人口數(shù)量及結構預測模型

1、基于 Leslie 矩陣的中國計劃生育政策探討摘要我國是一個人口大國 , 人口問題始終是關系著我國發(fā)展的關鍵問題 , 已成為經(jīng)濟發(fā)展中的一 個重要組成部分 , 對我國的經(jīng)濟社會發(fā)展有著越來越大的影響 , 人口問題也是我國的根本 問題, 可是我國目前人口的發(fā)展卻出現(xiàn)老齡化嚴重，男女性別比例失調等不良現(xiàn)象。 在本文中，我們首先針對近幾年的人口數(shù)據(jù)做出了一些簡要的分析， 特別是自從 2002 年計 劃生育政策實施至今，我國的人口自然增長率出現(xiàn)一定的降低，為了考慮其以后的人口發(fā) 展情況，我們在實行計劃生育政策的情況下對未來人口數(shù)量和結構進行一定的預測，并評 價其合理性。從種群的方面出發(fā)， 在種群的 L

2、eslie 模型的基礎上， 我們將整個中國的年齡按階段分成 20 組，通過 Leslie 矩陣建立起他們的相關關系， 我們以最近中國第六次人口普查所得的數(shù)據(jù) 進行研究，通過控制 5 年內(nèi)總生育率的倍數(shù)來控制每個夫婦所生孩子的個數(shù)，通過多次迭 代求解，最終可得到：若我國嚴格采用現(xiàn)行的計劃生育政策，即每個夫婦僅生一個孩子， 則 50 年后我國的人口將為 5 億左右，可見人口老齡化現(xiàn)象的嚴重。 為了提出新的政策，我們通過改變其倍數(shù)關系來改變其人口的結構，我們發(fā)現(xiàn)當生育率為 原總和生育率的倍數(shù)為 1.8 左右，也即每個夫婦大約生 2 個孩子時，從人口數(shù)量來看， 50 年后我國的人數(shù)將在 10 億左右；

3、而從人口的結構來看，男女比例也接近于1，老少比也比較合適。所以，這應該是一個我們比較容易接受的結果。關于放寬二胎政策的時間，我們 通過探索兩個不同總和生育率的相關人口變化情況下， 發(fā)現(xiàn)在 2015 年對計劃生育進行改變， 其改變的內(nèi)容為：在控制人口數(shù)量為 10 億情況下，在最近 50 年里，可以對二胎政策給予 一定的放寬。在模型的檢驗中，在現(xiàn)行總和生育率與原總和生育率的倍數(shù)為 1.8 時，我們通過增大或減 小其值時，其效果都不是往老齡化方向發(fā)展就是往人口數(shù)量急劇上升的方向發(fā)展，所以， 我們就認為其值為1.8時，在未來50年內(nèi)，其效果是最好的。關鍵詞：計劃生育，Leslie矩陣，人口老齡化，總和

4、生育率，二胎政策 目錄一、 問題重述1二、 問題分析12.1關于人口數(shù)量與結構的分析12.2二胎政策相關問題的分析3三、 模型的建立與求解33.1模型的假設33.2符號的定義43.3基于Leslie的矩陣模型建立53.3.1 Leslie種群模型的介紹53.3.2基于Leslie矩陣的人口模型63.4模型的求解63.4.1存活率s的求解 73.4.2 生育率的確定73.4.3 Leslie 矩陣的確定及模型求解9四、模型的分析114.1實施當前計劃生育政策的分析114.2 a值對人口年齡結構的影響124.3人口政策的分析154.4人口政策的建議15五、模型的評價165.1優(yōu)點 165.2缺點

5、16六、模型的檢驗16七、 參考文獻17問題重述我國是一個人口大國，人口問題始終是關系著我國發(fā)展的關鍵問題 ，已成 為經(jīng)濟發(fā)展中的一個重要組成部分，對我國的經(jīng)濟社會發(fā)展有著越來越 大的影響。人口問題也是我國的根本問題。我國由于人口基數(shù)大，國家實施了計劃生育的政策，雖說人口的自然增長 率較之前有一定的降低，人口的遞增速度也有所減緩。但是，近年來，我 國人口面臨著老齡化進程加速，出生人口性別比嚴重失調，以及鄉(xiāng)村人口 城鎮(zhèn)化等不良現(xiàn)象。所以很有必要利用現(xiàn)有的相關人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在當前 計劃生育政策實施的情況下，通過建立數(shù)學模型來研究我國人口在結構及 數(shù)量上在近階段的變化情況，并對其未來情況進行一定的預

6、測，以適應整 個中國國情與經(jīng)濟的形勢同時,還需要我們分析現(xiàn)行人口政策的優(yōu)缺點， 同時，為了解決上述人口結構的一些的問題，我們也還得考慮是否需要對 該政策進行一定的改變來改善我國人口老齡化，男女比例失調等現(xiàn)象。從 而使我國人口向一個比較樂觀的方向發(fā)展。二、問題分析2.1關于人口數(shù)量與結構的分析隨著人們生活水平和社會醫(yī)療水平的提高，我國人口的平均壽命顯著變 長。在人口的數(shù)量和結構上，根據(jù)表一的相關數(shù)據(jù)顯示：表一：我國人口年齡結構數(shù)據(jù)表格總人口總撫少兒撫老年撫年份按年齡組分（年末）養(yǎng)比養(yǎng)比養(yǎng)比（萬人）0-14歲15-64歲65歲及以上(%)(%)(%)人口數(shù)人口數(shù)人口數(shù)198210165434146

7、62517499162.654.68.019871093003134771985596851.843.58.319901143333165976306636849.841.58.319951211213221881393751048.839.69.219961223893231182245783348.839.39.519971236263209383448808548.138.59.719981247613206484338835947.938.09.919991257863195085157867947.737.510.220001267432901288910882142.632.69.

8、920011276272871689849906242.032.010.120021284532877490302937742.231.910.420031292272855990976969242.031.410.720041299882794792184985741.030.310.7200513075626504941971005538.828.110.7200613144825961950681041938.327.311.0200713212925660958331063637.926.811.1200813280225166966801095637.426.011.32009133

9、45024659974841130736.925.311.6201013409122259999381189434.222.311.9從表一中，我們可以看出，自2002年實施計劃生育以來，我國人口變化有如下特點： 人口的數(shù)量持續(xù)增加，到 2010年底，我國的人口達到13.4億，這與我國的人口基數(shù)大這一點是分不開的。 我國的老年人比重逐漸增加，少兒的比重逐漸降低，而總撫養(yǎng)比重卻出現(xiàn)降低，這充分說明了我國人口老齡化但勞動人口增加的現(xiàn)象。 所以，在本文中，我們將通過 2010年的人口數(shù)量及結構的相關數(shù)據(jù)，基 于 Leslie 模型【2】，結合中國當今的人口情況，對其作一定的改進與分析， 最終對未來時

10、間的人口數(shù)量以及年齡結構進行一定的預測與分析。2.2 二胎政策相關問題的分析所謂二胎政策，是指農(nóng)村戶口的話，頭一抬是女的就可以生第二胎，但是 前提條件是年滿 28 周歲的夫婦，否則兩胎要相隔四年才能生第二胎，如 果頭一抬是男的，無論是什么戶口，則只能生一胎。所以，如果考慮是否需要全面實施二胎政策，則需要我們從原來的計劃生 育政策中改變一定的條件，也即是要我們探究在基本保持人口增長速度保 持較慢的情況下，使人口的男女性別出現(xiàn)均衡以及老齡化的進程得到減 緩。所以，我們將會對上述所建立的數(shù)學模型作一定的參數(shù)修正，同時也 用其對未來近幾年進行一定的預測。并能使其達到相關的預期目標。通過 對其所得相關結

11、果給予一定的分析與討論，我們將從中對該政策是否實 施、什么時候實施以及怎么實施給予最終的結果。三、模型的建立與求解3.1 模型的假設1. 假設沒有重大的自然災害，政府的政策沒有重大的變化以及醫(yī)療水平基本保持不變。2. 所研究的人口沒有太大的遷出與遷出，且基本相等。3. 我國人口數(shù)量主要取決于出生率與死亡率兩個因素。4. 短期內(nèi)人口的生育率與死亡率的總體水平可以視為常數(shù)5. 本文參考的所有文獻及資料的所有的數(shù)據(jù)來源均真實可靠。3.2符號的定義序號符號含義1表示年份（選定初始年份為 0）2第k年齡組的平均生育率3Leslie矩陣4Xj (k), i 1,2,n時刻tk第i個年齡組中人口數(shù)目5201

12、0年各年齡組的人口分布向量6第i個年齡組的存活率7第i個年齡組的死亡率8所有年齡組的女性人口占同一組的所有人的比例的系數(shù)向量9各年齡組的育齡婦女在五年內(nèi)的平均生育率向量10第k年的各年齡組的人口分布向量11總和生育率3.3基于Leslie的矩陣模型建立3.3.1 Leslie種群模型的介紹Leslie模型是一個研究群體的離散模型，對于人這種特殊的群體也同樣適 用，而且特別是其考慮年齡結構，所以其顯得比Logical等其他群體的模型更具有優(yōu)越性。我們將群體按年齡的大小等間隔的分成n個組，討論其在不同時間年齡的分布，對時間加以離散化，其間隔也必須與年齡組的間隔相同設某生物種群的最大生存年齡為I （

13、年），我們將其按年齡的大小區(qū)間 0,1分為n等分，可得到n個年齡間隔為丄的年齡組，即有n對于第i個年齡組Li,丄I,設其存活率為s，生育率為b，個年齡組的n n變化時間為1,則有當時間從t 1到t的過程中，顯然有n川+1)=bxQi=0Xi(t+1)=s/(t),i=1,2,L ,n-1其中若計矩陣L為(3.1 )則式可寫為X(t 1) LX(t)(3.2 )當L,X（0）均已知時，當t 1,2,3., n時，通過多次迭代，則不難得到X(t) LnX(0)(3.3 )Si0,i = 1,2,L ,n-1;則稱矩陣L為Leslie矩陣。其中若（3.2 ）式中的元素滿足所以只要已知Leslie矩陣

14、和初始時間種群年齡組的分布向量，就可以求出以后各時間t的種群年齡組的分布向量。3.3.2 基于 Leslie 矩陣的人口模型按照每五歲一個年齡組，我們將 0-99 歲分為 20 個組，即 0-4 歲為第一個 年齡組，5-9歲為第二個年齡組，10-14歲為第三個年齡組，把95-99歲 為第 20個年齡組，而 100歲及 100歲以上分為第 21個年齡組。在這里， 我們引入實數(shù) a ，并設實數(shù) a 為未來年份的生育率與現(xiàn)在種群的生育率之 比，并且 a (0.8,1.9) , 很顯然 , 在平均生育率一定的情況下 , 我們可以通過改 變a值來改變每個夫婦所生的孩子的個數(shù) .而且a的值大概等于每對夫婦

15、 所生的孩子的數(shù)除以總和生育率，各年齡組的育齡婦女在五年內(nèi)的平均生 育率向量實際上應該為 B a b,b2丄b21 T。把t階段全部存活的新生兒全部 劃分到 t 1階段的第一年齡組， 并設各年齡組人口 在 5 年時間里的存活率向量 為S Si,S2,L S2i T，而且t階段第k 1年齡組人存活到第t 1階段就是第k年 齡組的人 (k 1,2,.20) ，且第 21 年齡組的人五年后存活下來的仍然屬于第 21 年齡組。根據(jù)我們前面敘述的 Leslie 種群的模型應用于這 21 個年齡組， 則必滿足21x1(t+1)= ackbkxk(t)k=1xk(t+1)=sk-1xk-1 t-1(3.4)

16、x21(t+1)=s20x20(t)+s21x21(t)3.4 模型的求解我們以2010年中國第六次人口普查的相關數(shù)據(jù)來獲取 L矩陣以及X(0)， 由于我們以每 5歲作為一個年齡組，所以也必須以每五年作為一次人口數(shù) 量及年齡結構的相關推測，通過控制 a值的大小來控制當今我國適齡夫婦 的生育孩子個數(shù)，實質上其對應的也是計劃生育的政策，然后通過改變a值 來討論這個相應的人口結構的變化 ,. 除此以外，我們還得對存活率進行定的求解下面,我們對這些參數(shù)進行求解3.4.1 存活率s的求解根據(jù)死亡率的相關定義及微分的相關思想，則有,Ui(t)Xi(t) x i(t)Xi(t)(3.5)對該公式兩邊進行全微

17、分運算，則有dXkdtUkXk (3.6)對該微分方程(3.6)進行整理，并對其兩邊求定積分，則有sk dsUkdt(3.7)所以,可以解得五年的平均成活率為ske5Uk(3.8)3.4.2 生育率的確定根據(jù)全國第六次人口普查的結果，我國各年齡組的人口總數(shù)，女性比例，年 均生育率的數(shù)據(jù)如下表所示表二2010年第六次全國人口普查相關數(shù)據(jù)記錄表格編號年齡組年均死亡率人口總數(shù)X(0)女性人口女性比重C年生育率10-4歲1.292577222937352493950.45646276025-9歲0.300770449638322126450.45724358010-143歲0.299377144787

18、357763440.463755820415-190.3877104380676504026290.482873186.16歲520-24歲0.5039124144390618956670.4985780486.61625-29歲0.607599847689495213280.4959686996.58730-34歲0.810798630105483083870.4897935350.29835-39歲1.161121046434590991360.4882352519.84940-44歲1.7559123217058603886990.490100157.571045-49歲2.611210

19、0540459493163180.490512165.781150-54歲4.181880681808393136300.4872675901255-59歲6.185779916406395152880.4944577701360-64歲10.307156869341279090510.4907574201465-69歲17.206440430322199658300.4938330701570-74歲30.639132626699164334250.5036802801675-7949.523523477629123645010.526650330歲1780-84歲84.8092127545

20、6271366130.5595341501885-89歲127.4254538716832942510.6114995901990-94歲190.782114653849737920.6645302502095-99歲217.10363442092343760.68091189021100+454.34536283270750.746217240當?shù)趉組的育齡婦女的年平均生育率為fk時,則五年的平均生育率就是bk 5fk.計算可得以五年為一個單位時間的人口存活率和平均生育率向里.所以，由上表中的數(shù)據(jù)可得:其中平均生育率向量為B 0,0,0,0.0308,0.4330,0.4829,0.2514

21、,0.0992,0.0378,0.0289，,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0而其存活率的向量為Sk=0.9936,0.9985,0.9985,0.9981 , 0.9975,0.997,0.996,0.9940.9695,0.9498,0.9176,0.858,0.7807,0.6544,0.5288,0.38523.4.3 Leslie矩陣的確定及模型求解由于在前面我們已將存活率向量以及生育率向量給出，所以我們可以很容易的得到Leslie矩陣，再通過公式（3.4）編程，在MATLA下經(jīng)過多次迭代運算對其進行進行求解.可知在2010年的總和生育率R =1.364,為響應計劃生育政策時,

22、也即每對 夫婦僅生一個孩子，此時我們需將實數(shù)a值設為0.8,也即此時以總和生育 率a?R的值約為1,這樣,我們則可以求得結果如下表三實施現(xiàn)行計劃生育政策的未來人口變化趨勢表格人口總數(shù)女性人口總數(shù)0- 14 歲15-64 歲65歲以上年份（萬）（萬）（萬）（萬）（萬）2015124520.03160993.3564520596.007689162.7399714761.283412020114524.410756269.3608119164.428679930.9513815429.030732025102224.796650296.8947416139.343571677.6659514407

23、.78713203093154.3817746052.9754413951.541563319.7356315883.10461203583030.5123441230.6459811655.969655449.4525515925.09014204072676.1036236103.0845610003.432548031.699814640.97133204565233.2404832516.045098925.0429342498.4872813809.71028205057261.4417328650.663467902.4474237032.1706512326.8236620554

24、9639.9123924855.156846853.7232331238.8534611547.33571206044006.5335622089.214185878.6713727111.6495711016.21261借助表三的數(shù)據(jù),我們由式（3.9）,式（3.10）進一步計算老少比和負擔老年系數(shù)負擔老年系數(shù)65歲以上的人口數(shù)15-6 4歲以上的人口數(shù)（3.9）（3.10）老少比=65歲以上的人口數(shù) 少 =0-14歲的人口數(shù)表四 實施現(xiàn)行計劃生育政策的未來人口結構變化年份負擔老年系數(shù)%老少比%男女人口比%20150.1655543940.7167061.041520200.19302948

25、90.8050871.035320250.201008040.8927121.032420300.2508397181.1384481.022820350.2872001331.366261.013820400.304818931.4635951.01320450.3249459261.5472991.006220500.3328679751.5598740.998620550.3696465921.6848270.997220600.4063276411.8739290.9922四、模型的分析4.1實施當前計劃生育政策的分析為了讓表三和表四的數(shù)據(jù)更加的直觀化，以便于更好的進行計劃生育政策 該

26、不該改變的分析，我們將人口總數(shù)，老少比，男女比例，以及負擔老年系 數(shù)分別對時間作圖，通過其整個過程中的相關變化，我們來從這幾方面來 對當前實施的計劃生育政策進行評價 圖一圖二圖三圖四從圖一,圖二,圖三,圖四中 ,我們可以很直觀的看出實施當前計劃生育政策的優(yōu)缺點 :.缺點:1. 當我國嚴格的執(zhí)行現(xiàn)行的計劃生育政策時 , 也即嚴格控制一對夫婦僅生 一個孩子 , 可得其人口總數(shù)顯著減少 , 且當時間到 2060 年時, 人口將不到五 億,由此可見 ,人口的趨勢明顯出現(xiàn)衰退情況 .2. 從老少比的變化趨勢來看 , 其比值隨時間的變化是單調遞增的 , 所以人 口的老齡化越來越嚴重 ,3. 從負擔老年系數(shù)

27、來看 ,它也隨時間呈現(xiàn)單調遞增的變化 , 這一趨勢說明 了中青年的負擔會越來越重 .優(yōu)點:1. 從性別的比例來看 , 男女的性別比隨著時間的變化是逐漸接近于 1的, 這 也是我們所要希望達到的一個狀態(tài) .綜上來看 , 當我國嚴格執(zhí)行計劃生育政策時 ,從數(shù)量上來講 , 人口的數(shù)量大 大的減少 , 雖然說起到了計劃生育控制人口增長的目的 ,但是其抑制的程 度還是過于太大 , 而從結構上來講 , 老齡化的現(xiàn)象越來越嚴重 ,不但改善人 口老齡化的進程 , 反而加速了人口的進一步老齡化 , 總的來說 , 人口在未來 的幾十年中是呈現(xiàn)一個衰退型的 , 所以, 這是極其不利于中國未來人口發(fā) 展的,所以說 ,

28、計劃生育政策對未來人口的發(fā)展弊大于利 ,所以必須加以改 進.4.2 a 值對人口年齡結構的影響從上述分析中可以看出 ,人口的發(fā)展趨勢不是很樂觀 , 為了讓其得到一定 的改善 , 我們將通過改變 a 值來改變整個人口的數(shù)量以及整個人口的結構 .我們不妨假定每對夫婦生兩個孩子 , 同樣在原總生育率 R =1.364 的情況下由此可計算得a值的大小應該為1.8左右，在此情況下，我們也用上述方法 對其進行同樣的求解運算，可得其結果應該為表五所示:表五 每對夫婦生兩個孩子所對應的人口變化趨勢人口總數(shù)女性人口總數(shù)0-14 歲15-64 歲65歲以上年份（萬）（萬）（萬）（萬）（萬）2015131919.1

29、21164370.7655527995.097789162.7399714761.283412020128944.772462857.4591133584.790379930.9513815429.030732025122398.976159564.4444836313.52371677.6659514407.787132030116864.546657096.8532331390.968469590.4735115883.104612035110020.592355518.2277126393.802467701.6997315925.090142040105080.47853559.248

30、1725268.269565171.237214640.971332045103926.821251922.5375527957.253662159.8573713809.710282050102445.357951092.3937231099.838459018.6958412326.823662055100273.21249920.9190931301.287257424.5891411547.33571206097481.7986648607.9851328636.890857828.6952111016.21261由上述數(shù)據(jù)，我們同樣對這些參數(shù)做出求解，可得表六的內(nèi)容表六每對夫婦生兩個

31、孩子時未來人口變化趨年份負擔老年系數(shù)%老少比%男女人口比20150.1655543940.5272811.04936420200.1930294890.4594051.05138420250.201008040.3967611.054920300.2282367660.5059771.04677720350.2352243770.6033651.0087220400.224653880.5794211.00862620450.2221644460.4939581.00157420500.208863030.3963631.005120550.2010869540.3689091.0086412

32、0600.190497340.3846861.005469同樣的，我們也分別用上述值對年份進行一一作圖，則有圖五圖六圖七圖八從圖五,圖六,圖七,圖八來看1. 人口的總體數(shù)量較2010年要低，且隨著時間的推移，人口在2040年后趨近于10億左右.這也是一個我們所要要求達到的效果.2. 人口的老少比隨時間的變化是呈現(xiàn)先單調下降，再單調上升直至達到一個最大值，此時再出現(xiàn)下降的情況.而且其最大值為0.6左右,較a 0.8的 情況要低得多.3. 人口的性別比也是逐步接近于1,且離數(shù)1越來越近，這也是我們所渴求的狀態(tài).4. 人口負擔系數(shù)較a 0.8時也要小得多.所以，我們可以得出如下的結論隨著a值的增大，

33、人口的總數(shù)呈現(xiàn)一個比較健康的態(tài)勢，其數(shù)量比較滿足當今未來人口的發(fā)展趨勢，而更重要的是，人口的年齡結構以及性別結構愈 來愈合理，特別是老少比以及負擔系數(shù)均不是很大，也即人口的老齡化現(xiàn)象非常輕微，綜上來看，整個人口的變化趨勢是屬于一個穩(wěn)定型的.但是a值并不是越大越好，a值太大,反而會出現(xiàn)一個相反的情況4.3 人口政策的分析從上面的分析可以看出 ,在控制人口增長政策時要多方面考慮 ,如果只看 重多人口總數(shù)的控制 , 嚴格實行當前的計劃生育政策 , 可能導致嚴重的社 會老齡化 , 勞動力不足這種嚴重的社會現(xiàn)象 . 如果為了防止社會老齡化加 快, 全面放開二胎政策 , 放任人口的增長 , 也會導致社會人口過多對資源和 環(huán)境的壓力 .因此要制定正確的人口政策才能使國民經(jīng)濟持續(xù)增長 ,人民 生活水平不斷提高 .4.4 人口政策的建議從上面的一些分析來看 ,結合我國的整個人口增長的情況 ,提出對我國人 口發(fā)展的一些相關性人口政策建議 我們針對人口未來的情況提出了比較新的生育政策 : 在實施計劃生育政策的同時 , 逐步放開二胎政策 , 也即一對夫婦最好生育 兩個孩子 . 同時穩(wěn)定整個相對比較低的生育水平 .從圖五 , 圖六, 圖七 , 圖八等圖解來看 , 圖中在 2035年時人口的整個變化趨 勢出現(xiàn)了一個