初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理3空間與圖形

1、初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理 3 幾何部分一、直線與線段1、直線公理：兩 點(diǎn)確定一條直線； 2、線段公理： 兩點(diǎn)之間， 線段 最短二、角： 1、有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形交角；角的分類：2、 和為直角的兩個(gè)角互為余角，和為平角的兩個(gè)角互為補(bǔ)角。 3、六十 進(jìn)位制 :4、角平分線的性質(zhì) ：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，角的內(nèi)部到兩邊距離相等的點(diǎn)在 角平分線 上。三、相交線與平行線 1. 余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角（相交）的性質(zhì) ：同角或等角的余角相等；同角或等角的補(bǔ)角相等； 對(duì)頂角相等。2. 垂直 (1)垂線的性質(zhì) ：過一點(diǎn)有且只有 1 條直線與已知直線垂直；直線 外一點(diǎn)有與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂

2、 線段最短 ；(2) 線段垂直平分線定義 ：過線段的中點(diǎn)并且垂直于線段的直線叫做線段的垂直平分線（3）線段垂直平分線的性質(zhì) ：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等， 到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上；3. 平行 （1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)不 相交 的兩條直線叫做平行線；（2）平行線的性質(zhì) ：兩直線平行，同位角 _；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角 _；兩直線平行，同旁內(nèi)角 互補(bǔ)（3）平行線的判定： 同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；（4）平行的性質(zhì)：經(jīng)過直線 外一點(diǎn)有且只有一條直線平行于已知直線。4. 距離 （1）連接兩點(diǎn)的 線段的長(zhǎng)度 叫做兩點(diǎn)間

3、的距離；（2）直線外一點(diǎn)向直線所作的 垂線段的長(zhǎng)度 叫做點(diǎn)到直線的距離；（3） 兩條平行線間的距離 ：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做兩條平行線間的距離 兩條平行線間的距離是一個(gè)定值， 不隨垂線段位置改變而改變，兩條平行線間的距離處處相等四、三角形 1. 三角形的有關(guān)概念 。2. 三角形的有關(guān)性質(zhì) ：三角形的三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于 _180_ ；三角形的外角和定理：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)（ _內(nèi)_心）；三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn) （外

4、心）；三角形的三條中線交于一點(diǎn) （重心）；三角形中位線定理：三角形中位線平行于 _邊，并且等于 _邊的一半；3. 全等三角形 （1）定義：兩個(gè)能夠重合的三角形是全等三角形。（2）性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊 _，對(duì)應(yīng)角 _。（3）三角形全等的條件：邊角邊（ SAS）；角邊角（ ASA）；角角邊（ AAS）；邊邊邊（ SSS）；斜邊、直角邊（ H L）4. 等腰三角形 (1) 等腰三角形的性質(zhì) ：等腰三角形的兩個(gè)底角相等 （等邊對(duì)等角） ；知識(shí)點(diǎn) 3 幾何 第 1 頁 共 8 頁等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一） ；以頂角平分線所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形。(2)

5、等腰三角形的判定 ：有兩邊相等 有兩個(gè)角相等（等角對(duì)等邊） ；5. 等邊三角形的判定： （1）三邊相等 （2）三角相等（3）有 1 個(gè)角等于 60的等腰三角形6. 直角三角形 （1）直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互為_角；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； 直角三角形的兩直角邊的 _等于斜邊的平方（勾股定理） ；直角三角形中， 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。垂心是直角頂點(diǎn)，外心是斜邊的中點(diǎn)記憶: （1）母子相似 （ 2）兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高的乘積（3）內(nèi)切圓半徑 =三角形面積的 2 倍除以三角形周長(zhǎng)，或周長(zhǎng)的一半減去斜邊長(zhǎng)。（2）直角三角形的判定 ： 有一個(gè)內(nèi)角是

6、直角的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理 : 如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b 、 c 有下面關(guān)系2 b2 c2a ，那么這個(gè)三角形是直角三角形7.銳角三角函數(shù)： （1）在 Rt ABC中， C=90 ，sinA=A ，的對(duì)邊斜邊cosA=A , tanA=的鄰邊斜邊A 的對(duì)邊；sinA=cosB; 0sinA1,0cosA0.A 的鄰邊(2)銳角 A越大 , A 的正弦和正切值越大 , 余弦值反而越小 .(3) 特殊角的三角函數(shù)值：三角 函數(shù)度數(shù)30 45 60sin 122232cos322212tan 331 3(4) 坡角 ：斜坡與水平面的夾角坡度 鉛直高度i 水平寬度hltan五、四邊形

7、1. 多邊形：（1）多邊形的內(nèi)角和定理： n邊形的內(nèi)角和等于 （n-2）180（n 3，n 是正整數(shù)）； （2）多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于 36 0（3）各角都相等，各邊都相等的多邊形叫正多邊形（4）用多邊形進(jìn)行密鋪的條件： 圍繞平面內(nèi)同一點(diǎn)， 拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角的和知識(shí)點(diǎn) 3 幾何 第 2頁共 8 頁恰好為 360. 相接的邊長(zhǎng)相等例：正三角形；正四邊形；正五邊形；正六邊形；正八邊形；正十邊形解：以上正多邊形各內(nèi)角依次為 60；90；108；120；135；144可以用以上一種鋪滿地面的是；可以用以上兩種鋪滿地面的是；2平行四邊形 平行四邊形是四邊形中應(yīng)用廣泛的一種圖

8、形， 它是研究特殊四邊形的基礎(chǔ)，是研究線段相等、角相等和直線平行的根據(jù)之一（1）平行四邊形的定義： 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（2）平行四邊形的性質(zhì) ：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且相等；平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等； 平行四邊形的對(duì)角線互相平分 平行四邊形是以兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心的 中心對(duì)稱 圖形（3） 平行四邊形的判定： 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 （4） 平行四邊形的面積等于底 高3. 矩形 (1) 定義 : 有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形

9、.(2) 矩形的性質(zhì) ：（除具有平行四邊形所有性質(zhì)外） 矩形的四個(gè)角都是直角； 矩形的對(duì)角線相等；矩形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形(3) 矩形的判定 ：，定義 有 3 個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；4. 菱形 (1) 定義: 有一組鄰邊相等的 平行四邊形 叫做菱形 .(2) 菱形的性質(zhì) ：（除具有平行四邊形所有性質(zhì)外）菱形的四邊相等；菱形的對(duì)角線互相垂直平分；菱形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形(3) 菱形的判定： 定義 四邊相等的四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 .（4）菱形的面積等于兩對(duì)角線長(zhǎng)乘積的 _5. 正方形 (1) 定義: 有一組鄰邊相等且有

10、一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形(2) 正方形的性質(zhì) ：正方形的四邊相等；正方形的四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；(3) 正方形的判定： 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形。6.中點(diǎn)四邊形 :原四邊形 中點(diǎn)四邊形任意四邊形 是平行四邊形對(duì)角線相等的四邊形 菱形對(duì)角線垂直的四邊形 矩形對(duì)角線相等且垂直的四邊形 正方形六、尺規(guī)作圖 （基本作圖、利用基本圖形作三角形和圓）作一條線段等于已知線段，作一知識(shí)點(diǎn) 3 幾何 第 3 頁 共 8 頁個(gè)角等于已知角；作已知角的平分線；作線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線；七、視圖與

11、投影 1視圖 ：主視圖、左視圖、俯視圖2基本幾何體的三視圖畫法 ：（1）觀察方向：正面、側(cè)面、上面 （2）視圖特點(diǎn)：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等 （3）要注意實(shí)線與虛線的用法3.平行投影 ：太陽光線可以看成是平行光線，像這樣的光線形成的投影稱為平行投影4.中心投影 ：光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線形成的投影稱為中心投影八、圓 1. 圓有關(guān)的概念 :（1） 圓 ：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓，其中，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑圓的內(nèi)部是 _的點(diǎn)的集合（2） 圓心角 ：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角（3） 圓周角 ：頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角（4）?。簣A上任意

12、兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧等?。?在同圓或等圓中，能夠互相重合的?。?） 弦 ：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑2. 圓的有關(guān)的性質(zhì)： 軸對(duì)稱性和中心對(duì)稱性以及旋轉(zhuǎn)不變性（1）圓心角、弦和弧三者之間的關(guān)系： 在同圓或等圓中 ，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等；（2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（3）圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于 所對(duì)弧的度數(shù) ；（4）圓心角與圓周角的關(guān)系 :同圓或等圓中 ，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半（5）圓內(nèi)

13、接四邊形 :頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ) .（6）圓周角定理：直徑所對(duì)的圓周角是直角，反過來， 90 的圓周角所對(duì)的弦是直徑；3 （1） 確定圓的條件 ：已知圓心和半徑 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓（2）三角形的內(nèi)切圓和外接圓：三角形的內(nèi)切圓 三角形的外接圓A A圖形O IB CB C圓心 內(nèi)心 外心內(nèi)外心性質(zhì)內(nèi)心是三角形角平分線的交點(diǎn)內(nèi)心到三邊的距離相等外心是三角形中垂線的交點(diǎn)外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等角度 BIC=90 +12 ABOC=2A或BOC=360 -2 A知識(shí)點(diǎn) 3 幾何 第 4 頁 共 8 頁如圖，1 a b c cS ABC ，當(dāng) 時(shí)， a

14、b c r C 90 r ,R內(nèi) 內(nèi) 外2 2 24. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 ：設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則點(diǎn)在圓外 dr點(diǎn)在圓上 d=r點(diǎn)在圓內(nèi) dr證多點(diǎn)在同一個(gè)圓上，即證這些點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等5直線和圓的位置關(guān)系 有三種：相離、相切、相交設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線與圓相交 dr，直線圓相切 d=r，直線與圓相離 d r切線的判定定理：經(jīng)過半徑的 外 端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，這一點(diǎn)到兩切點(diǎn)的線段相等，它與圓心的連線平分兩切線的夾角；如圖，PA，P B分別切 O于 A、B

15、。直線OP交 O于 D、E，交弦 A B于 CA 51E o C D P7 38 42 6B則由切線長(zhǎng)定理得 PA=PB, 3=4由等腰三角形三線合一性質(zhì)得 PCAB,AC=BC由切線性質(zhì)得 OAAP,OBBP 由垂徑定理得 AD=BD,AE=BE連AD BD D ABP 、 得為 內(nèi)心 1 2 3 4 5 6 7 8 ； 6.圓與圓的位置關(guān)系 3設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R 和 r，則 兩圓外離 d R+r； 兩圓外切 d= R+r ； 兩圓相交 R-rdR+r（ Rr） 兩圓內(nèi)切 d= R-r （Rr） 兩圓內(nèi)含 dR-r（Rr）7.扇形的弧長(zhǎng)和面積lnR1802 n R 1S

16、或 S lR360 2(列式時(shí)不帶單位 )（R為半徑， n 是扇形所對(duì)的圓心角的度數(shù)， l為扇形的弧長(zhǎng)）8.立體圖形的認(rèn)識(shí)1. 幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成的，點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本元素2.圓柱可以看著矩形繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形，圓錐可以看著直角三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形，圓臺(tái)可以看著直角梯形繞著垂直于底邊的一腰旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形。圓錐、圓柱的側(cè)面積和表面積1S S底面周長(zhǎng)母線長(zhǎng)圓錐側(cè)2圓柱側(cè)=底面周長(zhǎng) 高S S圓柱表 S側(cè)2S底圓錐表 S S側(cè) 底12 2V圓錐 r h V r h圓柱3知識(shí)點(diǎn) 3 幾何 第 5頁共 8 頁 圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)圓柱的底面

17、周長(zhǎng)等于側(cè)面展開矩形的一邊長(zhǎng) 圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開扇形的半徑圓柱的高等于側(cè)面展開矩形的另一邊長(zhǎng)9、正多邊形和圓九. 圖形的軸對(duì)稱 1. 比較： 一個(gè)圖形沿著一條直線（對(duì)稱軸）折疊，如果它能與另一個(gè)圖像重合，則稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線 軸對(duì)稱， 一個(gè)圖形沿著一條直線（對(duì)稱軸）折疊，直線兩旁的部分重合，則稱這個(gè)圖形是 軸對(duì)稱圖形2. 軸對(duì)稱的基本性質(zhì)： （1）關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形（ 2）對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段的垂直平分線；3. 等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓是軸對(duì)稱圖形；十. 圖形的旋轉(zhuǎn) 1. 圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì) ：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等， 對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所

18、成的角彼此相等（等于旋轉(zhuǎn)角） ；旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。2. 中心對(duì)稱圖形 : （1） 在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。 （2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形，中心對(duì)稱圖形上的每對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。（3）平行四邊形、矩形、菱形、正多邊形（ 邊數(shù)是偶數(shù) ）、圓是中心對(duì)稱圖形；十一. 圖形的平移 1、 平移的概念 ：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小注:（1）平移是運(yùn)動(dòng)的一種形式，是圖形變換的一種，初中講的平移是指平面圖形在同一平面

19、內(nèi)的變換 （2）圖形的平移有兩個(gè)要素：一是圖形 平移的方向 ，二是圖形 平移的距離 ，這兩個(gè)要素是圖形平移的依據(jù) （3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小2平移的基本性質(zhì)： （1）新圖形與原圖形全等經(jīng)過平移； （2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等3.平移作圖主要關(guān)注： （1）方向 （2）距離，平移作圖就像把整個(gè)圖形的每一個(gè)特征點(diǎn)放在一套平行的軌道上滑動(dòng)一樣，每一個(gè)特征點(diǎn)滑過的距離是一樣的。十二. 圖形的相似1. 比例的基本性質(zhì) ：如果abcda c，則ad bc ，如果 ad bc ，則 (b 0,d 0)b d2.

20、平行線分線段成比例定理 ：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 .圖 1 圖 2 圖 33. 相似三角形的判定 ： 兩組角對(duì)應(yīng)相等；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角對(duì)應(yīng)相等；三邊對(duì)應(yīng)成比例 直角三角形相似的判定知識(shí)點(diǎn) 3 幾何 第 6 頁 共 8 頁4. 相似三角形的性質(zhì) ：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例；相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比；相似三角形的面積比等于相似比的平方；5.相似多邊形 : 兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例性質(zhì) ：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；相似多邊形的周長(zhǎng)之比等于相似比；相似多邊形的面積比等于相似比的平方6.位似圖形：

21、 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。位似圖形性質(zhì) ：位似圖形具有相似圖形的性質(zhì) 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。A7.圖形的位似與圖形相似的關(guān)系 ：兩個(gè)圖形相似不一定是位似圖形，兩個(gè)位似圖形一定是相似圖形；8.黃金分割： C 為線段 AB 上一點(diǎn)且 AC 2=BC AB 則2=BC AB 則ACAB=_BDC底 5 1黃金三角形 : 0.618腰 2寬 51黃金矩形 0.618 長(zhǎng) 2AF EG9. 三角形的重心 : 三條中線的交點(diǎn)，需記的結(jié)論 :DGDAEG

22、EBFGFC13B CD01.ABC 中,AB=AC, 則B=C=901 A,A=180 02B21 BAC2. ABC 中,I 為內(nèi)心，則 BIC90 23ABC 中,O 為內(nèi)心，則 BOC2A 或 360 2A1 （a+bc）4直角三角形外接圓直徑斜邊長(zhǎng)，內(nèi)切圓半徑 2一般三角形的內(nèi)切圓半徑等于三角形的面積的兩倍除以三角形的周長(zhǎng)5平行四邊形的面積底 高，菱形的面積對(duì)角線積的一半2，弧長(zhǎng) l=6圓周長(zhǎng) c=2 r，面積 rn rr180扇形面積n rr3602或12 弧長(zhǎng) 半徑hl=tan 8正邊形的中心角為360n07.坡度 i= =外角9各邊相等且各角相等的多邊形是正多邊形；10圓柱的側(cè)面展開圖為矩形 S0 的圓錐柱側(cè) =L 2 r， 圓錐的側(cè)面展開圖是扇形 (錐角 60的側(cè)面展開圖是半圓 ),軸截面是等腰三角形 .11. 周長(zhǎng)相等的正多邊形邊數(shù)越多面積越大；面積相等的正多邊形邊數(shù)越多周長(zhǎng)越小；知識(shí)點(diǎn) 3 幾何 第 7 頁 共 8 頁018012. 正多邊形轉(zhuǎn)化為直角三角形，同圓的內(nèi)接與外切正多邊形的相似比為 cosn13順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)得平行四邊形；順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)得菱形；順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)得矩形；要得正方形呢 ?14.對(duì)角線互相垂直的四邊形面積等于兩對(duì)角線