小CF1和F2都一直在增大DF1和F2都一直在減小解析：選B小球初始時刻的受力情

10、況如圖甲所示，因擋板是緩慢轉(zhuǎn)動的，所以小球處于動態(tài)平衡狀態(tài)，在轉(zhuǎn)動過程中，重力、斜面的支持力和擋板的彈力組成的矢量三角形的變化情況如圖乙所示(重力的大小方向均不變、斜面對小球的支持力的方向始終不變)，由圖可知此過程中斜面對小球的支持力不斷減小，擋板對小球的彈力先減小后增大，由牛頓第三定律可知選項B正確。7.(2017南昌質(zhì)檢)如圖所示，粗糙水平面上有一固定的、粗糙程度處處相同的圓弧形框架ABC，框架下面放置一塊厚度不計的金屬板，金屬板的中心O點(diǎn)是框架的圓心，框架上套有一個輕圓環(huán)，用輕彈簧把圓環(huán)與金屬板的O點(diǎn)固定連接，開始時輕彈簧處于水平拉伸狀態(tài)。用一個始終沿框架切線方向的拉力F拉動圓環(huán)，從左側(cè)

11、水平位置緩慢繞框架運(yùn)動，直到輕彈簧達(dá)到豎直位置，金屬板始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，則在整個過程中()A沿框架切線方向拉力F逐漸減小B水平面對金屬板的摩擦力逐漸增大C水平面對金屬板的支持力逐漸減小D框架對圓環(huán)的支持力逐漸減小解析：選C彈簧伸長量不變，彈簧的彈力大小F不變，設(shè)彈簧與水平方向的夾角為。金屬板受重力mg、支持力N、彈簧的拉力F和向右的靜摩擦力f作用，水平方向fFcos ，豎直方向NFsin mg，得NmgFsin ，隨著的增大，支持力不斷減小，靜摩擦力逐漸減小，故B錯，C對；圓環(huán)受彈簧的拉力、框架的支持力(大小不變?yōu)镕)、拉力F和滑動摩擦力f，有FfF，故拉力大小不變，A、D錯。8多選(2018

12、屆高三南昌三中摸底)如圖所示，穿在一根光滑的固定桿上的小球A、B連接在一條跨過定滑輪的細(xì)繩兩端，桿與水平面成角，不計所有摩擦，當(dāng)兩球靜止時，OA繩與桿的夾角為，OB繩沿豎直方向，則下列說法正確的是()A小球A可能受到2個力的作用B小球A一定受到3個力的作用C小球B可能受到3個力的作用D細(xì)繩對A的拉力與對B的拉力大小相等解析：選BD對A球受力分析可知，A受到重力、細(xì)繩的拉力以及桿對A球的彈力，三個力的合力為零，故A錯誤，B正確；對B球受力分析可知，B受到重力、細(xì)繩的拉力，兩個力的合力為零，桿對B球沒有彈力，否則B不能平衡，故C錯誤；定滑輪不改變力的大小，即細(xì)繩對A的拉力與對B的拉力大小相等，故D

13、正確。9(2017全國卷)一根輕質(zhì)彈性繩的兩端分別固定在水平天花板上相距80 cm的兩點(diǎn)上，彈性繩的原長也為80 cm。將一鉤碼掛在彈性繩的中點(diǎn)，平衡時彈性繩的總長度為100 cm；再將彈性繩的兩端緩慢移至天花板上的同一點(diǎn)，則彈性繩的總長度變?yōu)?彈性繩的伸長始終處于彈性限度內(nèi))()A86 cm B92 cmC98 cm D104 cm解析：選B將鉤碼掛在彈性繩的中點(diǎn)時，由數(shù)學(xué)知識可知鉤碼兩側(cè)的彈性繩(勁度系數(shù)設(shè)為k)與豎直方向夾角均滿足sin ，對鉤碼(設(shè)其重力為G)靜止時受力分析，得G2kcos ；彈性繩的兩端移至天花板上的同一點(diǎn)時，對鉤碼受力分析，得G2k，聯(lián)立解得L92 cm，可知A、C

14、、D項錯誤，B項正確。10.多選如圖所示，質(zhì)量均為m的小球A、B用勁度系數(shù)為k1的輕彈簧相連，B球用長為L的細(xì)繩懸于O點(diǎn)，A球固定在O點(diǎn)正下方，當(dāng)小球B平衡時，繩子所受的拉力為FT1，彈簧的彈力為F1；現(xiàn)把A、B間的彈簧換成原長相同但勁度系數(shù)為k2(k2k1)的另一輕彈簧，在其他條件不變的情況下仍使系統(tǒng)平衡，此時繩子所受的拉力為FT2，彈簧的彈力為F2，則下列關(guān)于FT1與FT2、F1與F2大小之間的關(guān)系，正確的是()AFT1FT2 BFT1FT2CF1F2 DF1F2解析：選BC小球B受重力mg、繩子拉力FT和彈簧彈力F三個力而平衡，平移FT、F構(gòu)成矢量三角形如圖所示，由圖可以看出，力的矢量三

15、角形總是與幾何三角形OAB相似，因此有，其中OA、L保持不變，因此繩子的拉力FT大小保持不變，A錯誤、B正確；當(dāng)彈簧的勁度系數(shù)k增大時，彈簧的壓縮量減小，A、B間距離增大，因此對應(yīng)的力F增大，C正確、D錯誤。11.多選如圖所示，用一段繩子把輕質(zhì)滑輪吊裝在A點(diǎn)，一根輕繩跨過滑輪，繩的一端拴在井中的水桶上，人用力拉繩的另一端，滑輪中心為O點(diǎn)，人所拉繩子與OA的夾角為，拉水桶的繩子與OA的夾角為。人拉繩沿水平面向左運(yùn)動，把井中質(zhì)量為m的水桶勻速提上來，人的質(zhì)量為M，重力加速度為g，在此過程中，以下說法正確的是()A始終等于B吊裝滑輪的繩子上的拉力逐漸變大C地面對人的摩擦力逐漸變大D地面對人的支持力逐

16、漸變大解析：選ACD水桶勻速上升，拉水桶的輕繩中的拉力T始終等于mg，對滑輪受力分析如圖甲所示，垂直于OA方向有Tsin Tsin ，所以，沿OA方向有 FTcos Tcos 2Tcos ，人向左運(yùn)動的過程中變大，所以和均變大，吊裝滑輪的繩子上的拉力F變小，選項A正確，B錯誤；對人受力分析如圖乙所示，逐漸變大，水平方向有fTsin ，地面對人的摩擦力逐漸變大，豎直方向有FNTcos Mg，地面對人的支持力FNMgTcos 逐漸變大，選項C、D正確。12.(2016全國卷)如圖，兩個輕環(huán)a和b套在位于豎直面內(nèi)的一段固定圓弧上；一細(xì)線穿過兩輕環(huán)，其兩端各系一質(zhì)量為m的小球。在a和b之間的細(xì)線上懸掛

17、一小物塊。平衡時，a、b間的距離恰好等于圓弧的半徑。不計所有摩擦。小物塊的質(zhì)量為()A.B.mCm D2m解析：選C如圖所示，由于不計摩擦，線上張力處處相等，且輕環(huán)受細(xì)線的作用力的合力方向指向圓心。由于a、b間距等于圓弧半徑，則aOb60，進(jìn)一步分析知，細(xì)線與aO、bO間的夾角皆為30。取懸掛的小物塊研究，懸掛小物塊的細(xì)線張角為120，由平衡條件知，小物塊的質(zhì)量與小球的質(zhì)量相等，即為m。故選項C正確。13.(2017保定一模)在機(jī)場貨物托運(yùn)處，常用傳送帶運(yùn)送行李和貨物，如圖所示?？吭谝黄鸬膬蓚€材料相同、質(zhì)量和大小均不同的行李箱隨傳送帶一起上行，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則下列說法正確的是

18、()A勻速上行時b受3個力作用B勻加速上行時b受4個力作用C在上行過程中傳送帶因故突然停止后，b受4個力作用D在上行過程中傳送帶因故突然停止后，b受的摩擦力一定比原來大解析：選A勻速上行時，對行李箱a、b受力分析，分別受重力、支持力和靜摩擦力作用，a、b間沒有擠壓，故不會有彈力，A正確；同理，勻加速上行時，a、b間也沒有擠壓，故不會有彈力，B錯誤；在上行過程中傳送帶因故突然停止時，a、b由于慣性繼續(xù)上滑，根據(jù)牛頓第二定律，有mgsin mgcos ma，解得ag(sin cos )，由于a、b的材料相同，動摩擦因數(shù)相同，故加速度相同，沒有相互擠壓，a、b受重力、支持力和沿傳送帶向下的摩擦力三個

19、力作用，C錯誤；在上行過程中傳送帶因故突然停止后，a、b由于慣性繼續(xù)上滑，所受摩擦力為滑動摩擦力，而a、b沿傳送帶勻速運(yùn)動時所受摩擦力不大于最大靜摩擦力，故b受到的摩擦力不一定變大，D錯誤。14多選(2017天津高考)如圖所示，輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點(diǎn)，懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài)。如果只人為改變一個條件，當(dāng)衣架靜止時，下列說法正確的是()A繩的右端上移到b，繩子拉力不變B將桿N向右移一些，繩子拉力變大C繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小D若換掛質(zhì)量更大的衣服，則衣架懸掛點(diǎn)右移解析：選AB設(shè)兩段繩子間的夾角為2，由平衡條件可知，2Fcos

20、mg，所以F，設(shè)繩子總長為L，兩桿間距離為s，由幾何關(guān)系L1sin L2sin s，得sin ，繩子右端上移，L、s都不變，不變，繩子張力F也不變，A正確；桿N向右移動一些，s變大，變大，cos 變小，F(xiàn)變大，B正確；繩子兩端高度差變化，不影響s和L，所以F不變，C錯誤；衣服質(zhì)量增加，繩子上的拉力增加，由于不會變化，懸掛點(diǎn)不會右移，D錯誤。教師備選題1.如圖在傾斜的直桿上套一個質(zhì)量為m的圓環(huán)，圓環(huán)通過輕繩拉著一個質(zhì)量為M的物體，在圓環(huán)沿桿向下滑動的過程中，懸掛物體的輕繩始終處于豎直方向，則()A圓環(huán)只受三個力作用B圓環(huán)一定受四個力作用C物體做勻加速運(yùn)動D輕繩對物體的拉力小于物體的重力解析：選B

21、懸掛物體的輕繩始終處于豎直方向，則圓環(huán)和物體均做勻速直線運(yùn)動，C、D錯；對圓環(huán)受力分析，圓環(huán)要保持平衡狀態(tài)必受到重力、繩的拉力、桿的支持力、桿對圓環(huán)的摩擦力四個力作用，A錯，B對。2如圖所示，質(zhì)量分布均勻的光滑小球O，放在傾角均為的斜面體上，斜面體置于同一水平面上，且處于平衡，則下列說法中正確的是()A甲圖中斜面對球O彈力最大B丙圖中斜面對球O彈力最小C乙圖中擋板MN對球O彈力最小D丙圖中擋板MN對球O彈力最大解析：選A畫出甲、乙、丙、丁四種情況小球的受力圖，如圖所示，由平衡條件得知，丁圖中斜面對小球的彈力為零，擋板對小球的彈力等于其重力G；斜面對小球的彈力和擋板對小球的彈力的合力與重力大小相等、方向相反，即得到甲、乙、丙三種情況下此合力相等，由平行四邊形定則知，丙圖中擋板MN對小球的彈力最小，甲圖中斜面對小球的彈力最大，故A正確。3.興趣課堂上，某同學(xué)將完全相同的甲、乙兩個條形磁鐵水平放在粗糙的水平木板上(N極正對)，如圖所示，并緩慢抬高木板的右端至傾角為，這一過程中兩磁鐵均保持靜止?fàn)顟B(tài)。請對該同學(xué)提出的說法進(jìn)行分析，其中正確的是()A甲受到的摩擦力相對木板的方向可能發(fā)生變化B乙受到的摩擦力相對木板的方向可能發(fā)生變化C繼續(xù)增大傾角，甲、乙將會同時發(fā)生滑動D若減小甲、乙間距，重復(fù)上述過