高中數(shù)學(xué) 精講優(yōu)練課型 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1.2 用二分法求方程的近似解 新人教版必修1

1、3.1.2 用二分法求方程的近似解,知識提煉】 1.二分法的定義 (1)滿足的條件: 在區(qū)間a,b上_的函數(shù)y=f(x)且在區(qū)間端點的函數(shù)值滿足: _,連續(xù)不斷,f(a)f(b)0,2)操作過程: 把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間_,使區(qū)間的兩個端點逐步逼 近_,進而得到零點的近似值,一分為二,零點,2.二分法求函數(shù)零點近似值的步驟,f(a)f(b)0,f(c)=0,b=c,f(c)f(b)0,a,c,c,b,a-b,即時小測】 1.思考下列問題 (1)所有函數(shù)的零點都能用二分法求其所在的區(qū)間嗎? 提示:不是所有的函數(shù)都能用二分法來判斷零點所在的區(qū)間.只有圖象在給定區(qū)間上是連續(xù)不斷的,且在區(qū)間的

2、端點處的函數(shù)值是異號的函數(shù),才可以用二分法求函數(shù)的零點所在的區(qū)間,2)用二分法求方程的近似解時,如何決定步驟的結(jié)束? 提示:看清題目的精確度,當零點所在區(qū)間的兩個端點值之差的絕對值小于精確度時,則二分法步驟結(jié)束,2.下列函數(shù)不宜用二分法求零點的是() A.f(x)=x3-2 B.f(x)=lnx-3 C.f(x)=x2+2 x+2 D.f(x)=-x2+4x-1 【解析】選C.因為f(x)=x2+2 x+2=(x+ )20,即含有零點的區(qū)間 a,b不滿足f(a)f(b)0,3.用二分法求函數(shù)f(x)=x3+5的零點可以選取的初始區(qū)間是() A.-2,1 B.-1,0 C.0,1 D.1,2 【

3、解析】選A.由于f(-2)=(-2)3+5=-30,所以可選取 -2,1作為初始區(qū)間,4.已知二次函數(shù)f(x)=x2-x-6在區(qū)間1,4上的圖象是一條連續(xù)的曲線,且f(1)=-60,由零點存在性定理可知函數(shù)在1,4內(nèi)有零點,用二分法求解時,取(1,4)的中點a,則f(a)=. 【解析】由于(1,4)的中點a= ,則 答案:-2.25,5.在用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間0,1上的近似解時,經(jīng)計算,f(0.425)0,f(0.552)0,f(0.605)0,即得到方程的一個近似解為.(精確度為0.1) 【解析】因為|0.605-0.552|=0.0530.1, 所以可取0.605或0.552作

4、為方程f(x)=0的一個近似解. 答案:0.605或0.552,知識探究】 知識點 二分法的概念及利用其求函數(shù)零點的近似值 觀察圖形,回答下列問題: 問題1:上圖中的線路出現(xiàn)故障,你能否設(shè)計一個維修方案來迅速查出故障所在? 問題2:利用二分法求函數(shù)零點時應(yīng)把握哪幾個關(guān)鍵點,總結(jié)提升】 1.理解二分法的含義時要注意的兩點 (1)二分法是求函數(shù)零點近似值的一種方法,根據(jù)題目要求的精確度,只需進行有限次運算即可. (2)它的根據(jù)是根的存在性定理. 2.二分法求函數(shù)零點的兩個關(guān)鍵點 (1)初始區(qū)間的選取,符合條件(包括零點),又要使其長度盡量小. (2)進行精確度的判斷,以決定是停止計算還是繼續(xù)計算,

5、題型探究】 類型一二分法概念的理解 【典例】1.(2015昌平高一檢測)關(guān)于“二分法”求方程的近似 解,說法正確的是() A.“二分法”求方程的近似解一定可將y=f(x)在a,b內(nèi)的所有零 點得到 B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y(tǒng)=f(x)在a,b內(nèi)的零點 C.應(yīng)用“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在a,b內(nèi)有可能無零點 D.“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)=0在a,b內(nèi)的精確解,2.通過下列函數(shù)的圖象,判斷能用“二分法”求其零點的是(,解題探究】1.二分法的實質(zhì)是什么? 提示:二分法就是通過不斷選取區(qū)間的中點,將所選區(qū)間一分為二,逐步逼近,從而獲得零點的近似值,2.典例

6、2中能用“二分法”求零點的函數(shù)圖象有什么特征? 提示:其特征為:圖象經(jīng)過x軸,且與x軸交點處兩側(cè)的函數(shù)值符號相反,解析】1.選D.二分法求零點,則一定有且能求出,故B,C不正確;零點左側(cè)與右側(cè)的函數(shù)值符號相同的零點不能用二分法得到,故A不正確,故選D. 2.選C.在A中,函數(shù)無零點.在B和D中,函數(shù)有零點,但它們在零點左右的函數(shù)值符號相同,因此它們都不能用二分法來求零點.而在C中,函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的,且圖象與x軸有交點,并且在交點處兩側(cè)的函數(shù)值符號相反,所以C中的函數(shù)能用二分法求其零點,方法技巧】運用二分法求函數(shù)的零點應(yīng)具備的條件 (1)函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷. (2)在該零點左右函數(shù)值

7、異號. 只有滿足上述兩個條件,才可用二分法求函數(shù)零點,變式訓(xùn)練】用“二分法”可求近似解,對于精確度說法正確的 是() A.越大,零點的精確度越高 B.越大,零點的精確度越低 C.重復(fù)計算次數(shù)就是 D.重復(fù)計算次數(shù)與無關(guān) 【解析】選B.精確度決定計算的次數(shù),其直接影響零點的精確度,越大,零點的精確度越低,越小,零點的精確度越高,類型二用二分法求函數(shù)的零點 【典例】(2015塘沽高一檢測)求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+1的一個負零點(精確度0.01). 【解題探究】典例中應(yīng)先怎樣判斷負零點所在的區(qū)間? 提示:可借助零點的判斷方法確定出負零點所在的區(qū)間,再利用二分法逐步確定,解析】確定一個包含

8、負數(shù)零點的區(qū)間(m,n),且f(m)f(n)0,f(-2)0, 所以可以取區(qū)間(-2,-1)作為計算的初始區(qū)間, 當然選取再較大的區(qū)間也可以.用二分法逐次計算,列表如下,由于|-1.929 687 5+1.937 5|=0.007 812 50.01，所以函數(shù)的一個負零點近似值可取為-1.929 687 5,延伸探究】 1.(變換條件)若本例改為“試判斷函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+1在-2,-1 內(nèi)有無零點,如果有,求出一個近似零點(精確度0.1)”又如何求解呢,解析】因為f(-1)0,f(-2)0,且函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+1的圖象是連續(xù)的曲線,根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理可知,

9、它在區(qū)間-2,-1內(nèi)有零點,用二分法逐步計算,列表如下,由于|-1.875+1.937 5|=0.062 50.1，所以函數(shù)在區(qū)間-2,-1內(nèi)的一個近似零點可取為-1.937 5,2.(變換條件、改變問法)若將函數(shù)改為“f(x)=x3+2x2-3x-6”,如何求該函數(shù)的正數(shù)零點?(精確度0.1) 【解析】確定一個包含正數(shù)零點的區(qū)間(m,n),且f(m)f(n)0, 所以可以取區(qū)間(1,2)作為計算的初始區(qū)間, 用二分法逐次計算,列表如下,由于|1.75-1.687 5|=0.062 50.1.所以函數(shù)的正數(shù)零點的近似值可取為1.687 5,方法技巧】 1.用二分法求函數(shù)零點的近似值應(yīng)遵循的原則

10、 (1)需依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間m,n(一般采用估計值的方法完成). (2)取區(qū)間端點的中點c,計算f(c),確定有解區(qū)間是(m,c)還是(c,n),逐步縮小區(qū)間的“長度”,直到區(qū)間的兩個端點符合精確度要求,終止計算,得到函數(shù)零點的近似值,2.二分法求函數(shù)零點步驟的記憶口訣 定區(qū)間,找中點;中值計算兩邊看. 同號丟,異號算,零點落在異號間. 重復(fù)做,何時止,精確度來把關(guān)口,補償訓(xùn)練】試確定函數(shù)f(x)= x+x-4零點的個數(shù). 【解析】設(shè)y1= x,y2=4-x,則f(x)的零點個數(shù)即y1= x,y2=4-x的 圖象的交點個數(shù), 作出兩函數(shù)大致圖象,如圖,由圖知y1= x與y2=4-x

11、的圖象有兩個交點,其中一個交點橫坐標在區(qū)間(0,1)之內(nèi),另一個大于4. 因此函數(shù)f(x)= x+x-4零點的個數(shù)有兩個,延伸探究】 1.(改變問法)若本題條件不變,試求出其中最大零點的近似值.(精確 度0.1) 【解析】設(shè)y1= x,y2=4-x,則f(x)的零點個數(shù)即y1= x,y2=4-x的 圖象的交點個數(shù), 作出兩函數(shù)大致圖象,如圖,由圖知y1= x與y2=4-x的圖象有兩個交點,其中一個交點橫坐標在 區(qū)間(0,1)之內(nèi),另一個大于4. 因為f(6)= 6+6-4= 6+2 8+3=0, 結(jié)合圖象可知,另一個交點的橫坐標在區(qū)間(6,7)之內(nèi), 綜上分析知,函數(shù)f(x)= x+x-4在區(qū)

12、間(6,7)內(nèi)有最大零點x0,取區(qū) 間(6,7)的中點x1=6.5,用計算器算得f(6.5)-0.200, 因為f(6.5)f(7)0, 所以x0(6.5,7), 再取區(qū)間(6.5,7)的中點x2=6.75, 用計算器算得f(6.75)-0.005, 因為f(6.75)f(7)0, 所以x0(6.75,7,再取區(qū)間(6.75,7)的中點x3=6.875, 用計算器算得f(6.875)0.094, 因為f(6.75)f(6.875)0, 所以x0(6.75,6.875).再取區(qū)間(6.75,6.875)的中點x4=6.8125,用計算器算得f(6.8125)0.443, 因為f(6.8125)f

13、(6.75)0, 所以x0(6.75,6.8125,由于|6.75-6.8125|=0.06250.1, 所以函數(shù)f(x)= x+x-4最大零點的近似值可取6.8125,2.(變換條件)將函數(shù)改為“f(x)=log2x+x-4”,試判斷函數(shù)零點個數(shù);并求零點的近似值.(精確度0.1) 【解析】設(shè)y1=log2x,y2=4-x,則f(x)的零點個數(shù)即y1=log2x,y2=4-x的圖象的交點個數(shù). 作出兩函數(shù)的大致圖象,如圖,由圖知,y1=log2x與y2=4-x的圖象只有一個交點, 因為f(2)=log22+2-4=-1log22-1=0, 所以函數(shù)f(x)=log2x+x-4只有一個零點,在

14、區(qū)間(2,3)內(nèi). 取區(qū)間(2,3)的中點x1=2.5, 用計算器算得f(2.5)-0.178, 因為f(2.5)f(3)0,所以x0(2.5,3,再取區(qū)間(2.5,3)的中點x2=2.75, 用計算器算得f(2.75)0.209, 因為f(2.5)f(2.75)0,所以x0(2.5,2.75). 再取區(qū)間(2.5,2.75)的中點x3=2.625, 用計算器算得f(2.625)0.017, 因為f(2.5)f(2.625)0,所以x0(2.5,2.625). 再取區(qū)間(2.5,2.625)的中點x4=2.5625,用計算器算得f(2.5625)-0.080, 因為f(2.5625)f(2.6

15、25)0,所以x0(2.5625,2.625). 由于|2.625-2.5625|=0.06250.1, 所以函數(shù)f(x)=log2x+x-4零點的近似值可取2.5625,類型三用二分法求方程的近似解 【典例】1.(2015包頭高一檢測)設(shè)f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)0, f(1.25)0,則方程的根落在區(qū)間() A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能確定 2.借助計算器,用二分法求出方程ln(2x+6)+2=3x在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解(精確度0.2,解題探究】1.典例1中方程3x+

16、3x-8=0在x(1,2)內(nèi)有解應(yīng)具備什么條件? 提示:所對應(yīng)的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,2)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且f(1)f(2)0. 2.典例2中是否可按照用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟來求方程f(x)=0的近似解? 提示:可以按照用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟來求方程f(x)=0的近似解,解析】1.選B.因為f(1.25)f(1.5)0,所以方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5,2.原方程即ln(2x+6)-3x+2=0. 令f(x)=ln(2x+6)-3x+2, 用計算器求得f(1)=1.0794,f(2)=-4.6974可知零點在(1,2)內(nèi),取區(qū)間中點x1=1.5,且f(

17、1.5)-1.00,從而,可知零點在(1,1.5)內(nèi);再取區(qū)間中點x2=1.25,且f(1.25)0.20,從而,可知零點在(1.25,1.5)內(nèi);同理取區(qū)間中點x3=1.375,且f(1.375)0,從而,可知零點在(1.25,1.375)內(nèi);由于|6.75-6.812 5|=0.1250.2,故函數(shù)的零點可取為1.375. 即方程ln(2x+6)+2=3x在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解可取為1.375,方法技巧】用二分法求方程的近似解的思路和方法 (1)思路:根據(jù)函數(shù)的零點與相應(yīng)方程解的關(guān)系,求函數(shù)的零點與求相應(yīng)方程的解是等價的.所以求方程f(x)=0的近似解,可按照用二分法求函數(shù)零點近似值的

18、步驟求解. (2)方法:對于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通過移項轉(zhuǎn)化成求函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點的近似解,然后按照用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟求解,變式訓(xùn)練】用“二分法”求方程log x+x-4=0在區(qū)間4,8內(nèi)的實 根,取區(qū)間中點為x0=6.那么下一個有根的區(qū)間是,解析】令f(x)=log x+x-4, 由f(4)=log 4+4-4=-24,所以log 60, 得到下一個有根的區(qū)間應(yīng)為(6,8). 答案:(6,8,補償訓(xùn)練】方程x3-3=0在區(qū)間1,2內(nèi)的近似解是(精確度0.1). 【解析】設(shè)f(x)=x3-3,由于f(1)=-20, 因此函數(shù)f(x)=x3-3在區(qū)間1,2內(nèi)有零點,用二分法逐次計算,列表如下,因為|1.5-1.437 5|=0.062 50.1,因此方程x3-3=0在區(qū)間1,2內(nèi)的近似解可取為1.5或1.437 5. 答案：1.5或1.437 5,易錯案例 用二分法來確定函數(shù)零點所在的區(qū)間 【典例】已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,a)上有唯一的零點(a0)，在用二 分法尋找零點的過程中，以此確定了零點所在的區(qū)間為 則下列說法中正確的是(,A.函數(shù)f(x)在區(qū)間 內(nèi)一定有零點 B.函數(shù)f(x)在區(qū)間 或 內(nèi)有零點 C.函數(shù)f(x)在區(qū)間 內(nèi)無零點 D.函