高考理科二輪復(fù)習(xí)特色專題訓(xùn)練 高考數(shù)學(xué)專題02 破譯函數(shù)中雙變量問(wèn)題

1、一、單選題1已知函數(shù)，若成立，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求最值，屬于難題. 求最值問(wèn)題往往先將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖像法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求函數(shù)的最值即可.二、填空題2已知f(x)(x1)3ex1，g(x)(x1)2a，若x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，即為f(x)maxg(x)mi

2、n.又f(x)(x1)2ex1(x2)，由f(x)0得x1或2，且當(dāng)x2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)maxf(2)，又g(x)mina，則a，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，點(diǎn)睛：對(duì)于不等式任意或存在性問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值大小關(guān)系，即；，3若不等式x22y2cx(yx)對(duì)任意滿足xy0的實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為_【答案】點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.三、解

3、答題4已知函數(shù)（為常數(shù)）與軸有唯一的公關(guān)點(diǎn)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，若存在不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，證明：【答案】（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間（）證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，故由題意可知曲線與軸存在公共點(diǎn)，又，對(duì)a進(jìn)行討論分，四種情況進(jìn)行可得解（）容易知道函數(shù)在處的切線斜率為，得，由（）可知，且函數(shù)在區(qū)間上遞增不妨設(shè)，因?yàn)?，則，則有，整理得，利用基本不等式構(gòu)建關(guān)于不等關(guān)系即可證得.若，則函數(shù)的極小值為，符合題意；若，則由函數(shù)的單調(diào)性，有，取，有下面研究函數(shù)，因?yàn)楹愠闪ⅲ屎瘮?shù)在上遞增，故，故成立，函

4、數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)不符合題意綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用基本不等式來(lái)證明，考查了分類討論的思想，屬于中檔題.5已知函數(shù) (a為常數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn)(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，若不等式f(x1)f(x2)(x1x2)恒成立，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)一元二次方程有兩個(gè)正根，再根據(jù)實(shí)根分布列不等式組，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題： 最大值，再化簡(jiǎn)為a的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得其值域，即得

5、的最小值試題解析：(1)f(x)xa (x0)，于是f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于二次方程x2axa0有兩正根，設(shè)其兩根為x1，x2，則，解得a4，不妨設(shè)x1x2，此時(shí)在(0，x1)上f(x)0，在(x1，x2)上f(x)0，在(x2，)上f(x)0.因此x1，x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，符合題意所以a的取值范圍是(4，)點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定

6、條件. 6設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx.(1)證明：f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增；(2)若對(duì)于任意x1，x21,1，都有，求m的取值范圍【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)m正負(fù)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論得導(dǎo)函數(shù)符號(hào)（2）先利用最值轉(zhuǎn)化不等式恒成立得f(x)最大值與最小值的差不大于e-1,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，解對(duì)應(yīng)不等式得m的取值范圍試題解析：(1)f(x)m(emx1)2x.若m0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx10，f(x)0；當(dāng)x(0，)時(shí)，emx10，f(x)0.若m0，則當(dāng)x(，0)時(shí)，emx10，f(x)0；當(dāng)x(0，)時(shí)，emx10，

7、f(x)0.所以，f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增點(diǎn)睛：不等式有解問(wèn)題與不等式恒成立問(wèn)題這兩類問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即恒成立，恒成立.7已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）討論的單調(diào)性；（）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求證：【答案】（）見(jiàn)解析;（）（1）；（2） 見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，分別令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（II）（1）由（）知，當(dāng)時(shí)， 在R上為增函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)， 的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，只需，即可解得的取值范圍；（2）分離參數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明證明,不妨設(shè),記,則,因

8、此只要證明：，即根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.試題解析：（）的定義域?yàn)镽，（1）當(dāng)時(shí)，在R上恒成立，在R上為增函數(shù)； （2）當(dāng)時(shí)，令得，令得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為； （2）由（）（1），當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上遞增， 在上遞減，依題意，不妨設(shè) 要證，即證，又，所以，而在上遞減，即證， 又，即證，（） 構(gòu)造函數(shù)， ，在單調(diào)遞增，從而，（），命題成立8已知函數(shù) (其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，kR)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，證明：【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題。（1）求導(dǎo)數(shù)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函

9、數(shù)的單調(diào)性。（2）根據(jù)題意將證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可。（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)。所以。設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則，設(shè)，解得，所以，要證，只需證，設(shè)設(shè)單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故9已知函數(shù)與，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)求曲線在處的切線方程；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【答案】（1） （2）(2)很明顯，原問(wèn)題等價(jià)于，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于的不等式：，求解不等式可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .試題解析：（1）定義域?yàn)?，又，故曲線在處的切線方程為，即.10函數(shù),其中.(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;(2

10、)已知當(dāng) (其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),在上至少存在一點(diǎn),使成立,求的取值范圍;(3)求證:當(dāng)時(shí),對(duì)任意,有.【答案】(1)見(jiàn)解析(2) (3)見(jiàn)解析【解析】試題分析：試題解析：(1)易知的定義域?yàn)椋?由得:或，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，則當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增綜上，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，則故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減對(duì)任意，都有成立，即又，點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題時(shí)，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值

11、范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.11設(shè)f(x)lnx，g(x)x|x|.(1)求g(x)在x1處的切線方程；(2)令F(x)xf(x)g(x)，求F(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若任意x1，x21，)且x1x2，都有mg(x1)g(x2)x1f(x1)x2f(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析；(3).試題解析：(1)x0)，F(xiàn)(x)lnxx1，令t(x)F(x)lnxx1，則t(x)1，令t(x)0，解得0x1，令t(x)1，故F(x)在(0，1)上遞增，在(1，)上遞減，故F(x)F(1)0，故F(x)在(0，)上遞減；點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)

12、的題型需要觀察題目函數(shù)的關(guān)系，本題中第（3）問(wèn)將式子整理可得x1x21時(shí)，mg(x1)x1f(x1)mg(x2)x2f(x2)恒成立，則聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)h(x)mg(x)xf(x)x2xlnx，再結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行解題。12已知函數(shù).（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若且，求證：.【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析【解析】試題分析：(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)有，則原問(wèn)題等價(jià)于方程有大于零的實(shí)根，結(jié)合二次方程根的分布理論可得；(2)原問(wèn)題等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得；(3)當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，當(dāng)，等價(jià)轉(zhuǎn)化后結(jié)合（2）的結(jié)論即可

13、證得題中的結(jié)論.（2）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立在時(shí)取得最小值，（3）當(dāng)時(shí)，不等式顯然成當(dāng)，只需證明，令，則只需證明成立，由（2）可知在上是增函數(shù)，點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù) (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思

14、想的應(yīng)用13已知函數(shù)f(x)(x1)ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)(x)xf(x)tf(x)ex，存在實(shí)數(shù)x1，x20,1，使得2(x1)(x2)成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍【答案】(1)見(jiàn)解析 (2) (，32e).【解析】試題分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）假設(shè)存在，使得成立成立，則，分類討論求最值，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)假設(shè)存在，使得成立，則.對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，即.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，即.當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞減；若，則，在上單調(diào)遞增，即.(*)由(1)知，在上單調(diào)遞減，故，而不等式(*)無(wú)

15、解綜上所述，的取值范圍為14設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx.(1)證明：f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增；(2)若對(duì)于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范圍【答案】(1) 見(jiàn)解析(2) 1,1【解析】試題分析：（1）利用說(shuō)明函數(shù)為增函數(shù)，利用說(shuō)明函數(shù)為減函數(shù)，要注意參數(shù)的討論；（2）由（1）知，對(duì)任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問(wèn)題從而求得的取值范圍(2)由(1)知，對(duì)任意的，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值所以對(duì)于任意，的充要條件是即設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增點(diǎn)睛：本題考查了利

16、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)解決恒成立求參的問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)恒成立或者有解求參的問(wèn)題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或小于0，或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù). 15已知函數(shù)，（）若，求函數(shù)的極值；（）若,使得（），求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（）見(jiàn)解析（）【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；（2）設(shè)在上的值域?yàn)锳，函數(shù)在上的值域?yàn)锽，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出實(shí)數(shù)的取值范圍（）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，使得（），故；設(shè)在上的值域?yàn)锳，函數(shù)在上的值域?yàn)锽，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，又.（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)的值域?yàn)?，因?yàn)?，又，故，即；（ii）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的值域?yàn)椋驗(yàn)?，又，故，故；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為16已知(1)證明:圖象恒在直線的上方;(2)若在恒成立,求的最小值.【答案】(1