矩陣的概念和運(yùn)算

1、1。4 矩陣的概念和運(yùn)算教學(xué)要求 :(1) 掌握矩陣的加減、數(shù)與矩陣相乘的運(yùn)算。(2) 會矩陣相乘運(yùn)算掌握其算法規(guī)則 ( 以便演示算法規(guī)則及行列間的對應(yīng)關(guān)系教學(xué)內(nèi)容：前面介紹了利用行列式求解線性方程組，即Cramer法則。但是Cramer法則有它的局限性：同學(xué)們接下來要學(xué)習(xí)的還是關(guān)于解線性方程組，即Cramer法則無法用上的用“矩陣”的方法解線性方程組。本節(jié)課主要學(xué)習(xí)矩陣的概念。一矩陣的概念它的系數(shù)行列式 此時Cramer法則失效，我們可換一種形式來表示：這正是“換湯不換藥”， 以上線性方程組可用這張“數(shù)表”來表示，二者之間互相翻譯。這種數(shù)表一般用圓括號或中括號括起來，排成一個長方形陣式，孫子

2、兵法中說道：長方形陣為矩陣。這也是矩陣，是由以上線性方程組的系數(shù)按照原來順序排列而成，稱為“系數(shù)矩陣”而“”多了一列常數(shù)列，稱為以上方程組的“增廣矩陣”。注意：雖然和很相像，但是區(qū)別很大。是行列式，實質(zhì)上是一個數(shù)，而是一張表格，“數(shù)是數(shù)，表是表，數(shù)不是表，表也不是數(shù)”，這是本質(zhì)意義上不同。況且，行列式行數(shù)必須與列數(shù)相同，矩陣則未必。關(guān)于以上線性方程組我們后面將介紹。更一般地，對于線性方程組：稱為行列的矩陣，簡稱矩陣，有時標(biāo)記在右下角。他的系數(shù)矩陣：1）當(dāng)時，稱矩陣為長方陣（長得像長方形）；2）當(dāng)時，稱矩陣為階方陣（長得像正方形），簡稱方陣；3）當(dāng)m=1時只有一行，即（a11 a12a1n）稱之

3、為行矩陣（或行向量）；4）當(dāng)n=1時矩陣只有一列，即稱之為列矩陣（或列向量）；另外，行列式是由以上矩陣1，2兩行和1，2兩列上交點(diǎn)的四個元素組成的一個2階行列式，稱為該矩陣的二階子式。二特殊矩陣（上三角）（下三角）上三角矩陣、下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣（對角）（次對角）（單位陣） （零矩陣）所有元素全為零，記為“單位陣”和“零矩陣”類似于數(shù)當(dāng)中的1和0 。三矩陣相等例如，矩陣若A = B，則a11=1, a12=0, a13=9, a21=-3, a22=1, a23=-3四矩陣的四則運(yùn)算過去我們學(xué)習(xí)的數(shù)、式子、極限、導(dǎo)數(shù)有四則運(yùn)算法則，今后將學(xué)習(xí)的概率中的事件也有加法和乘法的運(yùn)算，即事件的并和

4、事件的交。今天，數(shù)表矩陣也有加減乘除的四則運(yùn)算法則。1加法（減法）即對應(yīng)位置上的元素進(jìn)行加減運(yùn)算例1 設(shè)矩陣 ，求A+B，A-B.解：注意：與A，B則不能進(jìn)行加法運(yùn)算，可見，只有同型矩陣才能進(jìn)行加減法運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則：（1）加法交換律 A + B = B + A；（2）加法結(jié)合律 （A+B）+C = A+（B+C）；2數(shù)乘一個數(shù)乘矩陣是這個數(shù)乘矩陣所有的元素，這點(diǎn)與行列式根本不同.例2 設(shè)兩上32矩陣A，B為，求解： 先做矩陣的數(shù)乘運(yùn)算3A和2B，然后求矩陣3A和2B的差因為 所以 運(yùn)算規(guī)則：1分配率：數(shù)對矩陣的分配律k(A+B)=kA+kB，矩陣對數(shù)的分配律(k+)A=kA+A2結(jié)合率：數(shù)與矩

5、陣的結(jié)合律(k)A=k(A)= (kA)矩陣乘矩陣矩陣與矩陣相乘，兩張表格拿來乘，不是簡單的對應(yīng)元素相乘，另有其規(guī)則。例3 矩陣乘矩陣，即左矩陣的行乘右矩陣的列得到的新矩陣的第行第列元素是原來左矩陣的第行元素與右矩陣第列元素乘積之和。解： 例4 解： 可見 ：1）矩陣乘法未必滿足交換率 2）新矩陣與原矩陣關(guān)系型狀上的規(guī)律性：新矩陣的行數(shù)與列數(shù)即為：原左矩陣的行數(shù)和原右矩陣的列數(shù)。 3）而原左矩陣的列數(shù)必須與右矩陣的行數(shù)相等，才能進(jìn)行乘法。例5 設(shè)矩陣求AB和BA解： 例5中矩陣A和B都是非零矩陣，但是矩陣A和B的乘積矩陣AB卻是一個零矩陣。這在數(shù)與代數(shù)式的運(yùn)算中是沒有的。矩陣的行列式矩陣A的行

6、列式稱為矩陣的行列式，記為 或 。例如 則 特殊的，對于方陣乘積的行列式有如下非常類似于一般代數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律：若A與B均為階方陣，則兩個方陣乘積的行列式等于每個方陣行列式的乘積。即（證明略）例如= = 若兩個矩陣A和B滿足AB=BA，則稱矩陣A和B是可交換的.練習(xí)： 因為即AB=BA，所以，矩陣A和B是可交換的。例6 設(shè)矩陣求AB和AC.解： 在例6中，顯然不能從AB=AC中消去矩陣A而得到B=C。這說明矩陣乘法不滿足消去律.一般地，當(dāng)乘積矩陣AB=AC，且AO時，不能消去矩陣A而得到B=C。總之，矩陣乘法不滿足交換律、消去律，但矩陣乘法與數(shù)的乘法也有相似的地方，即矩陣乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)則：運(yùn)

7、算規(guī)則：1、乘法結(jié)合律 （AB）C=A（BC）；2、左乘分配律 A（B+C）=AB+AC； 右乘分配律 （B+C）A=BA+CA；3、數(shù)乘結(jié)合律 k（AB）=（kA）B=A（kB），其中k是一個常數(shù).特別地，當(dāng)A是n階矩陣時，我們記AAA=， m個稱為矩陣A的m次冪，其中m是正整數(shù)。當(dāng)m=0時，規(guī)定=E。顯然有Ak Al =Ak+l，(Ak)l =Akl，其中k，l是任意正整數(shù).由于矩陣乘法不滿足交換律，因此，一般地（AB）kAk Bk .例7 設(shè)矩陣求矩陣Am，其中m是正整數(shù).解： 因為，當(dāng)m =2時，設(shè)m = k時，則 所以，由歸納法原理可知五矩陣的轉(zhuǎn)置將一個mn矩陣的行標(biāo)和列標(biāo)互換后所得的nm矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或At即例如： ，有時列向量用轉(zhuǎn)置來表示：容易驗證矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運(yùn)算規(guī)則：(1)（AT）T=A；(2)（A+B）T=AT+BT；(3)（kA）T=kAT，（k為實數(shù)）；(4)（AB）T=BTAT.例8 已知 ，求解： = +4 =+4=+=