高一數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析Word版

1、傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！高一數(shù)學(xué) 第八章 平面向量第一講 向量的概念與線性運(yùn)算一【要點(diǎn)精講】1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。幾何表示法，；坐標(biāo)表示法。向量的模（長(zhǎng)度），記作|.即向量的大小，記作|。向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，規(guī)定平行于任何向量。（與0的區(qū)別）單位向量1。平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量，記作相等向量記為。大小相等，方向相同2向量的運(yùn)算（1）向量加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.如圖，已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作a，b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即

2、 a+b特殊情況：向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加： ，但這時(shí)必須“首尾相連”。向量減法： 同一個(gè)圖中畫(huà)出 要點(diǎn):向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量。（2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).（3）實(shí)數(shù)與向量的積3兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。 二【典例解析】題型一： 向量及與向量相關(guān)的基本

3、概念概念例1判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒(méi)有方向 (2)若(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點(diǎn),則終點(diǎn)也相同 (6)若，則；(7)若，則 (8) 的充要條件是且； (9) 若四邊形ABCD是平行四邊形,則練習(xí). (四川省成都市一診)在四邊形ABCD中，“”是“四邊形ABCD為梯形”的A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件 D、既不充分也不必要條件題型二: 考查加法、減法運(yùn)算及相關(guān)運(yùn)算律例2 化簡(jiǎn)= 練習(xí)1.下列命題中正確的是 A BC D2.化簡(jiǎn)得 A B C D3如圖，D、E、F分別是ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則()A.0 B.0C.

4、0 D.0 題型三: 結(jié)合圖型考查向量加、減法例3在所在的平面上有一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比是( )A B C D例4重心、垂心、外心性質(zhì)ABCDE練習(xí): 1如圖，在ABC中，D、E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，=3a，=2b，求，2已知求證3若為的內(nèi)心，且滿足，則的形狀為（ ） A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形4已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足20，則()A2 B2 C. D5已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C.若320，則等于_6已知平面內(nèi)有一點(diǎn)P及一個(gè)ABC，若，則()A點(diǎn)P在ABC外部 B點(diǎn)P在線段AB上 C點(diǎn)P在線段BC上 D點(diǎn)P在線段

5、AC上7在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若2，則等于()A. B. C D題型四: 三點(diǎn)共線問(wèn)題例4 設(shè)是不共線的向量,已知向量,若A,B,D三點(diǎn)共線,求k的值例5已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn)， A、B、C三點(diǎn)在一條直線上 =m+n，求證： m+n=1練習(xí)：1已知：，則下列關(guān)系一定成立的是（ ）A、A，B，C三點(diǎn)共線 B、A，B，D三點(diǎn)共線C、C，A，D三點(diǎn)共線 D、B，C，D三點(diǎn)共線2(原創(chuàng)題)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量，若2akb，ab，2ab，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值等于_第2講 平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示一【要點(diǎn)精講】1平面向量的基本定理如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量

6、，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2平面向量的坐標(biāo)表示 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的_單位向量_ 、作為基底任作一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得，把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示與相等的向量的坐標(biāo)也為特別地，特別提醒：設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）若，則=，= （2） 若，則 （3）若和實(shí)數(shù)，則4向量平行的充要條件的坐標(biāo)表

7、示：設(shè)=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中BCAOMD ()的充要條件是二【典例解析】題型一. 利用一組基底表示平面內(nèi)的任一向量例1 在OAB中，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)=，=，用,表示.練習(xí):1若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是 ( ) A與 B3與2 C與 D與22在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若，其中、R，則_.題型二: 向量加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算 例3 已知A（2,4）、B（3,1）、C（3,4）且,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo). 練習(xí):1. (2008年高考遼寧卷)已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(1，2)，

8、C(3,1)，且2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為() A(2，) B(2，) C(3,2) D(1,3) 2若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P點(diǎn)的坐標(biāo)； 3若M(3, -2) N(-5, -1)，點(diǎn)P在MN的延長(zhǎng)線上，且 , 求P點(diǎn)的坐標(biāo)； 4.(2009年廣東卷文)已知平面向量a= ，b=， 則向量 ( ) A平行于軸 B.平行于第一、三象限的角平分線 C.平行于軸 D.平行于第二、四象限的角平分線 5在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，4)，點(diǎn)G(2，1)在中線AD上，且2， 則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A(4,2) B(4，2) C(4，2) D(4,2)6設(shè)向量a(1，3)，b(2

9、,4)，c(1，2)，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A(2,6) B(2,6) C(2，6) D(2，6)7已知A(7,1)、B(1,4)，直線yax與線段AB交于C，且2，則實(shí)數(shù)a 等于()A2 B1 C. D.題型三: 平行、共線問(wèn)題 例4已知向量，若，則銳角等于（ ） A B C D 例5（2009北京卷文）已知向量， 如果那么( ) A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向 練習(xí)：1若向量=(-1,x)與=(-x, 2)共線且方向相同，求x 2已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及， 求(1)t為何值時(shí)，P在x軸上

10、？P在y軸上？P在第二象限。 (2)四邊形OABP能否構(gòu)成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。 3已知向量a(1,2)，b(0,1)，設(shè)uakb，v2ab，若uv，則實(shí)數(shù)k的值為() A1 B C. D1 4已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則等于()A B2 C. D25已知向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件是()Am2 Bm Cm1 Dm16已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)。題型四：平面向量綜合問(wèn)題例6 已知ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量， .（

11、1） 若/，求證：ABC為等腰三角形； （2） 若，邊長(zhǎng)c = 2，角C = ，求ABC的面積 . 練習(xí)已知點(diǎn)A(1,2)，B(2,8)以及，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和的坐標(biāo)第三講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用一【要點(diǎn)精講】（1）兩個(gè)非零向量的夾角已知非零向量a與a，作，則AA（）叫與的夾角；說(shuō)明：兩向量的夾角必須是同起點(diǎn)的，范圍0q180。C（2）數(shù)量積的概念非零向量與， =cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定；向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義： 等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積.注意：只要就有=0，而不必=或=由=及0卻不能推出=得|cos1=

12、|cos2及|0，只能得到|cos1=|cos2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(見(jiàn)圖) ()()，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的對(duì)于向量、，有|，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)向量的模與平方的關(guān)系：。乘法公式成立；向量的夾角：cos=。（5）兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知兩個(gè)向量，則=。（6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作。兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：O（7）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)，則或。 (平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式) .二【典例解析】題型一：數(shù)量積的概念例1判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）； （3）若，則；（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；（5）對(duì)任意向量都成立；題

13、型二. 求數(shù)量積、求模、求夾角的簡(jiǎn)單應(yīng)用例2 ；題型三：向量垂直、平行的判定例3已知向量，且，則 。例4已知，按下列條件求實(shí)數(shù)的值。（1）；（2）；。例5已知： 、是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中 =（1，2）（1） 若|，且，求的坐標(biāo)；（2）若|=且與垂直，求與的夾角.練習(xí)1 若非零向量、滿足，證明:2 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角， 求k值3已知向量，若，則（ ） A B C D4.5知為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，向量若，且，則角的大小分別為（ ）AB C D題型四：向量的夾角例6已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，求與的夾角練習(xí)1已知兩單位

14、向量與的夾角為，若，試求與的夾角。2| |=1，| |=2，= + ，且，則向量與的夾角為（ ） A30B60C120D1503設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|b|c|，abc，則a，b()A150 B120 C60 D304已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，則a與c的夾角為()A30或150 B60或120 C120 D1505.過(guò)ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點(diǎn)D、E若，則的值為（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC為正三角形易得3選B4. 設(shè)向量與的夾角為，則5在ABC中，()|2，則三角形ABC的形狀一定是()A等邊三角形 B等腰三角

15、形C直角三角形 D等腰直角三角形.6已知向量與互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 題型五：求夾角范圍例7已知,且關(guān)于的方程有實(shí)根,則與的夾角的取值范圍是 A.0, B. C. D.練習(xí)1設(shè)非零向量=，=，且，的夾角為鈍角，求的取值范圍2已知，,如果與的夾角為銳角,則的取值范圍是 3設(shè)兩個(gè)向量、，滿足，、的夾角為60，若向量與向量 的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4如圖，在RtABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)ABCa的夾角取何值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值.（以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系）題型六：向量的模例8已知向量與的夾角為

16、，則等于（ ） A5B4C3D1練習(xí)1平面向量a與b的夾角為，a(2,0), | b |1，則 | a2b |等于（ ）A. B.2 C.4 D.122已知平面上三個(gè)向量、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120，（1）求證：；（2）若，求的取值范圍.3平面向量中，已知，且，則向量_.4已知|=|=2，與的夾角為600，則+在上的投影為 。5設(shè)向量滿足，則 。6已知向量的方向相同，且，則_ _。7、已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（ )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 內(nèi)心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 內(nèi)心題型七：向量的綜合應(yīng)用 例9已知向量(2,2)，

17、(4,1)，在x軸上一點(diǎn)P，使有最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_練習(xí)1已知向量a與向量b的夾角為120，若向量cab，且ac，則的值為()A. B. C2 D. 2已知圓O的半徑為a，A，B是其圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則()A.a2 Ba2 C.a2 Da24(原創(chuàng)題)三角形ABC中AP為BC邊上的中線，|3，2，則|_.5在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知m(cos，sin)，n(cos，sin)，且滿足|mn|.(1)求角A的大小；6在中，的面積是，若，則( ) 7已知為原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，其中常數(shù)，點(diǎn)在線段上，且有，則的最大值為（ ） 8已知向量， 。（1）當(dāng)，求；（2）若對(duì)

18、一切實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。9. 若正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是 -2，10. 已知是兩個(gè)互相垂直的單位向量, 且,則對(duì)任意的正實(shí)數(shù),的最小值是 .各區(qū)期末試題ABCDE10. 在矩形中，是上一點(diǎn)，且，則的值為（ ）ABPO19.如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，.（）當(dāng)點(diǎn)是弧上靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，求的值；（）求的最大值和最小值.（6）如圖所示，點(diǎn)在線段上，且，則 （ ）（A） （B） （C） （D）(16) 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（）求的值；（）若四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（）求的最小值.3已知、三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，且.2 若，求角的值； 若，求的值.2已知二次函數(shù)對(duì)任意，都有成立，設(shè)