版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、第六節(jié) 微積分基本定理,本節(jié)要點,本節(jié)通過積分上限函數(shù),證明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存,其中 為 的一個原函數(shù),在性,尼茨公式,更進一步地得到微積分基本公式牛頓萊布,一、問題的提出,在上一節(jié)中,我們看到:物體在時間間隔 內(nèi)經(jīng),但是,這段路程又可視為位置函數(shù) 在區(qū)間,過的路程為,速度函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分,的增量,即,由于 即位移函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù),所以上述關(guān)系表示為,速度函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分,等于,值得提出的是:該問題是否具有一般意義,即,即: 若函數(shù) 存在原函數(shù),那么函數(shù),在區(qū)間 上的定積分,是否可以表達(dá)為它的原函數(shù),在區(qū)間 上的增量,二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),設(shè)函數(shù) ,則 的定積分存在
2、,它與,積分變量的符號無關(guān),即可將積分變量的符號 改寫,成,設(shè)函數(shù) 則 在部分區(qū)間,定義了區(qū)間 上的函數(shù),用此積分形式定義的函數(shù) 稱為積分上限的函數(shù),上可積,由此積分,記為 即,例如 則,x,1,y=x,定理1 如果函數(shù) 則積分上限函數(shù),在 上可導(dǎo),并且其導(dǎo)函數(shù)為,證 若,由積分中值定理,得,其中 介于 與 之間,故,又由于 為連續(xù)函數(shù),故,所以,此說明函數(shù) 可導(dǎo),且有,若 或 則以上的極限分別改為 或,就得到 與,定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性,并且積分上限,函數(shù),是 的一個原函數(shù),例1 設(shè) 求,解 由求導(dǎo)公式,得,三、牛頓萊布尼茨公式,定理2 如果函數(shù) 函數(shù) 是 的一個原,證 因 與
3、 都是 的原函數(shù),函數(shù),則,則,上式稱為牛頓萊布尼茨公式,在上式中,令 則有,又由于 可得 則有,在上式中令 則有,在上式將 改寫為 ,則有,定理2建立了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系,同時又為,定積分的計算提供了方法,具體做法是,先求出原函數(shù),再將上限和下限代入后相減,例2 求,解 因函數(shù) 的原函數(shù)為 故由積分公式,得,例3 求,解,例4 求,解,例5 設(shè) 求積分上限函數(shù),在 上的積分表達(dá)式,解 當(dāng),當(dāng),所以,例6 求極限,解 原式,這里取 并將區(qū)間 等分,取,為區(qū)間的左端點,小區(qū)間的長度 又因函數(shù),故積分與區(qū)間的分法和點的取法無關(guān),所以,原式,定理 設(shè) 并在 上存在原函數(shù),證 在 插入 個分點,
4、從而把區(qū)間 分成 個小區(qū)間, 在區(qū)間 上使,則,用微分中值定理,得,值得注意的是:定理2的條件可降低為,其中 記,則有,令 則有,又由于 可積,由定積分的定義,得,由于 可微分,故,即,上式說明 在 上的定積分為它的原函數(shù),在 處各點處的微分的無窮積累,我們來推廣變上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,定理 設(shè)函數(shù) 在某區(qū)間 上連續(xù),函數(shù) 及,注意到,當(dāng) 就是定理1的形式,是 上的可導(dǎo)函數(shù),且,則,例7 設(shè) 求,解 由求導(dǎo)公式得,的導(dǎo)數(shù),例8 求由 確定的隱函數(shù) 對,解 方程兩邊對 求導(dǎo),則有,即,例9 當(dāng) 為何值時,函數(shù) 有極值,解 為求極值,先求函數(shù) 的駐點。因,顯然有: 所,以 是函數(shù)的極小值點。又 故當(dāng),時函數(shù)由極小值,例10 求,解 原式是 型。由羅必達(dá)法則,原
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 社團合作共建計劃
- 2024-2025學(xué)年年八年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷第21章 二次根式單元檢測題(含答案)-
- 2023-2024學(xué)年江蘇省南京市六合區(qū)部編版五年級上冊期末考試語文試卷(原卷版)-A4
- 2025元旦節(jié)前物業(yè)安全檢查表
- 《數(shù)值分析積分上》課件
- 《依力帕提》課件
- 《撬棍的學(xué)問》課件
- 《供應(yīng)鏈的構(gòu)與優(yōu)化》課件
- 土壤地理學(xué)課件全部
- 政府招標(biāo)專家報告范文
- (完整版)檢驗批質(zhì)量驗收記錄(全套)
- 堆(噴)焊、凃工藝作業(yè)指導(dǎo)書
- 【旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展研究國內(nèi)外文獻綜述2900字】
- 走進人工智能-AI發(fā)展史及人工智能的應(yīng)用
- 個人本學(xué)年崗位任務(wù)完成情況及自我鑒定
- 《果樹生產(chǎn)技術(shù)》實習(xí)指導(dǎo)手冊
- DB32/T 4463-2023水域狀況評價規(guī)范
- 泵的基礎(chǔ)知識講座課件
- 教學(xué)查房-急性胰腺炎
- 銀行借款受托支付合同范本
- 西安明德理工學(xué)院
評論
0/150
提交評論