第26講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

1、第26講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案講座26一平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用一課標(biāo)要求：1 平面向量的數(shù)量積 通過(guò)物理中功等實(shí)例，明白得平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； 體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； 把握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算； 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判定兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。2 .向量的應(yīng)用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何咨詢題、力學(xué)咨詢題與其他一些實(shí)際咨詢 題的過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何咨詢題、物理咨詢題等的工具，進(jìn)展運(yùn)算能力和解 決實(shí)際咨詢題的能力。二.命題走向本講以選擇題、填空題考察本章的差不多概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考

2、察平面向量的數(shù)量積 的概念及應(yīng)用。重點(diǎn)體會(huì)向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題難度不大，分值59分。平面向量的綜合咨詢題是”新熱點(diǎn)題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù) 等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等咨詢題，以解答題為主。推測(cè)07年高考：1一道選擇題和填空題，重點(diǎn)考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長(zhǎng)度咨詢題； 屬于中檔題目。2一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運(yùn)算和性質(zhì)；三要點(diǎn)精講1 .向量的數(shù)量積1兩個(gè)非零向量的夾角非零向量a與a，作OA = a , OB = b，那么/ AO A= B0 wen叫a與b的夾角；講明：1當(dāng)B=0時(shí)，a與b同向;2當(dāng)9= n時(shí)，a與b反向;3當(dāng)

3、9= 一時(shí)，a與b垂直，記a丄b ；24注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范疇a 0=O Be =躋cBCC兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，那么=i a i b i cos叫做a與的數(shù)量積或內(nèi)積。規(guī)定0;向量的投影：| b I cos R,稱為向量b在a方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱為射影;3數(shù)量積的幾何意義:b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影的乘積。4向量數(shù)量積的性質(zhì)I向量的模與平方的關(guān)系：aa2向2。乘法公式成立I2b2 ；2 a2 2b b22a b平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律成立：a b2數(shù)量積的概念對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立:分配律成立：a b向量的夾角：cos = cos a

4、,bd?b,?bX1X2yi y22222。Xi yi 、X2 y2當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量 a與b同方向時(shí)，b =oo，當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時(shí)b =180, 同時(shí)0與其它任何非零向量之間不談夾角這一咨詢題。5兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算兩個(gè)向量(Xi, yi),b (X2,y2)，那么 a b=X!X2 y2。6垂直：假如a與b的夾角為90那么稱a與b垂直，記作兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：a丄b a b = OX1X2 y20，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。7平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè) a (x, y)，那么 |a|2 x2 y2或 |a | x2假如表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分不為（xyj、（

5、X2, y2），那么| a | （X1 X2）2 （y1 y2）2 （平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）。2 .向量的應(yīng)用1向量在幾何中的應(yīng)用；2向量在物理中的應(yīng)用。四.典例解析題型1 :數(shù)量積的概念例1.判定以下各命題正確與否: 1假設(shè)a 0,a b那么b C ；4假設(shè)a那么b當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立;6(a b)（b C）對(duì)任意a,b,C向量都成立;對(duì)任意向量a，有解析：1錯(cuò)；2對(duì)；3錯(cuò)；4錯(cuò)；5錯(cuò)；6對(duì)。重點(diǎn)清晰0 a為點(diǎn)評(píng)：通過(guò)該題我們清晰了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)不于聯(lián)系,那么以下等式不零向量，而0 a為零。例2. 12002上海春，13假設(shè)a、b、C為任意向量，m R,定成立的是A. (a b) c

6、 a (b c)f*C. m a b=ma +mb2(2000江西、山西、天津理，共線，那么 a bc c ab = 0B. (a b) c a c beF F F FD. (a b) c a (b c)4)設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不|a | |b |a b | b ca c ab不與c垂直3a+2b3a 2b=9|a |2 4|b |2 中，是真命題的有A.B.C.D.解析：1答案：D；因?yàn)?a b) c | a | | b| cos c,而 a (b c) | b | |c | cos a ； 而c方向與a方向不一定同向。2答案：D平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故假；由向量

7、的減法運(yùn)算可知|a|、|b|、|a b I恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由”兩邊之差小于第三邊，故真； 因?yàn)閎 ca c ab : c= b ca c c ab c =0，因 此垂直故假；3 a +2b3a 2b=9 a a 4b b =9| a |2 4|b |2成立。故 真。點(diǎn)評(píng)：此題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律。題型2 :向量的夾角例3. 106全國(guó)1文，1向量a、b滿足| a| 1、|b| 4，且a b 2，那么a與b的夾角為A. 一B. C . 一 D . 一6432sinfc-2 06北京文，12 丨向量 a=(cos ,sin ), b =(cos,si

8、n ),且 ab，那么a b與a b的夾角的大小是 ，試求c與d的3兩單位向量a與b的夾角為1200，假設(shè)c 2a b,d夾角。b，且c丄a，那么向量a與b的夾角為A . 30B. 60C.120D. 150解析：1C; 2一;3由題意,且a與b的夾角為1200,因此，a bb cos1200(2d b)b) 4b27 ,同理可得而 c d(2a b)(3b7a b 3b22a2設(shè)為C與d的夾角,17那么 cosL j27(1317、91182。4C;設(shè)所求兩向量的夾角為c.a (ab). a|a|2| a |b | cos即：cos|a|2|a|因此120o.點(diǎn)評(píng)：解決向量的夾角咨詢題時(shí)要借

9、助于公式|a|b|b|cos，要把握向量坐標(biāo)形式的|a| |b|運(yùn)算。向量的模的求法和向量間的乘法運(yùn)算可見一斑。關(guān)于a.b |a|b|cos 那個(gè)公式42005 北京 3| a|=1, | b |=2, c= a +的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直平行的充要條件必需把握。例4. 1 06全國(guó)1理，9設(shè)平面向量a1、a2、a3的和a2a30。假如向量b；、b2、b3，滿足|bi | 2| ai |，且aj順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o后與bi同向，其中i 1,2,3 , 那么F S- 1- Fk 1- k FA. - b1 +b2 +b3 =0B. a-b2+b3=0C. b| +b2 - b3 = 0D

10、. b +b2 +b3 =02 06湖南理，5心| 2|b| 0,且關(guān)于x的方程x2 |a|x a b 0有實(shí)根，那么a與b的夾角的取值范疇是2A. 0,B . 一， C . , D6333解析：1D; 2B;點(diǎn)評(píng)：關(guān)于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會(huì)技巧性應(yīng)用，解決好實(shí)際咨詢題。題型3 :向量的模例5. 1 06福建文，9向量a與b的夾角為120o,Jracd等于A . 5B. 4C. 3I.2 06浙江文，5設(shè)向量a,b,c滿足aD. 1-a2，那么|112A. 1B. 2解析：1B;2D;C. 4D. 5點(diǎn)評(píng)：把握向量數(shù)量積的逆運(yùn)算a b2b- .2a|*-,以及a|a|。| b | cosQa

11、= 3, 4,b = 4, 3，求 x,y 的值使（xa+yb ）丄 a，且丨 xa +yb I =1。解析：由 a = 3, 4，b = 4, 3，有 xa+yb =(3x+4y,4x+3y);又xa+yb 丨丄 a (xa+yb ) a =03(3x+4y)+4(4 x+3y)=0 ;即 25x+24y=0；2又 I xa+yb I =1 I xa +yb I =1;223 x+4y+4 x+3y=1;整理得 25x + 48xy+25y =1即卩 x(25x+24y)+24xy+25y =1;由有24xy+25y =1；將變形代入可得:y= 5 ；72424xx再代回得：35和3555y

12、y77點(diǎn)評(píng)：那個(gè)地點(diǎn)兩個(gè)條件互相制約，注意表達(dá)方程組思想。 題型4:向量垂直、平行的判定例7. (2005廣東12)向量a (2,3)，b (x,6)，且 a/b，那么x解析： a/b , xiy2X2 yi, 2 6 3x, x值。1解析:4,3 , b；2m/1,2 ,b,按以下條件求實(shí)數(shù)的,3 27,81/n452 ；9 ；12 ；.72825 2 488 0點(diǎn)評(píng)：此例展現(xiàn)了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的差不多運(yùn)算。 題型5 :平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用例 9. a2 b21, c2 d21,求證：|ac bd | 1。分析：a2 b21, c2 d21,能夠看作向量 x (a, b),

13、y (c, d)的模的平方，而ac bd那么是x、y的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。證明：設(shè) x (a, b),y (c, d)那么 x y ac bd,|x|a2 b2,|y| . c2 d2。|x y| |x| |y|,| ac bd | , a2 b2、c2 d21點(diǎn)評(píng)：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們接觸了許多含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如|a b| |a| |b|, |a b| |a| |b|； a b |a b| |a|b|等。1求證:a + b 與 a -b互相垂直；2假設(shè)k a b 與 k ab k0的長(zhǎng)度相等，求解析:仁因?yàn)?a + b)-(a 2b) aa b+ b

14、a2 2ab|a|2 |b|2.1 2 cos2 sin.cos22 sin110因此a +b與a b互相垂直。2k a+ b k coscos,ksinsink abk coscos,ksinsin因此|k ab| . k2 2k(cos1 ,|k ab|2k 2k cos1 ,因?yàn)閨kab| |ka b|,因此k22k cos1k22 k cos1,例 10. a cos , sin , b cos , sin ，其中 0o2b有 2k cos2k cos又因?yàn)?因此2點(diǎn)評(píng)：平面向量與三角函數(shù)在”角之間存在著緊密的聯(lián)系。假如在平面向量與三 角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)考題，其形式多樣，解法靈活，極富

15、思維性和挑戰(zhàn)性。假設(shè)依照所 給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理?？墒菇忸}過(guò)程得到簡(jiǎn)化，從而提高解 題的速度。題型6:平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用例 11.2002 年高考題兩點(diǎn) M( 1,0), N(1,0)，且點(diǎn) Px, y使得 MP MN ,PM PN , NM NP成公差小于零的等差數(shù)列。，求 tan 。因此tan | y0 |，當(dāng)p在x軸上時(shí)，y0 0,tan1求證 x2 y23(x0)；解析：1略解：PM PN2 x2y1，由直截了當(dāng)法得2 2x y 3( x 0)2當(dāng)1 P不在x軸上時(shí)，S PMN1| PM |PN |sin1PM PNtan21?|MN |y。|而PNPM

16、( 1 x, y)(1X。，y)x0 y 12, | MN | 22假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y)，記PM與PN的夾角為0 ,上式仍成立。-a btan 得2、 1 1點(diǎn)評(píng)：由正弦面積公式 S |a|b|sin|a|b|cos tan2 2到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系，由面積相等法建立等量關(guān)系。例12.用向量法證明：直徑所對(duì)的圓周角是直角。:如圖，AB是O O的直徑，點(diǎn)P是O O上任一點(diǎn)不與 A、B重合，求證：/ APB =90 。衛(wèi)a 且 PA OA OP a b,證明：聯(lián)結(jié)OP,設(shè)向量OA a, OP b，那么OBPB OBOPa bPAPB2 2 2 b a | b |lai2 0PA

17、 PB，即/ APB = 90。點(diǎn)評(píng)：平面向量是一個(gè)解決數(shù)學(xué)咨詢題的專門好工具，它具有良好的運(yùn)算和清晰的 幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。題型7 :平面向量在物理中的應(yīng)用例13.如下圖，正六邊形PABCDE的邊長(zhǎng)為b,有五個(gè)力PA、PB、PC、PD、PE 作用于同一點(diǎn)P,求五個(gè)力的合力。解析：所求五個(gè)力的合力為 PA PB PC PD PE,如圖3所示，以PA、PE為 邊作平行四邊形 PAOE,那么PO PA PE,由正六邊形的性質(zhì)可知 |PO|PA| b , 且0點(diǎn)在PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形 PBFD，那么PF PB PD，由正六邊 形的性質(zhì)可知|PF I

18、3b，且F點(diǎn)在PC的延長(zhǎng)線上。由正六邊形的性質(zhì)還可求得 |PC | 2b故由向量的加法可知所求五個(gè)力的合力的大小為b 2b 3b 6b，方向與PC的方向相同。五.思維總結(jié)1 .兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有專門大區(qū)不1兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由 cos的符號(hào)所決定；2兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a X b ,而a b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分符號(hào)” 在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用”X代替；3在實(shí)數(shù)中，假設(shè)a 0，且ab=0,那么b=0 ；然而在數(shù)量積中，假設(shè)a 0,且a b =0, 不能推出b = 0。因?yàn)槠渲衏os

19、有可能為0 ；4實(shí)數(shù) a、b、c(b 0)，那么 ab=bc a=c。然而 ab=bc 千 a c ； 匚-如右圖：a b = | a | b |cos = |b |OA|, b c = |b |c|cos = | b |OA| a b = b c，但 a(5)在實(shí)數(shù)中，有(a b)c = a (b c)，然而(a b)c a (b c)，明顯，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與 a共線的向量，而一樣 a與c不共線。2 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律專門注意：1結(jié)合律不成立:2消去律不成立a c不能得到bb =0不能得到a=o或3 向量知識(shí)，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)物理等學(xué)科的專門多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的”雙重身份能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，因此高考中