李慶揚數(shù)值分析第五版第7章習題答案20130824

1、第7章復習與思考題1.什么是方程的有根區(qū)間？它與求根有何關系？P213，若 且，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質可知在內至少有一個實根，這時稱為的有根區(qū)間。2.什么是二分法？用二分法求 的根，要滿足什么條件？P213一般地，對于函數(shù)如果存在實數(shù)c,當x=c時，若,那么把x=c叫做函數(shù)的零點。解方程即要求的所有零點。假定在區(qū)間（x，y）上連續(xù)，先找到a、b屬于區(qū)間（x，y），使，說明在區(qū)間(a,b)內一定有零點，然后求,現(xiàn)在假設 果，該點就是零點，如果,則在區(qū)間內有零點，從開始繼續(xù)使用中點函數(shù)值判斷。 如果，則在區(qū)間內有零點，從開始繼續(xù)使用中點函數(shù)值判斷。 這樣就可以不斷接近零點。通過每次把f(x)的零點所在小

2、區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間的兩個端點逐步迫近函數(shù)的零點，以求得零點的近似值，這種方法叫做二分法。 從以上可以看出，每次運算后，區(qū)間長度減少一半，是線形收斂。3.什么是函數(shù) 的不動點？如何確定使它的不動點等價于的零點P215.將方程改寫成等價的形式，若要求滿足，則；反之亦然，稱為函數(shù)的一個不動點。4.什么是不動點迭代法？滿足什么條件才能保證不動點存在和不動點迭代序列收斂于的不動點P215求的零點就等價于求的不動點，選擇一個初始近似值，將它代入的右端，可求得，如此反復迭代有，稱為迭代函數(shù)，如果對任何，由得到的序列有極限 ，則稱迭代方程收斂，且為的不動點，故稱為不動點迭代法。5.什么是迭代法的收斂階

3、？如何衡量迭代法收斂的快慢？如何確定 的收斂階P219設迭代過程收斂于的根，如果當 時，迭代誤差 滿足漸近關系式 則稱該迭代過程是p階收斂的，特別點，當p=1時稱為線性收斂，P1時稱為超線性收斂，p=2時稱為平方收斂。以收斂階的大小衡量收斂速度的快慢。6.什么是求解的牛頓法？它是否總是收斂的？若，是單根，是光滑，證明牛頓法是局部二階收斂的。牛頓法：當時收斂。7.什么是弦截法？試從收斂階及每步迭代計算量與牛頓法比較其差別。在牛頓法的基礎上使用2點的的斜率代替一點的倒數(shù)求法。就是弦截法。收斂階弦截法1.618小于牛頓法2計算量弦截法牛頓法（減少了倒數(shù)的計算量）8.什么是解方程的拋物線法？在求多項式

4、全部零點中是否優(yōu)于牛頓法？P229設已知方程的三個近似根， ，以這三點為節(jié)點構造二次插值多項式p（x），并適當選取p2（x）的一個零點作為新近似根，這樣確定的迭代過程稱為拋物線法。拋物線法的收斂階1.840大于弦截法1.618，小于牛頓法2可用于所想是的實根和復根的求解。9.什么是方程的重根？重根對牛頓法收斂階有何影響？試給出具有二階收斂的計算重根方法。10.什么是求解n維非線性方程組的牛頓法？它每步迭代要調用多少次標量函數(shù)（計算偏導數(shù)與計算函數(shù)值相當）11.判斷下列命題是否正確：（1）非線性方程（或方程組）的解通常不唯一（正確）（2）牛頓法是不動點迭代的一個特例（正確）（3）不動點迭代法總是

5、線性收斂的（錯誤）（4）任何迭代法的收斂階都不可能高于牛頓法（正確）（5）求多項式 的零點問題一定是病態(tài)的問題（錯誤）（7）二分法與牛頓法一樣都可推廣到多維方程組求解（錯誤）（8）牛頓法有可能不收斂（正確）（9）不動點迭代法，其中，若 則對任意處置x0迭代都收斂。（對）（10）弦截法也是不動點迭代法的特例（正確）習題1、用二分法求方程的正根，要求誤差。解令，則，所以有根區(qū)間為；又因為，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；取，這時它與精確解的距離。2. 為求方程在附近的一個根，設將方程改寫成下列等價形式，并建立相應的迭代公式：1），迭代公式；2

6、），迭代公式；3），迭代公式；試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似值。解1）設，則，從而，所以迭代方法局部收斂。2）設，則，從而，所以迭代方法局部收斂。3）設，則，從而，所以迭代方法發(fā)散。4）設，則，從而，所以迭代方法發(fā)散。3. 比較求的根到三位小數(shù)所需的計算量：1）在區(qū)間內用二分法； 2）用迭代法，取初值。解1）使用二分法，令，則，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；從而，共二分10次。2）使用迭代法，則，即，共迭代4次。4. 給定函數(shù)，設對一切

7、x，存在且，證明對于范圍內的任意定數(shù)，迭代過程均收斂于的根。證明由可知，令，則，又因為，所以，即，從而迭代格式收斂。5.用斯特芬森迭代法計算第2題中（2）和（3）的近似根，精確到。斯特芬森迭代法是一種加速的方法。是埃特金加速方法與不動點迭代結合。6.設 ，試確定函數(shù)和，使求解且以為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂。7. 用下列方法求在附近的根。根的準確值，要求計算結果準確到四位有效數(shù)字。（1）牛頓法（2）弦截法，?。?）拋物線法，取解1），迭代停止。2），迭代停止。3），其中，故，下略。8. 分別用二分法和牛頓法求的最小正根。解：0是函數(shù)的一個根，0時，x單調遞增，tanx單調遞減，趨于負無窮。在

8、此區(qū)間內，函數(shù)沒有根。所以，最小正根大于.當x接近且大于時，函數(shù)值為正，當x接近且大于時，函數(shù)值為負。因此，最小正根區(qū)間為（,）,選擇x1=2,函數(shù)值為-0.1850按二分法計算，略，。按牛頓迭代法，其迭代公式為，取初始值x=4.6，得9. 研究求的牛頓公式，證明對一切，且序列是遞減的。證：顯然，又因為，所以，又，所以序列是遞減的。10. 對于的牛頓公式，證明收斂到，這里為的根。證：11. 用牛頓法（4.13）和求重根迭代法（4.14）計算方程 的一個近似根，準確到 ，初始值 。牛頓法（4.13），m=2。需要計算到，取。求重根迭代法（4.14）需要計算到，取。注：matlab編程計算得出的結果。12. 應用牛頓法于方程，導出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。當時，說明迭代數(shù)列遞增。當時，說明迭代數(shù)列遞減。因此，迭代公式是收斂的。13. 應用牛頓法于方程，導出求的迭代公式，并求的值。令14. 應用牛頓法于方程和，分別導出求的迭代公式，并求。的迭代公