“我愛數(shù)學(xué)”初中生夏令營數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(含答案)

1、 我愛數(shù)學(xué)初中生夏令營數(shù)學(xué)競(jìng)賽 說明：第一試每題50分,共150分;第二試每題15分,共150分.第一試1、已知當(dāng)x的值分別為2、m1、m2時(shí),多項(xiàng)式ax2+bx+c的值分別為0、p1、p2.如果abc,并且p1p2cp1+ap2ac=0,那么,能否保證：當(dāng)x的值分別為m1+5、m2+5時(shí),該多項(xiàng)式的值中至少有一個(gè)是正數(shù)?證明你的結(jié)論.2、在ABC中,A=75,B=35,D是邊BC上一點(diǎn),BD=2CD.求證：AD2=(AC+BD)(ACCD).3、(1)寫出四個(gè)連續(xù)的正整數(shù),使得它們中的每一個(gè)都是某個(gè)不為1的完全平方數(shù)的倍數(shù),并指出它們分別是哪一個(gè)完全平方數(shù)的倍數(shù)(2)寫出六個(gè)連續(xù)的正整數(shù),使

2、得它們中的每一個(gè)都是某個(gè)不為1的完全平方數(shù)的倍數(shù),并指出它們分別是哪一個(gè)完全平方數(shù)的倍數(shù),說明你的計(jì)算方法.第二試1、若2 008=an(3)n+an1(3)n1+a1(3)+a0(ai=0,1,2,i=0,1,n),則an+an1+a1+a0= .2、能使關(guān)于x的方程x26x2n=0(nN+)有整數(shù)解的n的值的個(gè)數(shù)等于 .3、如果函數(shù)y=b的圖像與函數(shù)y=x23|x1|4x3的圖像恰有三個(gè)交點(diǎn),則b的可能值是 .4、已知a為整數(shù),關(guān)于x的方程+2a=0有實(shí)數(shù)根.則a的可能值是 .5、如果某數(shù)能夠表示成91的某個(gè)倍數(shù)的數(shù)字和,就把這個(gè)數(shù)叫做“和諧數(shù)”.那么,在1,2,2 008中,和諧數(shù)的個(gè)數(shù)

3、是 .6、已知某種型號(hào)的汽車每臺(tái)的售價(jià)是23萬元.某工廠在一年中生產(chǎn)這種汽車的總成本由固定成本和生產(chǎn)成本兩部分組成.一年的固定成本為7000萬元.在這個(gè)年中生產(chǎn)這種汽車x輛時(shí),生產(chǎn)每一輛車的生產(chǎn)成本為萬元(0xbc得a0,c0,c/2a0.所以,僅當(dāng)c/2ax2時(shí),該多項(xiàng)式的值不是正數(shù).由已知得(p1+a)(p2c)=0.則p1+a=0或p2c=0.解得p1=a0或p2=c0.所以,存有i(i=1或2)使得pic/2a.由已知得c=4a2b6a,則c/a6,c/2a3,mi+52.當(dāng)x=mi+5時(shí),該多項(xiàng)式的值是正數(shù).所以,能夠保證：當(dāng)x的值分別為m1+5、m2+5時(shí),該多項(xiàng)式的值中至少有一個(gè)

4、是正數(shù).2、由已知得C=70.延長(zhǎng)BC至E,使AC=CE.聯(lián)結(jié)AE.則CEA=CAE= ACB=35=ABC.故CAEAEB.從而,AE2=ACBE,即AB2=AC(AC+BC).設(shè)F是BD的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)AF.則CD=DF=FB.在ACF、ADB中,由中線的性質(zhì)分別得AC2+AF2=2CD2+2AD2,AD2+AB2=2DF2+2AF2.由式、得2AC2+AB2=6CD2+3AD2.將式代入式得3AC2+ACBC=6CD2+3AD2.將BC=3CD代入上式得AC2+ACCD=2CD2+AD2.故AD2=AC2+ACCD2CD2=(AC+2CD)(ACCD)=(AC+BD)(ACCD).3、(1)

5、242、243、244、245是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù),242是112的倍數(shù)、243是32的倍數(shù)、244是22的倍數(shù)、245是72的倍數(shù).(2)2 348 124、2 348 125、2 348 126、2 348 127、2 348 128、2 348 129是六個(gè)連續(xù)的正整數(shù),其中,2 348 124是22的倍數(shù)、2 348 125是52的倍數(shù),2 348 126是112的倍數(shù)、2 348 127是32的倍數(shù)、2 348 128是22的倍數(shù)、2 348 129是72的倍數(shù).計(jì)算方法如下:記A=4912149k(kN+).由(1)可知,A+240是22的倍數(shù),A+242是112的倍數(shù),A+243是

6、32的倍數(shù),A+244是22的倍數(shù),A+245是72的倍數(shù).設(shè)A+241是52的倍數(shù).則當(dāng)k=11時(shí),上式成立.此時(shí),A=2 347 884.A+240=2 348 124是22的倍數(shù),A+241=2 348 125是52的倍數(shù),A+242=2 348 126是112的倍數(shù),A+243=2 348 127是32的倍數(shù),A+244=2 348 128是22的倍數(shù),A+245=2 348 129是72的倍數(shù).第二試1、0或4或8.2 008=2(3)62(3)52 (3)3+(3)2+1,此時(shí), an+an1+a0=0;2 008=2(3)62(3)52 (3)3+(3)2(3)2,此時(shí), an+

7、an1+a0=4;2 008=(3)7(3)62(3)52(3)3+(3)2(3)2,此時(shí), an+an1+a0=8;2 008=2(3)62(3)5+(3)4+(3)3+(3)2+1,此時(shí), an+an1+a0=4;2 008=(3)8+2(3)7+(3)5+(3)4+(3)3+(3)2+1,此時(shí),an+an1+a0=8.注意到將(3)n變?yōu)?1)(3)n+12(3)n,將2(3)n變?yōu)?1)(3)n+1(3)n,將3(3)n變?yōu)?1)(3)n+1的時(shí)候, an+an1+a0的值都增加或減少4,并且當(dāng)n8時(shí), an+an1+a0的絕對(duì)值不大于8.因此,an+an1+a0=0或4或8.2、1.

8、x=3,其中, 是完全平方數(shù).顯然,n2.當(dāng)n2時(shí),可設(shè)2n+32=(2k+1)2(kN+,k2),即2n2=(k+2)(k1).顯見k1=1,k=2,n=4.能使原方程有整數(shù)解的n的值的個(gè)數(shù)等于1.3、6、25/4.令y=x23|x1|4x3.則y=x2x6=,x1;y=x27x=,x1.當(dāng)x=1時(shí),y=6;當(dāng)x=12時(shí),y=25/4.由圖像知,所求b的可能值是6、25/4.4、0、1、2.令y=.則0y1.由y24y+2a=0 (y2)2=2+a 12+a4 1a2.因此,a的可能值是0、1、2.5、2 007.注意到91=713.數(shù)字和為1的數(shù)不是91的倍數(shù).1 001,10 101,1

9、0 011 001,101 011 001,100 110 011 001,1 010 110 011 001,都是91的倍數(shù),而它們的數(shù)字和依次是2,3,4,5,6,7,.因此,在1,2,2 008中,能夠表示成91的某個(gè)倍數(shù)的數(shù)字和的數(shù)的個(gè)數(shù)是2 007.6、318.若該廠一年中生產(chǎn)的這種汽車的銷售收入不低于總成本,則23x7000+0x3000 x x318.因此,在一年中至少需要生產(chǎn)這種汽車318輛.7、.由已知得或,1只能經(jīng)過第類變換或第類變換變?yōu)閍n(n=2,3,2 008),從a1開始連續(xù)經(jīng)過2 007次這樣的變換變?yōu)閍2 008.連續(xù)兩次第類變換相互抵消,保持原數(shù)不變.連續(xù)三次

10、變換依次是“第類變換、第類變換、第類變換”時(shí),其中兩次第類變換相互抵消,相當(dāng)于只對(duì)原數(shù)進(jìn)行了一次第類變換.因此,對(duì)2的連續(xù)2 007次變換相當(dāng)于對(duì)2連續(xù)進(jìn)行m次第類變換或第類變換,而且只有在第一次和最后一次變換中才可能是第類變換.而對(duì)2連續(xù)2 007次變換:“前2 006次為第類變換、最后一次為第類變換”時(shí),a2008達(dá)到最大值.8、線段AM內(nèi).設(shè)直線AB與O的另一交點(diǎn)為D,不妨設(shè)點(diǎn)B在點(diǎn)A和D之間.過點(diǎn)D作直線AC的垂線DE,垂足為E.則ABAD=k(k是一個(gè)不變的常數(shù)),ABCADE,AB/AC=AD/AE,AB2/AC=ABAD/AE=k/AE.當(dāng)AE達(dá)到最大值,即點(diǎn)B的位置在線段AM內(nèi)

11、時(shí),AB2/AC的值達(dá)到最小.9、50.由已知BAC=20,BCD=50,故BC=BD,CBE=60,ABE=20.在CE上取一點(diǎn)F使CBF=20,則EBF=40,BF=FE,DBF=60,BFC=80,BC=BF.由式、得BD=BF,知BDF是正三角形.于是,BF=DF.由式、得DF=FE,知DFE是等腰三角形.又BFD=60,知DFE=40.從而,FED=70,ADE=50.10、1 351 373 940.將1,2,2 008分成1 004組:1,2 008,2,2 007,1 004,1 005.由題設(shè),各組中恰取出一個(gè)數(shù).將2,4,2 008中的1 004,1 006,1 008,1 010分別換成同一組的1 005,1003,1001,999,其余各數(shù)不變,就是所選出的符合題目要求的1 004個(gè)數(shù).2+4+2 008(1 004+1 006+1 008+1 010)+(1 005+1 003+1 001+999)=1 009 020(1+3+7+11)