風(fēng)險決策問題作業(yè)

1、習(xí)題：某農(nóng)民擬在兩種作物中選擇一種。若旱年“占60%正常年景匕占40%種植耐旱作物ai以及種植不耐旱作物a2的后果矩陣為(單位：萬元)a1a2日1200日2601001.設(shè)該農(nóng)民的效用函數(shù)為u(y) =156(1e)(單位：萬元)，問 該農(nóng)民應(yīng)該采取什么行動？畫出該決策問題的決策樹。2.設(shè)氣象預(yù)報的準(zhǔn)確性是0.8，即p(x1 0.8 p(x2二2)= 8。其中：xi表示預(yù)報干旱；X2表示預(yù)報正常年景。畫決策樹；求后驗概率； 進(jìn)行正規(guī)型貝葉斯分析，求貝葉斯規(guī)則； 討論兩種擴(kuò)展型貝葉斯分析；分析氣象預(yù)報費用與是否進(jìn)行氣象預(yù)報的關(guān)系。求解：1.設(shè)該農(nóng)民的效用函數(shù)為u(y) .156(1e.02y)(

2、單位：萬元)，問該 農(nóng)民應(yīng)該采取什么行動？畫出該決策問題的決策樹。解：已知農(nóng)民的效用函數(shù)為u(y)= 1.156(1 工皿),令：l(y)二1-u(y),則損失函數(shù)l(y) = 1 T.156(1 - eQ2y) = 1 - 1.1561.156e.02y=-0.156 + 1.156egy其效用函數(shù)和損失函數(shù)圖形如下所示損失函數(shù)矩陣l（y j）為:a.ka1a260.621日20.190其決策樹如下所示:i(y) y二(北-0.62 20亠 0 100n在無觀察時，R二丨，r（aj八TG|, aj二（齊），已知二（円）=0.6，二（円）=0.4， 1則：（4）=1億）十 1）1（七）十2）=

3、0.62 X 0.6+0.19 X 0.4= 0.448rC,a2）Vi,a2）:（S） l（S,a2）二（S）=1.0 X 0.6+0 X 0.4= 0.6風(fēng)險r小者優(yōu),所以=a1為貝葉斯規(guī)則，即貝葉斯行動即應(yīng)選擇耐旱作物P(x2 日 2) = 0.82.設(shè)氣象預(yù)報的準(zhǔn)確性是0.8，即p（x廠J二0.8 其中：Xi表示預(yù)報干旱；X2表示預(yù)報正常年景。 解：（1）畫決策樹ai二(R |Xi)ai二（R |X2）（2）求后驗概率已知p（x1片）=0.8 p（x廠2）= 0.8，則在狀態(tài)再和二2下出現(xiàn)Xi和X2的條件概率 p（Xk8j）,k=i,2, j T,2 如下：XiX260.80.2日20

4、.20.8根據(jù)：m（xQ=W P（Xk 氣嚴(yán) ，i得：m（xj = p（Xi | 切二（十）p（Xi |七）二（七）=0.56 , m（X2）= 0.44 ;其后驗概率分別為：P（X1 /宀）二（宀）0.8 0.6m(xj0.56P/r)二（宀）.0.2 0.6m%)0.44P（X1 /七）二厲）0.2 0.4m(xj0.56P（X2/ 二2）二厲）一0.8 0.4m(X2)0.44二 0.86= 0.27=1_二(宀 |x2) = 0.73=1 _二 Ci |xj 二 0.14二（匕 |X2）二（七 | Xi）十1 |X2)二（刊 | Xi）-(Xk),k = 1,2,j =1,2X1X20

5、10.860.27日20.140.73 進(jìn)行正規(guī)型貝葉斯分析，求貝葉斯規(guī)則；根據(jù)：任）=瓦瓦 iej,6i（Xk）p（Xk|S）叫 Bj）j k策略: a 1（X1），1（X2）。r（兀,6） T（,a1）p（X1 6）叫日J(rèn) +1何） p（X2卩 1）叫日1）+ 丨（日2,a1）p（X1日2）叫日2）+ l,a2）p（X2|日2尸（日2）策略遼：a 2（x2） , a 2（x1）。（兀,6） = |（6,aJ p（X2 卩小 ） + I,a2）p（xi 卩小阿）丨（七，?。┶?2 %）二（七）I（%,a2）p（x存2）二（七）0.62 X0.2 X 0.6+1.0 X0.8 X0.6+0.1

6、9 X0.8 x0.4+0.0 X0. 2X0.4=0.6152策略 3 : a 3（x1 ） , a2 = 3 （x1 ）,We3）= l,a1）p（x2）+l（S,a2）p（X2S 何）+ 1（日 2,aJp（X2 日 2）叫日 2）+|（日 2,a2）P（X1 卩 2尸（日 2）=0.62 X 0.8 X 0.6+1.0 X 0.2 X 0.6+0.19 X 0. 8X 0.4+0.0 X 0. 2X 0.4=0.4784策略-4: a二、4（x2） , a?二 4（x2）,r（3）= l（01，a1）p（x1嚴(yán)（日1）+丨化耳）卩（訃1）叱JI（S，a1）p（X1F （S） I（S，a

7、P（x廠（S）X 0.4=0.5696因為：r（：，、J ： r（：，、3廠：r（：，、4）： r（：，、2）,所以：3 4 2 ,1是貝葉斯行動。討論兩種擴(kuò)展型貝葉斯分析擴(kuò)展型之一：r =丿（二、（x）f （x 巧二（Rdr或、T（r，（x）p（xr）（）Ti 0給定xi （預(yù)報干旱）：采用 ai :r = l（q,ai）p（Xi 日?。?+1 但2）p（Xi 日2）兀（日2）=0.62 X 0.8 X 0.6+0.i9 X 0.2 X 0.4= 0.3i28采用 a2: r TLi,a2）p（XiS）e）lL2，a2）p（Xi = 2）二（J）=1X 0.8 X 0.6+ 0X 0.2 X

8、 0.4 =0.48根據(jù)“風(fēng)險小者優(yōu)”得：給定xi應(yīng)選ai。給定X2 （預(yù)報天氣正常）：采用 ai , r CiaJpXSFCi) lC2,ai)p(X2j)二(乙)采用 a? ,=l（Sa2）P（X2 S）二 Ol） lG2，a2）P（X2 二 2）二 9 2）=1X0. 2X0.6+0X0. 8X0.4 =0.12根據(jù)“風(fēng)險小者優(yōu)”得：給定X2應(yīng)選a2。由此得Bayes策略 廠為:a 7（Xi） a 7（X2）。擴(kuò)展型之二：r J譏日,a （日x）d日 或 瓦1（日j ,a （日j x）日明給定洛（預(yù)報干旱）：米用a:r FhajF （SxJ + l（日 2尸（JxJ=0.62 X 0.8

9、6+0.19 X 0.14=0.56采用a2 :rF（1,a2）rjxJ + l（日2代）呻2XJ=1.0 X 0.86+0 X 0.14= 0.86 ,根據(jù)“風(fēng)險小者優(yōu)”得：給定 X1時應(yīng)選行動印。 給定X2 （預(yù)報天氣正常）：采用 a1， 1（日1,6）兀（日 1 x2） + l（2,aj 如（日2 x2）采用a2 :=0.62 X 0.27+0.19 X 0.73= 0.3061 ;=1.0 X 0. 27+0X 0. 73= 0.27。得：給定X2時應(yīng)選擇行動已2由此得Bayes策略二為：axj a 二區(qū))。分析氣象預(yù)報費用與是否進(jìn)行氣象預(yù)報的關(guān)系根據(jù)：EVPI = min El(=,

10、a) - EmiiA (,a)a 迂Aamin E7l,a)P mi n El,ai),E()且：a=min0.448, 0.6 = 0.448E(minl(a) =l(,a1)二(r)1(七衛(wèi)2)二(七)a 二A=0.62X 0.6+0 X 0.4= 0.372有：EVPI=0.448-0.372=0.076 (萬元)故：當(dāng)氣象預(yù)報費用小于等于 0.076 (萬元)，即760元時，可以采用 天氣預(yù)報。又根據(jù)：EVSI 二 minEle,a)-minEEfl(r (x)min0.448, 0.6 = 0.448仃 Y11nnmn E E* (眄咅(x) = min瓦 q m(&)=嘉m(xj

11、+ 怯mg)=0.4324則：EVSI=0.448-0.4324=0.0156 -0.故該天氣預(yù)報信息值得花錢。根據(jù)效用函數(shù)u(y) =1.156(1eg，)，其效用值為：Uii(yn) =1.156(1 -ed021) =1.156 (1e。2 2) =0.3811 ；U12W12) =156(1 -022) =1.156 (1 e02 ) =0u21(y21) =1.156(1 e.。2,21) =1.156 (1 e02 60 ) = 0.8078U22W22) =1.156(1 -e02y22 ) = 1.156 (1 -e0.02100 )= 0.9996已知：卞1)=0.6，二(如=0.4，再用L=-U表示損失，則該農(nóng)民的在各狀態(tài)下采用各個行動的損失值及主觀概率如下：a1a2日10.6-0.38110日20.4-0.8078-0.9996因此，該農(nóng)民采取種植耐旱作物和不耐旱作物的期望損失為：E(aJ=