三角函數(shù)綜合知識講解基礎(chǔ)

1、三角函數(shù)綜合 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義.3.能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.4.會用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖，理解的物理意義.5掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)并能靈活應(yīng)用6熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀，理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：終邊相同的角1終邊

2、相同的角凡是與終邊相同的角，都可以表示成的形式.要點(diǎn)詮釋：(1)終邊相同的前提是：原點(diǎn)，始邊均相同；(2)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(3)終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們相差的整數(shù)倍.特例：終邊在x軸上的角集合，終邊在y軸上的角集合，終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時(shí)，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小.2弧度和角度的換算(1)角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度(2)弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.要點(diǎn)詮釋：(1)角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，

3、零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定.(2)角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，是圓心角所對的弧長，是半徑.要點(diǎn)二：任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號規(guī)律、特殊角的三角函數(shù)值、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式：1.三角函數(shù)定義：角終邊上任意一點(diǎn)為，設(shè)則：要點(diǎn)詮釋：三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么,2.三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(為正)；要點(diǎn)詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正3.特殊角的三角函數(shù)值02sin010-10cos10-101

4、tan01不存在0不存在04.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：要點(diǎn)詮釋：(1)這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個(gè)角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立；(2)是的簡寫；(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對值的概念，應(yīng)注意“”的選取5.誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限):sin()=sin，cos()=-cos，tan()=-tansin()=-sin，cos()=-cos，tan()=tansin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tansin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tansin()=sin，cos()=cos，tan

5、()=tan，sin()=cos，cos()=sinsin()=cos，cos()=-sin要點(diǎn)詮釋：(1)要化的角的形式為(為常整數(shù))；(2)記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”；(3)必須對一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”；(4)；.要點(diǎn)三：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：y=sinxy=cosx定義域(-，+)(-，+)值域-1，1-1，1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間周期性最小正周期最小正周期最值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對稱性對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心y=cosx的圖象是由y=sinx的圖象左移得到的.2三角函

6、數(shù)的圖象與性質(zhì)：y=tanx定義域值域R奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間周期性最值無最大值和最小值對稱性對稱中心要點(diǎn)四：函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1“五點(diǎn)法”作簡圖用“五點(diǎn)法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)，由z取來求出相應(yīng)的x，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象.要點(diǎn)詮釋：用“五點(diǎn)法”作圖的關(guān)鍵是點(diǎn)的選取，其中橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，公差為.2的性質(zhì)(1)三角函數(shù)的值域問題三角函數(shù)的值域問題，實(shí)質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問題，常用方法有：化為代數(shù)函數(shù)的值域或化為關(guān)于的二次函數(shù)式，再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間上的值域.(2)三角函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把看

7、作一個(gè)整體，比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間；要點(diǎn)詮釋：（1）注意復(fù)合函數(shù)的解題思想；（2）比較三角函數(shù)值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)同名函數(shù)值，再利用單調(diào)性比較.3確定的解析式的步驟首先確定振幅和周期，從而得到；確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，要注意從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置，同時(shí)要利用好最值點(diǎn).要點(diǎn)五：正弦型函數(shù)的圖象變換方法先平移后伸縮的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.先伸縮后平移的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.【典型例題】類型一：三角函數(shù)的概念例1已知角的終邊上一點(diǎn)，且，求的值.【思

8、路點(diǎn)撥】【解析】由題設(shè)知，所以，得，從而，解得或.當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .【總結(jié)升華】理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義，三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān).舉一反三：【變式1】已知角的終邊過點(diǎn)P(8m，6sin 30)，且cos ，則m的值為()A B. C D. 【答案】B【解析】r，cos ，m0，m.m0，m.例2.已知角；(1)在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；(2)集合，那么兩集合的關(guān)系是什么？【答案】(1) 或(2) 【解析】(1)所有與角有相同終邊的角可表示為：，則令 ，得 解得 ，從而或代回或.(2)因?yàn)楸硎镜氖墙K邊落在四個(gè)象限的平分線上的角

9、的集合；而集合表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：.【總結(jié)升華】(1)從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然后列出一個(gè)關(guān)于的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求出所求解；(2)可對整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開討論.舉一反三：【變式1】集合，則( )A、 B、 C、 D、【答案】C 【解析】( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐標(biāo)系中，數(shù)形結(jié)合(法三)集合M變形，集合N變形，是的奇數(shù)倍，是的整數(shù)倍，因此.類型二:扇形的弧長和面積公式例3已知一半徑為r的扇形，它的周長等于所在圓的周長的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？

10、合多少度？扇形的面積是多少？【答案】 【解析】設(shè)扇形的圓心角是，因?yàn)樯刃蔚幕￠L是，所以扇形的周長是依題意，得【總結(jié)升華】弧長和扇形面積的核心公式是圓周長公式和圓面積公式，當(dāng)用圓心角的弧度數(shù)代替時(shí)，即得到一般的弧長公式和扇形面積公式：類型三：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 例4若sincos= ，(，)，求cossin的值 【思路點(diǎn)撥】已知式為sin、cos的二次式，欲求式為sin、cos的一次式，為了運(yùn)用條件，須將cossin進(jìn)行平方 【解析】 (cossin)2=cos2+sin22sincos=1 = ( ，)， cossin cossin= 【總結(jié)升華】 sincos，cos+sin，cossi

11、n三者關(guān)系緊密，由其中之一，可求其余之二 舉一反三： 【變式1】已知是的一個(gè)內(nèi)角，且，求【思路點(diǎn)撥】根據(jù)可得的范圍：再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式求解.【答案】 【解析】為鈍角，由，平方整理得【變式2】已知cossin= ， 求sincos，sin+cos的值 【答案】 【解析】 ， ，類型四：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式例5（1）sin 585的值為()A B. C D. （2）已知sin(2)，則等于()A. B C7 D7【思路點(diǎn)撥】本題是對誘導(dǎo)公式和特殊三角函數(shù)值的考查，熟練掌握誘導(dǎo)公式即可.【答案】（1）A（2）A【解析】（1）sin 585sin(360225)sin(18045).（2）sin

12、(2)sin，sin.又，cos.【總結(jié)升華】誘導(dǎo)公式用角度和弧度制表示都成立，記憶方法可以概括為“奇變偶不變，符號看象限”，“變”與“不變”是相對于對偶關(guān)系的函數(shù)而言的，sin與cos對偶，“奇”、“偶”是對誘導(dǎo)公式中的整數(shù)k來講的，象限指中，將看作銳角時(shí)，所在象限，如將寫成，因?yàn)?是奇數(shù)，則“cos”變?yōu)閷ε己瘮?shù)符號“sin”，又看作第四象限角，為“+”，所以有.舉一反三：【變式1】已知cos，且，則cos等于()A. B. C D【答案】D【解析】 coscossin.又，sin，cos.類型五：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)例6. 函數(shù)y-xcosx的部分圖象是( )【思路點(diǎn)撥】結(jié)合函數(shù)的奇偶性

13、以及函數(shù)值的正負(fù)，或采用特殊值法.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y-xcosx是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以排除A、C，當(dāng)x(0，)時(shí)，y-xcosx0.答案為D.【總結(jié)升華】本題通過觀察四個(gè)選項(xiàng)A，C與B，D分別關(guān)于y軸和原點(diǎn)對稱，從而啟示我們從研究函數(shù)奇偶性入手考慮進(jìn)行篩選，然后通過研究其函數(shù)值的符號進(jìn)行確定，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的應(yīng)用.舉一反三：【高清課堂：三角函數(shù)的綜合395043 例1】【變式1】函數(shù)在內(nèi) （ ）A沒有零點(diǎn) B有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D有無窮多個(gè)零點(diǎn)【答案】B例7已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù) 的圖象，只要將的圖象（ ） A 向左平移個(gè)單位長度 B向右平移個(gè)單位長度 C向左平移個(gè)單位長度 D向右平移個(gè)單位長度【思路點(diǎn)撥】對于不同三角函數(shù)圖象之間的平移變換，一定要根據(jù)誘導(dǎo)公式將二者之間變換清楚【答案】A 【解析】由題知又，所以所以 = =顯然將的圖象向左平移個(gè)單位長度便可得到的圖象故選A舉一反三：【變式1】把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的圖象所表示的函數(shù)是( )A.B.C.D.解析：，故選C.例8函數(shù)()的最大值為3, 其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為 (1)求函數(shù)的解析式;(2)設(shè),則,求的值.【思路點(diǎn)撥】由題意知，A=2，