慣性矩地計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式截面圖形的幾何性質(zhì)一.重點(diǎn)及難點(diǎn)：（一）.截面靜矩和形心1靜矩的定義式如圖1所示任意有限平面圖形，取其單元如面積dA，定義它對(duì)任意軸的文檔一次矩為它對(duì)該軸的靜矩，即dSy xdAdSx ydA整個(gè)圖形對(duì)y、z軸的靜矩分別為SyxdAyASx 人 ydA2.形心與靜矩關(guān)系(1-1 )設(shè)平面圖形形心C的坐標(biāo)為yc,zc-Sx一Sy/、y， x(I-2 )AA推論1如果y軸通過形心（即x0），則靜矩Sy 0 ；同理，如果X軸通過形心（即y o），則靜矩sx o；反之也成立。推論2如果x、y軸均為圖形的對(duì)稱軸，則其交點(diǎn)即為圖形形心；如果 y軸為圖形對(duì)

2、稱軸，貝昭形形心必在此軸上。3.組合圖形的靜矩和形心設(shè)截面圖形由幾個(gè)面積分別為 A,A2,A3An的簡單圖形組成，且一直各族圖形的形心坐標(biāo)分別為 丘，只；乂2*2； x3,y3，貝U圖形對(duì)y軸和x軸的靜矩分別為nnSySyiARi 1i 1nnSxSxiAiVi 1i 1(1-3 )截面圖形的形心坐標(biāo)為nAi yii 1(1-4 )AiXi 1nAii 14靜矩的特征（1）界面圖形的靜矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸所定義的，故靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)。（2）靜矩有的單位為m3。（3）靜矩的數(shù)值可正可負(fù)，也可為零。圖形對(duì)任意形心軸的靜矩必定 為零，反之，若圖形對(duì)某一軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。（4）若已知圖

3、形的形心坐標(biāo)。則可由式（1-1）求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩。若已知圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩，則可由式（1-2 ）求圖形的形心坐標(biāo)。組合圖形的形心位置，通常是先由式（I-3 ）求出圖形對(duì)某一坐標(biāo)系的靜 矩，然后由式（1-4 ）求出其形心坐標(biāo)。（二）慣性矩 慣性積 慣性半徑1.慣性矩定義 設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為 A （圖I-3 ），則圖形對(duì)0點(diǎn)的極慣性矩定義為Ip2dA（1-5）K A圖形對(duì)y軸和x軸的光性矩分別定義為IyAx2dA ,Ix Ay2dA（1-6）慣性矩的特征（1）界面圖形的極慣性矩是對(duì)某一極點(diǎn)定義的； 軸慣性矩是對(duì)某一坐 標(biāo)軸定義的。（2）極慣性矩和軸慣性矩的單位為 m4。（3）極慣性矩

4、和軸慣性矩的數(shù)值均為恒為大于零的正值。（4）圖形對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩的數(shù)值，恒等于圖形對(duì)以該點(diǎn)為坐標(biāo)原 點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸的軸慣性矩之和，即2 2 2Ip A dA A（x y ）dA Iy Ix（1-7）（5）組合圖形（圖1-2 ）對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩或某一軸的軸慣性矩， 分別等于各族紛紛圖形對(duì)同一點(diǎn)的極慣性矩或同一軸慣性矩之 和，即nnnII i ， I yI yi ， IxI xi（ I-8）i 1i 1i 12.慣性積定義 設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為 A （圖1-3），則圖形對(duì)y軸和(1-9 )x軸的慣性積定義為I xy A xydA慣性積的特征(1) 界面圖形的慣性積是對(duì)相互垂直的某一

5、對(duì)坐標(biāo)軸定義的。(2) 慣性積的單位為m4。(3) 慣性積的數(shù)值可正可負(fù)，也可能等于零。若一對(duì)坐標(biāo)周中有一軸為圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)這一對(duì)稱軸的慣性積必等于零。但圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，這一對(duì)坐標(biāo)軸重 且不一定有圖形的對(duì)稱軸。(4) 組合圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積， 等于各組分圖形對(duì)同一 坐標(biāo)軸的慣性積之和，即nI xyI xyi( 1-10)i 13.慣性半徑(1-11)定義：任意形狀的截面圖形的面積為 A (圖I-3 )，則圖形對(duì)y軸和x軸的慣性半徑分別定義為慣性半徑的特征(1) 慣性半徑是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的(2) 慣性半徑的單位為m。(3) 慣性半徑的數(shù)值恒取證之。(三) .慣性

6、矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式1 x1 xca A2I yI ycb A(1-12)1 xy1 xCyCabA（1-13）平行移軸公式的特征（1）意形狀界面光圖形的面積為 A （圖（1-4 ）; xC, yC軸為圖形的形 心軸；x，y軸為分別與xc，yc形心軸相距為a和b的平行軸。（2 ）兩對(duì)平行軸之間的距離a和b的正負(fù)，可任意選取坐標(biāo)軸 x，y 或形心Xc，yc為參考軸加以確定。（3）在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最小，但 圖形對(duì)形心軸的慣性積不一定是最小。ycdAbCXca0x圖1-4(四)、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式Ix Iycos22I x

7、y sin 2Ix IyIx Iycos2I xy sin 21 XiVi轉(zhuǎn)軸公式的特征in22I xy cos 2(1) 角度 的正負(fù)號(hào)，從原坐標(biāo)軸 x,y轉(zhuǎn)至新坐標(biāo)軸xiy，以逆時(shí) 針轉(zhuǎn)向者為正(圖5 )。(2) 原點(diǎn)O為截面圖形平面內(nèi)的任意點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸公式與圖形的形心無 關(guān)。(3) 圖形對(duì)通過同一坐標(biāo)原點(diǎn)任意一對(duì)相互垂直坐標(biāo)軸的兩個(gè)軸慣 性矩之和為常量，等于圖形對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩，即I x I y I x1 I y1 I P主慣性軸、主慣性矩 任意形狀截面圖形對(duì)以某一點(diǎn) 0為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)軸X0、yo的慣性積為零(Ixoyo 0)，則坐標(biāo)軸X。、yo稱為圖形通過點(diǎn)O的主慣性軸(圖6)。截面圖形

8、對(duì)主慣性軸的慣性矩Ixolyo，稱為主慣性矩。主慣性軸、主慣性矩的確定(1) 對(duì)于某一點(diǎn)O,若能找到通過點(diǎn)0的圖形的對(duì)稱軸，貝S以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，并包含對(duì)稱軸的一隊(duì)坐標(biāo)軸，即為圖形通過點(diǎn)0的一對(duì)主慣性軸。對(duì)于具有對(duì)稱軸的圖形(或組合圖形)，往 往已知其通過自身形心軸的慣性矩。于是，圖形對(duì)通過點(diǎn) o的 主慣性軸的主慣性矩，一般即可由平行移軸公式直接計(jì)算。(2) 若通過某一點(diǎn)o沒有圖形的對(duì)稱軸，則可以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，任作一坐標(biāo)軸x, y為參考軸，并求出圖形對(duì)參考軸 x, y的慣性矩lx,ly和慣性積Ixy。于是,圖形通過點(diǎn)0的一對(duì)主慣性軸方位及主慣性矩分別為2Itan2 0xylx lyx0yol

9、x ly2l 2xy(l-16 )(l-17)主慣性軸、主慣性矩的特征(1 )圖形通過某一點(diǎn)0至少具有一對(duì)主慣性軸，而主慣性局勢(shì)圖形對(duì)通過同一點(diǎn)0所有軸的慣性矩中最大和最小。(2)主慣性軸的方位角o，從參考軸x, y量起，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?3) 若圖形對(duì)一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)的兩主慣性矩相等，則通過點(diǎn)0的所有軸均為主慣性軸，且所有主慣性矩都相同。(4) 以截面圖形形心為坐標(biāo)原點(diǎn)的主慣性軸， 稱為形心主慣性軸。圖形對(duì)一對(duì)形心主慣性軸的慣性矩,稱為形心主慣性矩。0圖1-6圖1-5.典型例題分析例I-a試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的x軸的靜矩。解：計(jì)算此截面對(duì)于x軸的靜矩Sx時(shí)，可以去平行于x軸

10、的狹長條(見圖)作為面積元素(因其上各點(diǎn)的y坐標(biāo)相等)，即dA b(y)dy。由相似三角形關(guān)系，可知：bh(hb(y)y),因此有 dA 一 (h y)dy h將其代入公式(I-1 )的第二式，即得SxAydA0h0dyhb（y）y0xb例題I-a圖解題指導(dǎo)：此題為積分法求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩。例1-2試確定圖示I -b截面形心C的位置解：將截面分為 n兩個(gè)矩形。為計(jì)算方便，取x軸和y軸分別與界面的底邊和左邊緣重合（見圖）。先計(jì)算每一個(gè)矩形的面積 a和形心坐標(biāo)（區(qū)：）如下：矩形？Ax10 1201200mm210，y12025mm260mm矩形nA1070700mm27010 x1045mm,y

11、5mm22將其代入公式（1-4),即得截面形心C的坐標(biāo)為-A x A x 37500x20mmAA1900_A yAy75500y40mmAA1900解題指導(dǎo)：此題是將不規(guī)則圖形劃分為兩個(gè)規(guī)則圖形利用已有的規(guī)則圖形的面積和形心,計(jì)算不規(guī)則圖形的形心。10y1201080圖I -b例I-3試求圖I-c所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x軸的慣性矩Ix解：此截面可以看作有一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓形組成。設(shè)矩形對(duì)于x軸的慣性矩為Ix，每一個(gè)半圓形對(duì)于x軸的慣性矩為lx，則由公式（I-11 ）的第一式可知， 所給截面的慣性矩：lx lx 2Ix(1 )矩形對(duì)于x軸的慣性矩為:d(2a)31280 200312445330

12、10 mm半圓形對(duì)于x軸的慣性矩可以利用平行移軸公式求得。 為此，先求出每個(gè)半圓形對(duì)于與x軸平行的形心軸Xc （圖b ）的慣性矩Ixc。已知半圓形對(duì)于其底邊的慣性矩為圓形對(duì)其直徑軸（圖b）的慣性據(jù)之半，即Id4。128而半圓形的面積為 Ad22dr，其形心到底邊的距離為L圖b）。故由平行移軸公式（l-10a），可以求出每個(gè)半圓形對(duì)其自身形心軸 Xc的慣性矩為:2dI xC I x (3)2a (竺)2-12838(3)由圖a可知,半圓形形心到x軸距離為a2d3，故在由平行移軸公式，求得每個(gè)半圓形對(duì)于x軸的慣性矩為:I x I xc (a3128(a2d)2 d23 )d2 d2(三a22ad)

13、2 3a )將 d=80mm、a=100mm（圖a）代入式（4），即得lx(80)2 802 1002 2(3223100 80)3460 104mm將求得的Ix和Ix代入式(1)，便得Ix 5330 104 2 3460 104 12250 104 mm 4解題指導(dǎo)：此題是將不規(guī)則圖形劃分為若干個(gè)規(guī)則圖形，利用已有的規(guī)則圖形的面積、形心及對(duì)自身形心軸的慣性矩，結(jié)合平行移軸公式計(jì)算組合截面圖形對(duì)組合截面形心的慣性矩。XC100常用截面慣性矩計(jì)算公式12痔號(hào)意義及單位,長啟形截面對(duì)皐軸的慣性cn?)a扶(陽)-bh3苻號(hào)意義及單位h一一慣性拒(血町B團(tuán)所示(cm)i口圖所示(mJQ重心S到相應(yīng)辺的距離(cm)出車心S到相應(yīng)