構(gòu)造法——閃亮的思維火花

1、閃亮的思維火花中考試題第23題的解法賞析與教學(xué)思考摘要：海南省2012年中考試題第23題是以矩形為基本圖形，綜合三角形、四邊形與圖形變換等主干知識(shí)的一道“壓軸題”。分析此題的解題思路和方法，指出構(gòu)造法是一種創(chuàng)造培養(yǎng)性解題思維，是閃亮的思維火花。教學(xué)中應(yīng)注意讓學(xué)生體會(huì)構(gòu)造法的數(shù)學(xué)思想和方法, 學(xué)生的探究能力與創(chuàng)造性思維。關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；中考試題；解法賞析；教學(xué)思考構(gòu)造法就是根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的性質(zhì)、特征，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)模AC上的點(diǎn)E、F處，折痕分別為CM AN型，借助于該數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。這個(gè)數(shù)學(xué)模型可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程或者，把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題的條一個(gè)函數(shù)等。合理運(yùn)用

2、構(gòu)造法可以在條件與結(jié)論之間架起一座“橋”件明朗化，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷明了的解答方法，以下結(jié)合海南省2012年中考試題第23題第(3) 小題的解答，賞析構(gòu)造法在解題過(guò)程中的運(yùn)用。一、試題分析海南省2012年中考試題第23題是以矩形為基本圖形，綜合三角形、四邊形與圖形變換 等主干知識(shí)的一道“壓軸題”，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法與學(xué)生探究能力的考查。題目如圖1 (1),在矩形ABCD，把/ B、/ D分別翻折，使點(diǎn) B、D恰好落在對(duì)角線求證： NDA MBC連接MF NE證明四邊形MFN是平行四邊形。四邊形MFN是菱形嗎？試說(shuō)明理由。點(diǎn)P、Q是矩形的邊CD AB上的兩點(diǎn)，連接 PQ CQ MN如圖1 (2)所示

3、，若PQ=CQ PQ/MN 且 AB=4cm BC= 3cm 求 PC的長(zhǎng)度。圖1此題設(shè)置3道小題，有非常明顯的梯度 易、中、難，其中第（3 ）小題融數(shù)學(xué)主干圖1（ 1）上加上MN知識(shí)與核心數(shù)學(xué)思想方法于一體，具有較強(qiáng)的探索性，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)主干知識(shí)與核心數(shù)學(xué) 思想方法的深層次理解與掌握。第（3）小題只是在平時(shí)常見(jiàn)的圖形PQ CQ構(gòu)成，“ PQ= CQ PQ/ MN這個(gè)條件讓圖形存在諸多的等量關(guān)系，解題途徑多卻很隱蔽。學(xué)生在中考時(shí)交出了很多精彩解答，限于篇幅，本文僅就第（3）小題中的運(yùn)用構(gòu)造法解題的這一方面進(jìn)行分析。二、解法賞析在解第（3）小題的過(guò)程中能夠求出線段 BM CN或 DN AM是解

4、答此題的關(guān)鍵，而推敲出PC與BM CN或 PC與 DN AM之間的聯(lián)系則是一個(gè)難點(diǎn)， 使用普通的方法很難構(gòu)建起它們之間 的聯(lián)系，倘若結(jié)合矩形的性質(zhì)與“ PQ= CQ PQ/ MN,從條件向結(jié)論推理，再由結(jié)論倒過(guò)來(lái)做假設(shè)與猜想，可發(fā)現(xiàn)圖形中存在著的許多等量關(guān)系，抓住等量關(guān)系就能找到解題的突破口。而“構(gòu) 造法”往往可以使數(shù)與形相結(jié)合，在條件與結(jié)論之間建立起一座橋梁，化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知。因?yàn)榫€段 PC的解法也非常豐富，故以下分析，在探究“線段BM CN或 DN AM解法的同時(shí)均采用不同的方法解答 PC解法 1:如圖 2,由（2）知，DN=NF, / D= / NFAf90。則/ NFC9O。因?yàn)?/p>

5、/ DCA / FCN所以 CDMA CFN所以NF AD。 CN AC又因?yàn)锳C=、孑=5cm,設(shè) DN=x,貝 U NF=x,CN=4-x。3。5解得x= 1.5 。則有 NF= DN=1.5 cm, NC=2.5cm。作QG_ CD于點(diǎn)G貝y BQ= CG= PG因?yàn)?PQ/ MN CD/ AB所以NP=MQ所以 PG NG (NF+GC,即 PGNGBMMcm。又因?yàn)镻(=CQ所以 P(=2P(=2cmo【探究與拓展】解法 1利用 CDA與 CFN相似，對(duì)應(yīng)線段的比相等構(gòu)造方程，未知數(shù)的引入抓住了解題的關(guān)鍵，使求解BM與NC的值的過(guò)程大大簡(jiǎn)化。在求線段PC的長(zhǎng)度時(shí),通過(guò)作QGLCD構(gòu)造

6、直角三角形，利用勾股定理求解。分析解答的過(guò)程，抓住圖形中存在的等量關(guān)系也是求解的重點(diǎn)PGNGBM求線段PC的長(zhǎng)度時(shí)，也可以向外添加輔助線構(gòu)造平行四邊形與直角三角形。如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CK/ PQ交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,發(fā)現(xiàn)圖形中存在的等量關(guān)系有 NP=MQ PC=QK Q號(hào)BK NC=M等，易得BK=MKBM PC=QK2BK=2BQ求線段PC的思路水到渠成。在此，構(gòu)造法在解題的過(guò)程中處處顯示出它的優(yōu)點(diǎn)。N P G C/、7 A圖H 4 M Q B解法2:如圖4,設(shè) BM=x,則 ME=BM=x,AMt4- Xo因?yàn)?AC= J42 32 =5cm,所以 AE= 5-3 = 2cm o因?yàn)? CE

7、IM / B=90,所以/ AEM90o所以 MEA是直角三角形。2 2 2所以(4-X)-x=2 o解得x= 1.5 o所以 DN=BI=1.5 cmo過(guò)點(diǎn)N作NHL AB于點(diǎn)H,則 AH=DN=BM1.5 cm。所以MH1cmo因?yàn)镻Q MN又因?yàn)镃D/ AB所以MNPQ過(guò)點(diǎn)Q作QGL CD于點(diǎn)G則有NHGQ所以 NHM QGP所以 PGMHIcm。又因?yàn)镻Q= CQ所以 P(=2P(=2cmo【探究與拓展】勾股定理本身就是一個(gè)等式，抓住這一點(diǎn)引進(jìn)未知數(shù)，就能夠構(gòu)造出有關(guān)線段之間的一個(gè)方程。圖形中存在若干個(gè)相關(guān)聯(lián)的直角三角形。如,Rt MEA Rt NFC與Rt ABC等o用勾股定理構(gòu)造方

8、程求解， 是一種常見(jiàn)的解題思路,而此種解法不同之處就在于能根據(jù)翻折原理進(jìn)行等量代換，把BM移到Rt MEAK根據(jù)BM EM AM與 AB之間的等量關(guān)系，用勾股定理構(gòu)造方程，突破了解題思路的瓶頸。而在求PC的長(zhǎng)度時(shí)，是構(gòu)造NHMfA QGP全等來(lái)解決的，構(gòu)造全等三角形，可以如圖4所示那樣構(gòu)造，也可“過(guò)點(diǎn) D作DH/ MN交AB于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)Q作QGl CC于點(diǎn)G來(lái)構(gòu)造全等三角形，如圖 5所示，解法類(lèi)似。解法3：如圖6,在 Rt ABC中,AO V4223 =5cm。又由（2）知,DN=NF / D= / NFA=90 o貝y/ NFC=0o所以sin ACD 匹NC AC設(shè) DN=x,則 NF=x

9、, CN=4-Xo5則_4X 3 , x=1.5。x 5所以BMDN=1.5cm, CN=2.5cm。因?yàn)镃D/ AB, PQ/MN所以PNtMQ過(guò)點(diǎn)Q作QGL CD于點(diǎn)G因?yàn)镻Q=CQ BCh CD所以CGPGBQ設(shè) BQ=y,則 PC=2y, MQPN=1.5- y。因?yàn)?PGPN=CN=2.5cm,所以 2y+ (1.5 -y)=2.5。解得y=1cm。所以 PG2y=2cm。三角函NF NC的比與AD AC【探究與拓展】在直角三角形或能構(gòu)造出直角三角形的圖形中三角函數(shù)就存在, 數(shù)說(shuō)得直觀點(diǎn)就是邊的比值。觀察、分析圖形中的直角三角形可知,的比相等，引入未知數(shù)就能巧妙構(gòu)造出方程。解法3存在

10、兩個(gè)亮點(diǎn)：一是用三角函數(shù)構(gòu)造方程求BM與CN二是用線段與線段之間的等量關(guān)系構(gòu)造方程求PC構(gòu)造方程，使幾何問(wèn)題與代數(shù)解法相結(jié)合，數(shù)形結(jié)合，易于求解。在求PC時(shí)，利用 PN=MQ PC+PN+DN= BQ=.5 PC等，均可構(gòu)造方程（或方程組）解答。比如，用B（+MQ1.5與P（+PN=2.5可列出方程組。又如，結(jié)合sin ACD EL竺3，設(shè)BQ=xNC AC 5NP=y 貝y PC：2x，BM=NF=DN=x+yNC=x+y。則x y 3。則x=2y。再結(jié)合等式2x y 5PC=2cm這種求線段PC的方法很巧妙NC+DN=可列出方程(2x+y) + (x+y) =4,解出 x=1,思路簡(jiǎn)明，在

11、解答的過(guò)程中甚至不用求任何一條線段的長(zhǎng)度，通過(guò)解方程就可以求出線段PC的值。用線段間的等量關(guān)系構(gòu)造方程（或方程組）使問(wèn)題由難變易，可以衍生出許多種精彩的解法。解法4:如圖7,在Rt ABC中,AO J4232 =5cm。設(shè) BMx,貝 U ME=x。1S ACM 2 AC5xME 21Smbc -BM BC3x2。所以？ ；AB BC 6。解得x=1.5 。所以 BMDN=1.5cm, CN=AM2.5cm。又因?yàn)?PQ/ MN，CD/ AB所以NI=MQ過(guò)點(diǎn)Q作 QGL CD于點(diǎn)因?yàn)镻OCQ所以BOGOPG所以N(=BM+BQ設(shè) B(=y,由S梯形BCNM 2 S矩形ABCD則 NC=1.5

12、+y。-4 36，得-(1.5 y) 1.536。2 2解得y= 1。所以 P(=2CG2cm?！咎骄颗c拓展】“等積法”是構(gòu)造方程的一種好方法，圖形中有幾個(gè)多邊形的面積是可 求的。比如， CDAW ABC的面積為6,梯形AMN與梯形BCN斶面積也是6。而 ACM MBC梯形AMN與梯形BCNM等多邊形的面積均可用代數(shù)式表示，因而可圍繞著三角形的面積或梯形的面積來(lái)構(gòu)造方程。在求線段PC的長(zhǎng)度時(shí)，除了可以用線段之間的等量關(guān)系,還可以利用面積來(lái)構(gòu)造方程求解。構(gòu)造方程，把抽象的幾何推理化歸為解方程，讓解答化難為易，化繁為簡(jiǎn)，令人耳目一新。解法 5:如圖 8，在 Rt ABC中, AC=42 32 =5

13、cm。角線AC的點(diǎn)E F處,因?yàn)榘? B、/ D分別沿CM AN翻折，點(diǎn)B D落在對(duì)所以AN是/ DAC勺平分線。所以 AD AODN NC設(shè) DN=x,則 NC=4-x。則（4-x） : x=5: 3。解得x=1.5 。所以DN= 1.5 cm, CN=AM2.5 cm。過(guò)點(diǎn)所以HMAM- DNHcm。因?yàn)镻Q/ MNN作NH AB于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)Q作QG_ CD于點(diǎn)、G又因?yàn)镃D/ AB所以 PQMN NH=GQ3cm。所以 PQMN=32 12 J0cm。又因?yàn)镻OCQ所以 PGCG J QG2 = 1cm。所以 PC=2PG=2cm。不過(guò)一些對(duì)角平分線【探究與拓展】用角平分線的相關(guān)性質(zhì)構(gòu)造

14、方程是不多見(jiàn)的解法,進(jìn)行過(guò)深入研究的學(xué)生會(huì)利用這一性質(zhì)。因?yàn)椤胺邸?，所以圖形中存在著軸對(duì)稱(chēng)， AN與 CM分別是/ DAC與/ ACB的平分線，故 ADAC=DN NC BCAC=BMAM利用這兩個(gè)比例式都可以構(gòu)造方程。為了顯示PC的不同解法,解法5中采用了與前面完全不同的方法“過(guò)點(diǎn)N作NHIAB于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)Q作Qd CD于點(diǎn)G構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理分別求MN與PG的值，繼而求出PC另外利用勾股定理求MNW PQ也可以通過(guò)連接 NE MF如圖9所示,/匚E戈0/八A * E圖在Rt OFh中，求出NC或MO再求出 MNf PQ探究與總結(jié)海南省中考試題第23題第（3）小題的解法，無(wú)論是前

15、部分“求線段BM CN（ DN AM的值”，還是后部分“求線段PC的,從而可利用3）小題的學(xué)生值”，“構(gòu)造”都是最閃亮的解題思路。從以上分析可以看出有了形的多樣構(gòu)造 形的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造方程， 解方程得PC的值。這種由形到方程，再回到形（求出線段PC的值）, 充分體現(xiàn)了數(shù)形轉(zhuǎn)化思想，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中構(gòu)造法起到了關(guān)鍵的作用，不同類(lèi)型的構(gòu)造體現(xiàn)了 解題思路的創(chuàng)新和發(fā)展，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的構(gòu)造美。三、教學(xué)思考根據(jù)海南省學(xué)生的答題信息，這道題的得分率不高，能夠正確解答第（對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入分析， 找出“條件”較少，其中主要的緣因是不懂得抓住圖形中的等量關(guān)系，到“結(jié)論”之間的“路” ，而會(huì)應(yīng)用構(gòu)造法“鋪路”的同學(xué)更少。學(xué)生的答題信息也反映出一個(gè)教學(xué)中存在的問(wèn)題教學(xué)中缺少引導(dǎo)學(xué)生理解題目中隱含的數(shù)學(xué)思想與方法。教師缺少數(shù)學(xué)思想方法的滲透，勢(shì)必會(huì)造成“為講題而講題”。學(xué)生缺乏對(duì)隱藏的數(shù)學(xué)思想方法的理解，會(huì)造成