2019年同濟(jì)大學(xué)高數(shù)上冊知識點(diǎn).doc

1、高等數(shù)學(xué)(上)知識點(diǎn)高等數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)、函數(shù)與極限(一) 函數(shù)1、 函數(shù)定義及性質(zhì)(有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性)；2、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3、初等函數(shù)：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函 數(shù)、反雙曲函數(shù)；4、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；函數(shù) f(x)在 Xo 連續(xù)lim f(x)= f(x。)XTXo第一類：左右極限均存在間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn).第二類：左右極限、至少有一個不存在無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定 理及其推論.(二) 極限1、定義1) 數(shù)列極限limXn = a= *O, mNN, %

2、“，x*-a*nTo2) 函數(shù)極限lim f (x) = A= * 0,眥 0, x,當(dāng) Ox-x|時，f(x)- AXrXo第1頁共12頁高等數(shù)學(xué)（上）知識點(diǎn)第5頁共12頁2、1)左極限：fg) = lim f (x)X_.X0右極限：f （x。）= lim f （x）lim f (x) = A 存在 二 f (x。)= f (x0)X.Xo極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則:-x Zn ( n - n)2) lim yn 二 lim zn 二 ann2)3、1）2）Th1Th24、1）2）3）4）5）X X0lim xn = an :單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.無窮小（大）量定義：若lim= 0

3、則稱為無窮小量；若lim無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、n-u-二： oC ）；：-：,lim 一:存在，a F求極限的方法單調(diào)有界準(zhǔn)則;夾逼準(zhǔn)則;極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性;兩個重要極限:lim 沁=1a) XrO Xb)無窮小代換：（x 0）則稱為無窮大量.k階無窮小Plim 二aplim（無窮小代換）lim (V x)xXr 0lim (1 )x = ex)xa) x sin x tan x arcsin x arctan xb)1 -COSX 1 -Xc) e _ 1 xd) ln(1 x)x(ax -1 xln a)(也(1 x)xIn ae) (1 x) T ：x導(dǎo)數(shù)

4、與微分（一）導(dǎo)數(shù)1、定義：f(xo)=lim 心-儂)XTXOX - xof (x) - f (xj 左導(dǎo)數(shù)：f(xo) = IimXTX廠X _ XoxXof (X) - f (Xo) 右導(dǎo)數(shù)：f (x) = IimXTXoX _ Xo函數(shù) f （x）在 Xo 點(diǎn)可導(dǎo)=f_（x。）= f（X。）2、幾何意義：f （Xo）為曲線y二f （x）在點(diǎn)Xo, f （Xo）處的切線的斜率.3、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、求導(dǎo)的方法1）導(dǎo)數(shù)定義；2）基本公式；3）四則運(yùn)算；4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）；5）隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6）參數(shù)方程求導(dǎo)；高等數(shù)學(xué)(上)知識點(diǎn)7)對數(shù)求導(dǎo)法.5、高階導(dǎo)數(shù)1)d2yd (dy、定

5、義：2 -1疋義：dx2dxldx丿2)nG、八(n) Qk (k) (nA)Leibniz 公式：(UV)- = Cnu Vk=0(二)微分1) 定義：y 二 f(X。x) - f (Xo) = A x o( x)，其中 A與 x 無關(guān).2) 可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微二 可導(dǎo)，且dy二(Xo)，x二f (x)dx三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理第8頁共12頁1、Rolle羅爾定理：若函數(shù)f (x)滿足：1)f(x) Ca,b； 2)f(x) D(a,b) ； 3)f(a)二 f(b)； 則：(a,b),使f ()二 0.2、Lagrange拉格朗日中值定理：若函數(shù) f (x)滿足：1)f(

6、x) Ca,b ； 2)f(x) D(a,b)；貝y(a,b),使f(b)- f(a)二 f ( )(b-a).3、 Cauchy柯西中值定理：若函數(shù)f (x), F (x)滿足：1) f(x),F(x) Ca,b ； 2) f(x),F(x) D(a,b) ；3)F(x)=0,x(a,b)則.(a，b)，使厭F()洛必達(dá)法則(三) Taylor公式(四) 單調(diào)性及極值1、單調(diào)性判別法：f(x) Ca,b， f(x) D(a,b)，則若f (x) 0，則f (x)單調(diào)增加；則若f (x)0 ,則f (x)單調(diào)減少.2、極值及其判定定理：a) 必要條件：f(X)在xo可導(dǎo)，若xo為f (x)的極

7、值點(diǎn)，貝S f(X。)= 0 .b) 第一充分條件：f(X)在X。的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且(X。)= 0 ,則若當(dāng)X ” X。 時，f(X)，0，當(dāng)X Xo時，f(X)： 0，則X。為極大值點(diǎn)；若當(dāng)X “ X。 時，f(X)： 0，當(dāng)X X0時，f (x)0，則X。為極小值點(diǎn)；若在X。的 兩側(cè)f(X)不變號，則X。不是極值點(diǎn).C)第二充分條件：f (x)在X。處二階可導(dǎo)，且f (X0 0 ,(x。)。，則 若f(X。)。，則X。為極大值點(diǎn)；若f (X0) 0，則X。為極小值點(diǎn).3、凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)1) f(x)在區(qū)間 I 上連續(xù)，若-NX I,f(Xl)2f(X2)，則稱 f(x)在 區(qū)間I上的圖

8、形是凹的；若一Xi,X2，I, f(互產(chǎn))f(Xl)2f(X2)，則稱f(x)在 區(qū)間I上的圖形是凸的.2) 判定定理：f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則a) 若一 x (a,b), f (x)0,則f(x)在a,b上的圖形是凹的；b) 若_x，(a,b), f (x)。,則f(x)在a,b上的圖形是凸的.3) 拐點(diǎn)：設(shè)y二f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，x0是f(x)的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線y二f(x)經(jīng)高等數(shù)學(xué)（上）知識點(diǎn)過點(diǎn)（X。，f（X。）時，曲線的凹凸性改變了，則稱點(diǎn)（Xo, f（X。）為曲線的拐點(diǎn).（五）不等式證明1、利用微分中值定理；2、利用函數(shù)單調(diào)性；3、利用極值（最值

9、）.（六）方程根的討論1、連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、Rolle 定理；3、函數(shù)的單調(diào)性；4、極值、最值；5、凹凸性.（七）漸近線1、鉛直漸近線：lim f （x） = 00，則x = a為一條鉛直漸近線；xt a772、水平漸近線：lim f（X）二b，則y二b為一條水平漸近線；XJ Hf （ X）3、 斜漸近線：|imk !呵f （x） - kx = b存在，則y = kx b為一條斜XT e XXT *漸近線.（八）圖形描繪四、不定積分（一）概念和性質(zhì)1、原函數(shù)：在區(qū)間I上，若函數(shù)F（x）可導(dǎo)，且F&）二f （x），則F（x）稱為f （x）的一個原函數(shù).2、 不定積分：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x

10、）的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為 f（x）在 區(qū)間I上的不定積分.3、 基本積分表（P188, 13個公式）；4、性質(zhì)（線性性）.（二）換元積分法1、 第一類換元法（湊微分）：.f（x）（x）dxf （u）dJ u =（x）2、 第二類換元法（變量代換）：.f（x）dx二1 fr（t）r（t）dt= _i（x）（三）分部積分法： udv二uv- vdu（四）有理函數(shù)積分1、“拆”；2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）五、定積分（一）概念與性質(zhì):1、定義:bf (x)dx=anlim .j o.i=f( Hi2、 性質(zhì)：（7條）性質(zhì)7 （積分中值定理）函數(shù)f （x）在區(qū)間a,b上連續(xù)，則a,

11、b，使bf (x)dx 二 f ( )(b - a)abf f(x)dx(平均值：f ()1b 一 a第10頁共12頁高等數(shù)學(xué)(上)知識點(diǎn)微積分基本公式(N L公式)x1、變上限積分：設(shè)(x) = Ja f (t)dt，則(x) = f (x)di-(x)推廣 Lj(t)dt=fm5 (x)2、N L公式：若F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，則bf (x)dx 二 F(b)- F(a)a(三)換元法和分部積分1、換元法:f (x)dx 二f (t) (t)dtot2、分部積分法:budvuv匚b-I vdua(四)反常積分1、無窮積分:f (x)dx = limat )二 af(x)dxbf (

12、x)dx 二blimt )-二 tf(x)dxf(x)dx =OD0f(x)dx f(x)dxo2、瑕積分:第12頁共12頁bf(x)dx 二lim f (x)dx (a為瑕點(diǎn))t- a ttf(x)dx = lim f (x)dx (b為瑕點(diǎn))tTb a兩個重要的反常積分:高等數(shù)學(xué)（上）知識點(diǎn)0x第14頁共12頁1)-dxa XPIp-1q 1q- 12)r dx =dx 星a(X- a)q a(b x)qI + QO六、定積分的應(yīng)用（一）平面圖形的面積2、b1、a極坐標(biāo)：A高等數(shù)學(xué)（上）知識點(diǎn)（二）體積1、旋轉(zhuǎn)體體積：a）曲邊梯形y二f（x）, x二a,x二b,x軸，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體

13、的體積:b 2V= f 2（x）dxx ab）曲邊梯形y二f （x）, x二a, x二b, x軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積:bVy 二 2 xf （x）dx（柱殼法）ab2、平行截面面積已知的立體： V = JaA（x）dx（三）弧長1、直角坐標(biāo)：s 二:K11 f （x） 1 2dx2、參數(shù)方程：s =J（t）】2（t）】2dt3、極坐標(biāo)：s =）以W）】2d，七、微分方程（一）概念1、 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程.階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)2、解：使微分方程成為恒等式的函數(shù).通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的

14、階數(shù)相同特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.（二）變量可分離的方程g(y)dy 二 f(x)dx，兩邊積分 g(y)dy 二 f(x)dx（三）齊次型方程虬喈）設(shè)u則=u+x包； dxx設(shè) x則 dxdxdx/X、x dxdv或（），設(shè)V ，則 7目-dy y，y， dydy（四）一階線性微分方程學(xué) P（x）y 二 Q（x）dx用常數(shù)變易法或用公式:-P(x)dx廠efP(x)dx1Q(x)e dx C（五）可降階的高階微分方程1、y（n） = f （x），兩邊積分n次；2、 yj f（x,y）（不顯含有 y），令 y = p，則 y= p ；” dp3、y f（y, y）（不顯含有 x），令 y = p，則 y = p&（六）線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1、yi,y2是齊次線性方程的解，則 GyC?y2也是；2、yi,y2是齊次線性方程的線性無關(guān)的特解，則 Gy“2是方程的通解；*3、 y =C?y2 y為非齊次方程的通解，其中 *、為對應(yīng)齊次方程的* 線性無關(guān)的解，y非齊次方程的特解.（七）常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程：y，py qy二0第16頁共12頁高等數(shù)學(xué)(上)知識點(diǎn)2特征方程：r pr 0 ,特征根：ri, D特征根通解實(shí)根1 *2亠 X亠2 Xy= C1e十 C2e1 =2夕H xy = (G + C2x)e1,2