高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計解答題)匯總,推薦文檔

1、概率與統(tǒng)計解答題1、a、b 是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由 4 只小白鼠組成，其中 2 只服用 a，另 2 只服用 b，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用 a 有效的小白鼠的只數(shù)比服用 b 有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用21a 有效的概率為,服用 b 有效的概率為.32（）求一個試驗組為甲類組的概率；（）觀察 3 個試驗組，用x表示這 3 個試驗組中甲類組的個數(shù)，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望。（）解：設(shè) a i表示事件“一個試驗組中，服用 a 有效的小白鼠有 i 只”，i=0，1，2；b i表示事件“一個試驗組中，服用 b 有效的小白鼠有 i 只

2、”，i=0，1，21 2 422 41 1 11 1 1 依題意有 p(a1)=233=9, p(a2)=33=9, p(b0)=22=4, p(b1)=222=2,141414 4 所求的概率為 p=p(b0a1)p(b0a2)p(b1a2)=494929=946 分（） x的可能取值為 0，1，2，3，且 xb(3,9),5125145100245 80 p(x=0)=(9)3=729, p(x=1)=c39(9)2=243, p(x=2)=c3(9)29=243,464p(x=3)=(9)3=729 x的分布列為x0123p12572910024380243647294 4 數(shù)學(xué)期望 e

3、x=39=312 分2、設(shè)b 和c 分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量x表示方程x2 + bx + c = 0 實根的個數(shù)（重根按一個計）（）求方程 x2 + bx + c = 0 有實根的概率；（）求x的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有 5 的條件下，方程 x2 + bx + c = 0 有實根的概率.解:（i）基本事件總數(shù)為6 6 = 36 ，c若使方程有實根，則d = b2 - 4c 0 ，即b 2。當c = 1時， b = 2, 3, 4, 5, 6 ； 當c = 2 時， b = 3, 4, 5, 6 ；當c = 3 時， b = 4, 5, 6 ；當c =

4、 4 時， b = 4, 5, 6 ； 當c = 5 時， b = 5, 6 ；當c = 6 時， b = 5, 6 ,目標事件個數(shù)為5 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 19,19因此方程 x2 + bx + c = 0有實根的概率為.36(ii) 由題意知，x= 0,1, 2 ，則 p(x= 0) =17 ， p(x= 1) = 2 =1 , p(x= 2) =17 ，故x的分布列為36361836x012的數(shù)學(xué)期望 ex= 0 17 +1 1+ 2 17 = 1.361836(iii) 記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有 5”為事件 m，“方程 ax2 + b

5、x + c = 0 有實根” 為事件n，則 p(m ) = 11 ， p(mn ) = 7 ，p(n m ) = p(mn ) = 7 .3636p(m )113、如圖是在豎直平面內(nèi)的一個“通道游戲”圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點處相遇，若豎直線段有第一條的為第一層，有二條的為第二層，依次類推現(xiàn)有一顆小彈子從第一層的通道里向下運動記小彈子落入第 n 層第 m 個豎直通道（從左至右）的概率為 p(n, m) （已知在通道的分叉處，小彈子以相同的概率落入每個通道）（）求 p(2,1), p(3, 2) 的值，并猜想 p(n, m) 的表達式（不必證明）（）設(shè)小彈子落入第 6 層第 m

6、個豎直通道得到分數(shù)為x，其中x= 4 - m,1 m 3 ，試求x的分布列及數(shù)學(xué)期望m - 3, 4 m 6入口第 1 層第 2 層第 3 層第 4層解：（1） p(2,1) = c0 1 10 1 1=，2 分 122 211p(3, 2) = c1 1 1 14 分=2 2 2 2p(n, m) c=m-1n-12n-16 分（2） p(6,1) = p(6, 6) = 5c=01 , p(6, 2) = p(6, 5) =c51 = 5 ,p(6, 3) = p(6, 4)c5 22532253210= 2532x321p21020323232ex= 23169 分12 分4、2009

7、年 10 月 1 日，為慶祝中華人們共和國成立 60 周年，來自北京大學(xué)和清華大學(xué)的共計 6 名大學(xué)生志愿服務(wù)者被隨機平均分配到天安門廣場運送礦泉水、清掃衛(wèi)生、維3持秩序這三個崗位服務(wù)，且運送礦泉水崗位至少有一名北京大學(xué)志愿者的概率是。5（1） 求 6 名志愿者中來自北京大學(xué)、清華大學(xué)的各幾人；（2） 求清掃衛(wèi)生崗位恰好北京大學(xué)、清華大學(xué)人各一人的概率；（3） 設(shè)隨機變量 為在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù)，求 分布列及期望。解：（1）記“至少一名北京大學(xué)志愿者被分到運送礦泉水崗位”為事件 a，則 a 的對立事件為“沒有北京大學(xué)志愿者被分到運送礦泉水崗位”，設(shè)有北京大學(xué)志愿者 x 個，

8、1x6，那 么 p（a）=1-2c6- xc26= 3 ，解得 x=2，即來自北京大學(xué)的志愿者有 2 人，5來自清華大學(xué)志愿者 4 人；3 分（2） 記清掃衛(wèi)生崗位恰好北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各有一人為事件 e，c1c 18c=2那么 p（e）=2 4，6158所以清掃衛(wèi)生崗位恰好北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各一人的概率是15；6 分（3） 的所有可能值為 0，1，2，c 22c1c1 8c 21p（=0）=4 =，p（=1）=2 4 =，p（=2）=2 =，8 分c66562c 215c 215所以 的分布列為 -11 分ex= 0 2 +1 8 + 2 1 = 2 12 分515153命題意圖

9、：本題考查了排列、組合、概率、數(shù)學(xué)期望等知識，考查了含有“至多、至少、恰好”等有關(guān)字眼問題中概率的求法以及同學(xué)們利用所學(xué)知識綜合解決問題的能力。5、小白鼠被注射某種藥物后，只會表現(xiàn)為以下三種癥狀中的一種：興奮、無變化（藥1 1 1物沒有發(fā)生作用）、遲鈍若出現(xiàn)三種癥狀的概率依次為種藥物（i） 求這三只小白鼠表現(xiàn)癥狀互不相同的概率；、 , 現(xiàn)對三只小白鼠注射這2 3 6（ii） 用x表示三只小白鼠共表現(xiàn)癥狀的種數(shù)，求x的頒布列及數(shù)學(xué)期望解：（）用 ai (i = 1，2,3) 表示第一只小白鼠注射藥物后表現(xiàn)癥狀為興奮、無變化、及遲鈍，用 bi (i = 1，2,3) 表示第二只小白鼠注射藥物后表現(xiàn)

10、癥狀為興奮、無變化、及遲鈍，用ci (i = 1，2,3) 表示第三只小白鼠注射藥物后表現(xiàn)癥狀為興奮、無變化、及遲鈍.三只小白鼠反應(yīng)互不相同的概率為31 2 3p = a3p( a b c )= 6 1 1 1 = 123663 分5 分（）x可能的取值為1，2，3 . 1 3 1 3 1 31266p(x= 1) = p( a1b1c1 + a2b2c2 + a3b3c3 ) = + 3 + =, p(x= 3) = 1 ， 8 分6p(x= 2) = 1- p(x= 1) - p(x= 3) = 1- 1 - 1 = 2 或663p(x= 2)= c 2 p( a b c + a b c

11、+ a b c + a b c + a b c + a b c )31 1 21 1 32 2 12 2 33 3 13 3 22= 1 21 1 21c (+ 33 22 6.10 分 1 21 1 21 1 21 1 212632626+ 3 + + + 3) = 3 所以，x的分布列是x123p162316所以， ex= 1+ 2 2 + 3 1 = 2 12 分16326、某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的 40 件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位： 克），重量的分組區(qū)間為(490,495， (495,500，. . . ，(510,515.由此得到樣本

12、的頻率分布直方圖，如圖所示（）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過 505 克的產(chǎn)品數(shù)量；（）在上述抽取的 40 件產(chǎn)品中任取 2 件，設(shè)x為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求x的分布列；（）從流水線上任取 5 件產(chǎn)品，估計其中恰有 2 件產(chǎn)品的重量超過 505 克的概率.解：（）重量超過 505 克的產(chǎn)品數(shù)量是40 (0.05 5 + 0.01 5) = 12 件2 分（）x的所有可能取值為 0,1,2 （只有當下述沒做或都做錯時，此步寫對給 1 分）c2c2p(x= 0) =28 =4063130c1 c1c2, p(x= 1) =12 28 =4056130c 2, p(x= 2) =122 =c

13、4011,130x的分布列為（以上（）中的過程可省略，此過程都對但沒列下表的扣 1 分）x012p635611130130130-9 分（每個 2 分，表 1 分）（）由（）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)知，抽取的 40 件產(chǎn)品中有 12 件產(chǎn)品的重量超過 505 克， 其頻率為0.3 ，可見從流水線上任取一件產(chǎn)品，其重量超過 505 克的概率為0.3 ，令x為任取的 5 件產(chǎn)品中重量超過 505 克的產(chǎn)品數(shù)，則x b(5,0.3) ，-11 分故所求的概率為 p(x= 2) = c 2 5(0.3)2 (0.7)3 = 0.3087 13 分7、張先生家住 h 小區(qū)，他工作在 c 科技園區(qū)，從家開車到公司上班路

14、上有 l1，l2 兩1條路線（如圖），l1 路線上有 a1，a2，a3 三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；l2 路233線上有 b1，b2 兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，45（）若走 l1 路線，求最多遇到 1 次紅燈的概率；（）若走 l2 路線，求遇到紅燈次數(shù) x 的數(shù)學(xué)期望；（）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由a1a2a3hl1l2cb1b2解：（）設(shè)走 l1 路線1最多遇到11 次1紅燈為1 a 事件，則p( a)=c0 3 + c1 2 =4 分3( 2)32( 2)21所以走 l1 路線，最多遇到 1 次紅

15、燈的概率為 2（）依題意， x 的可能取值為 0，1，2) p( x =0)=(1- 3 (1- 3 = 1 ，4510-+-=33339p( x =1)=(1)(1)，454520= 339p( x =2)=8 分4520隨機變量 x 的分布列為：x012p199102020ex = 1 0 + 9 1+ 9 2 = 27 11 分102020201（）設(shè)選擇 l1 路線遇到紅燈次數(shù)為y ，隨機變量y 服從二項分布， y : b(3, ) ，13所以 ey = 3=22分212因為 ex ey ，所以選擇 l2 路線上班最好14 分8、某商場一號電梯從 1 層出發(fā)后可以在 2、3、4 層?？?/p>

16、.已知該電梯在 1 層載有 4 位乘客，假設(shè)每位乘客在 2、3、4 層下電梯是等可能的.() 求這 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 層下電梯的概率；() 用 x 表示 4 名乘客在第 4 層下電梯的人數(shù)，求 x 的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：() 設(shè) 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 層下電梯的事件為 a ,1 分1由題意可得每位乘客在第 2 層下電梯的概率都是 ，3 分3 2 43則 p( a) = 1- p( a) = 1- 65= 6 分81.() x 的可能取值為 0,1,2,3,4,7 分1由題意可得每個人在第 4 層下電梯的概率均為 ，且每個人下電梯互不影響，3所以， x1b(4,

17、 )3.9 分x01234p16813281248188118111 分e( x ) = 4 1 = 4 .13 分339、甲班有 2 名男乒乓球選手和 3 名女乒乓球選手，乙班有 3 名男乒乓球選手和 1 名女乒乓球選手，學(xué)校計劃從甲乙兩班各選 2 名選手參加體育交流活動.（）求選出的 4 名選手均為男選手的概率.（）記 x 為選出的 4 名選手中女選手的人數(shù)，求 x 的分布列和期望. 解：（）事件 a 表示“選出的 4 名選手均為男選手”.由題意知c 2c c2 2p( a) =33 分5 4= 1 1 = 1 .5 分10220（） x 的可能取值為0,1, 2, 3 .6 分c 231

18、p( x = 0) =3=，7 分5 4c 2c 210 620c1c1c2 + c12 3 3 + 37p( x = 1) =2 3 33 =，9 分c c5 42 210 6203 3p( x = 3) =c 2c1 =3 3 =3，10 分5 4c 2c 210 620p( x = 2) = 1- p( x = 0) - p( x = 1) - p( x = 3) =x 的分布列：9.11 分20x0123p17932020202012 分e( x ) = 0 1 +1 7 + 2 9 + 3 3 = 17 .13 分202020201010、某校選拔若干名學(xué)生組建數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)隊，要

19、求選拔過程分前后兩次進行，當?shù)谝淮芜x拔合格后方可進入第二次選拔，兩次選拔過程相互獨立。根據(jù)甲、乙、丙三人現(xiàn)有的水平，第一次選拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次為0.5 ， 0.6 ， 0.4 。第二次選拔， 甲、乙、丙三人合格的概率依次為0.6 ， 0.5 ， 0.5 。（1）求第一次選拔后甲、乙兩人中只有甲合格的概率；（2） 分別求出甲、乙、丙三人經(jīng)過前后兩次選拔后合格的概率；（3） 設(shè)甲、乙、丙經(jīng)過前后兩次選拔后恰有兩人合格的的概率；解：（1）分別設(shè)甲、乙經(jīng)第一次選拔后合格為事件 a1 、 b1 ；設(shè) e 表示第一次選拔后甲合格、乙不合格，則 p(e) = p( a1 b1 ) = 0.5

20、0.4 = 0.24 分（2） 分別設(shè)甲、乙、丙三人經(jīng)過前后兩次選拔后合格入選為事件 a、b、c，則p( a) = 0.5 0.6 = 0.3 ， p(b) = 0.6 0.5 = 0.3 ， p(c) = 0.4 0.5 = 0.2 。8 分（3） 經(jīng)過前后兩次選拔后合格入選的人數(shù)為x，則x= 0 、1、2、3。則p(x= 0) = 0.7 0.7 0.8 = 0.392 ， p(x= 1)= 0.3 0.7 0.8 + 0.7 0.3 0.8 + 0.7 0.7 0.2 = 0.434 ，p(x= 3) = 0.3 0.3 0.2 = 0.018p(x= 2) = 1 - (0.392 +

21、 0.434 + 0.018) = 0.156 （或者 p(x= 2)= 0.3 0.3 0.8 + 0.7 0.3 0.2+0.3 0.7 0.2 = 0.156 ）。x的概率分布列為x0123p0.3920.4340.1560.018 ex= 0 0.392 + 1 0.434 + 2 0.156 + 3 0.018 = 0.8 = 4 。512 分11、某工廠有 120 名工人，其年齡都在 2060 歲之間，各年齡段人數(shù)按20，30)，30,40)，40，50)，50，60 分組，其頻率分布直方圖如下圖所示.工廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，引進了新的生產(chǎn)設(shè)備，要求每個工人都要參加 a、b 兩項培訓(xùn)，

22、培訓(xùn)結(jié)束后進行結(jié)業(yè)考試，已知各年齡段兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示.假設(shè)兩項培訓(xùn)是相互獨立的，結(jié)業(yè)考試也互不影響。年齡分組a 項培訓(xùn)成績優(yōu)秀人數(shù)b 項培訓(xùn)成20，30)30130，40)36240，50)1250,604(1) 若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個容量為 40 的樣本，求各年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)，并估計全廠工人的平均年齡；(2) 隨機從年齡段20，30)和30,40)中各抽取 1 人，設(shè)這兩人中 a、b 兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數(shù)為 x，求 x 的分布列和數(shù)學(xué)期望。)20, 30 ，,，30，, 40, 40, 50, 50, 6解：（1）由頻數(shù)的頻率分布直)方圖

23、知，)年齡段 )的人率分別為0.35,；0.；40；, 0；.15, 0.1因為0.35 40 = 140.4 40 = 16 0.15 40 = 6 0.1 40 = 4所以年齡段20, 30)，,30, 40) , 40, 50) , 50, 60)應(yīng)取的人數(shù)分別為 14；16；6；4；3 分因為各年齡組的中點值分別為 25；35；45；55；對應(yīng)的頻率分別為0.35,；0.；40；, 0；.15, 0.1則 x = 25 0.35 + 35 0.4 + 45 0.15 + 55 0.1 = 35由此估計全廠工人的平均年齡為 35 歲6 分（2）因為年齡段20, 30)的工人數(shù)為120 0

24、.35 = 42 人，從該年齡段任取 1 人，30 = 5由表知，此人 a 項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率 427 ；18 = 3b 項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率 42715所以 a,b 兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為 49 。8 分因為年齡段30, 40)的工人數(shù)為120 0.4 = 48 人，從該年齡段任取 1 人，由表知，此36 = 3人 a 項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率 484 ；b 項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率24 = 13482 。所以 a,b 兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為 8 。10 分由題設(shè) x 的可能取值為 0,1,2；p( x = 0) = (1- 15 )(1-

25、3) = 170 ; p( x = 1) = 15 5 + 34 3 = 177 498392498498392p( x = 2) = 3 15 = 45e( x ) = 267849392 ,392 。12 分12、 某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力 x 和判斷力 y 進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)x681012y2356（1） 請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；（2） 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y= bx + a；n（3） 試根據(jù)（ii）求出的線性回歸方程，預(yù)測記憶力為 9 的同學(xué)的判斷力。xi yi - nx y x - nx（相關(guān)公式： b = i=1, a =

26、 y - bx.）n22ii=1解：（）如右圖：3 分n()解： xi yi =6 2+8 3+10 5+12 6=158，i =1x = 6 + 8 +10 +12 = 9 ， y = 2 + 3 + 5 + 6 = 4 ，44n2 xii=1= 62 + 82 +102 +122 = 344 ，b= 158 - 4 9 4 = 14 = 0.7 ， a= y - bx = 4 - 0.7 9 = -2.3 ，344 - 4 9220故線性回歸方程為 y = 0.7x - 2.3 10 分()解：由回歸直線方程預(yù)測，記憶力為 9 的同學(xué)的判斷力約為 4. 12 分組號分組頻數(shù)頻率第一組230

27、, 235)80.16第二組235, 240)0.24第三組240, 245)15第四組245, 250)100.20第五組250, 25550.10合計501.0013、某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中隨機抽取容量為 50 的學(xué)生成績樣本，得頻率分布表如下：(1) 寫出表中位置的數(shù)據(jù)；(2) 為了選拔出更優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取 6 名學(xué)生進行第二輪考核，分別求第三、四、五各組參加考核人數(shù)；(3) 在(2)的前提下，高校決定在這 6 名學(xué)生中錄取 2 名學(xué)生，求 2 人中至少有 1 名是第四組的概率解：(1) 位置的數(shù)據(jù)分別為 12、0.3；4 分(2) 第

28、三、四、五組參加考核人數(shù)分別為 3、2、1；8 分(3) 設(shè)上述 6 人為 abcdef(其中第四組的兩人分別為 d，e)，則從 6 人中任取 2 人的所有情形為：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共有 15 種10 分記“2 人中至少有一名是第四組”為事件 a，則事件 a 所含的基本事件的種數(shù)有 9 種所以 p( a) = 9 = 3 ，故 2314 分人中至少有一名是第四組的概率為 155514、某市舉行一次數(shù)學(xué)新課程培訓(xùn)，共邀請 15 名研究不同版本教材的骨干教師，數(shù)據(jù)如下表所示：版本人教 a 版人教 b 版性別男教師女教師男教師女教師人數(shù)6342()從這 15 名教師中隨機選出 2 名，則 2 人恰好是研究不同版本教材的男教師的概率是多少？()培訓(xùn)活動隨機選出 2 名代表發(fā)言，設(shè)發(fā)言代表中研究人教 b 版教材的女教師人數(shù)為x，求隨機變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望 ex.15解：()從 15 名教師中隨機選出 2 名共c 2 種選法，(