2021年高考卷,普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理工類）全解全析

1、27年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理工類）全解全析 第i卷（共5分） 一、選擇題本大題共1小題，每小題5分，共5分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 （1）“”是“”的（） 充分而不必要條件 必要而不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件 【答案】a 【分析】由可得,可得到,但得不到.故選a. （2）若函數(shù)，（其中，） 的最小正周期是，且，則（ ） a b c d 【答案】d 【分析】由由 故選d. （3）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（） 【答案】d 【分析】解法一(利用相關(guān)點(diǎn)法)設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x,y),則它關(guān)于對稱點(diǎn)為(2-x,y) 在直線上,化簡

2、得故選答案d. 解法二根據(jù)直線關(guān)于直線對稱的直線斜率是互為相反數(shù)得答案a或d, 再根據(jù)兩直線交點(diǎn)在直線選答案d. （4）要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個(gè)草坪 都能噴灑到水假設(shè)每個(gè)噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米 的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個(gè)數(shù)最少是（） 【答案】b 【分析】因?yàn)辇堫^的噴灑面積為36， 正方形面積為256,故至少三個(gè)龍頭。由于，故三個(gè)龍頭肯定不能 保證整個(gè)草坪能噴灑到水。當(dāng)用四個(gè) 龍頭時(shí)，可將正方形均分四個(gè)小正方形， 同時(shí)將四個(gè)龍頭分別放在它們的中心， 由于，故可以保證整個(gè)草坪能噴灑到水。（5）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布， ，則（ ） a b c d， 【答案

3、】a 【分析】由又 故選a. （6）若兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則（） 過點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行 過點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直 過點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交 過點(diǎn)有且僅有一條直線與都異面 【答案】b 【分析】設(shè)過點(diǎn)p的直線為，若與l、m都平行， 則l、m平行，與已知矛盾，故選項(xiàng)a錯(cuò)誤。由于l、m只有惟一的公垂線，而過點(diǎn)p與 公垂線平行的直線只有一條，故b正確。對于選項(xiàng)c、d可參考右圖的正方體，設(shè)ad為直線l，為直線m; 若點(diǎn)p在p1點(diǎn)，則顯然無法作出直線與兩直線都相交，故選項(xiàng)c錯(cuò)誤。若p在p2點(diǎn)，則由圖中可知直線均與l、m異面，故選項(xiàng)d錯(cuò)誤。（7）若非零向量滿足，則（） 【答案】c 【分析

4、】由于是非零向量，則必有故上式中等號不成立 。故選c. （8）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（ ） y x o y x o y x o y x o a b c d 【答案】d 【分析】檢驗(yàn)易知a、b、c均適合，d中不管哪個(gè)為均不成立。（9）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率是（） 【答案】b 【分析】設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于a點(diǎn). 在中, , 又 , 化簡得 , 故選答案b （1）設(shè)是二次函數(shù)，若的值域是， 則的值域是（ ） a b c d 【答案】c 【分析】要的值域是，則又是二次函數(shù)， 定義域連續(xù)，故不可能同時(shí)結(jié)合選項(xiàng)只能選c. 第

5、ii卷（共1分） 二、填空題本大題共7小題，每小題4分，共28分 （11）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù) 【答案】【分析】（12）已知，且，則的值是 【答案】【分析】本題只需將已知式兩邊平方即可。 兩邊平方得，即， . （13）不等式的解集是 【答案】【分析】（14）某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種. 小張用1元錢買雜志 （每種至多買一本，1元錢剛好用完），則不同買法的種數(shù)是 （用數(shù)字作答） 【答案】266 【分析】根據(jù)題意，可有以下兩種情況用1元錢買2元1本共有 用1元錢買2元1本的雜志4本和1元1本的雜志2本共有 故21+56=26 （15）隨機(jī)變量的分布列如下其中成等差數(shù)列，若則的值

6、是 【答案】【分析】成等差數(shù)列，有 聯(lián)立三式得 （16）已知點(diǎn)在二面角的棱上，點(diǎn)在內(nèi)，且若對于內(nèi)異于的任意一點(diǎn)，都有，則二面角的大小是 【答案】【分析】設(shè)直線op與平面所成的角為,由最小角原理及恒成立知,只 有作于h, 則面,故為. （17）設(shè)為實(shí)數(shù)，若， 則的取值范圍是 【答案】【分析】作圖易知,設(shè)若不成立; 故當(dāng)且斜率大于等于時(shí)方成立. 三、解答題本大題共5小題，共72分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 （18）（本題14分）已知的周長為， 且 （i）求邊的長；（ii）若的面積為，求角的度數(shù) 解（i）由題意及正弦定理，得， ， 兩式相減，得 （ii）由的面積，得， 由余弦定理，得 ，

7、 所以 （第19題） （19）（本題14分）在如圖所示的幾何體中，平面， 平面， 且，是的中點(diǎn) （i）求證；（ii）求與平面所成的角 本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識， 同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力滿分14分 方法一（i）證明因?yàn)?，是的中點(diǎn)， 所以 又平面， 所以 （ii）解過點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)交延長交于點(diǎn)， 連結(jié)，是直線和平面所成的角 因?yàn)槠矫妫?所以， 又因?yàn)槠矫妫?所以， 則平面，因此 設(shè)， 在直角梯形中， ，是的中點(diǎn)， 所以， 得是直角三角形，其中， 所以 在中， 所以， 故與平面所成的角是 方法二如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過點(diǎn)作與平面垂

8、直的 直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則， ， （i）證明因?yàn)椋?所以， 故 （ii）解設(shè)向量與平面垂直，則， 即， 因?yàn)椋?所以， 即， ， 直線與平面所成的角是與夾角的余角， 所以， 因此直線與平面所成的角是 （第2題） （2）（本題14分）如圖，直線與橢圓 交于兩點(diǎn)，記的面積為 （i）求在，的條件下，的最大值；（ii）當(dāng)，時(shí)，求直線的方程 本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力滿分14分 （）解設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 由，解得， 所以 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值 （）解由 得， 設(shè)到的距離為，則， 又因?yàn)椋?所以，代入式并整理，

9、得 ， 解得，代入式檢驗(yàn)， 故直線的方程是 或或，或 （21）（本題15分）已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的 方程的兩個(gè)根，且 （i）求， ，；（ii）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）記， ， 求證 本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識，考查運(yùn)算及推理能力滿分15分 （i）解方程的兩個(gè)根為， 當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以 （ii）解 （iii）證明， 所以， 當(dāng)時(shí)， ， ， 同時(shí)， 綜上，當(dāng)時(shí)， （22）（本題15分）設(shè)，對任意實(shí)數(shù)，記 （i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）求證（）當(dāng)時(shí)，對任意正實(shí)數(shù)成立；（）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)成立 本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識， 以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力滿分15分 （i）解由，得 因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是， 單調(diào)遞減區(qū)間是 （ii）證明（i）方法一令，則， 當(dāng)時(shí)，由，得， 當(dāng)時(shí)， 所以在內(nèi)的最小值是 故當(dāng)時(shí)，對任意正實(shí)數(shù)成立 方法二對任意固定的，令，則， 由，得 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值 因此當(dāng)時(shí)，對任意正實(shí)數(shù)成立 （ii）方法一 由（i）得，對任意正實(shí)數(shù)成立 即存在正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)成立