迭代與遞歸用法及區(qū)別

1、什么是迭代跟遞歸算法？二者有什么區(qū)別？ 迭代算法是用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的一種基本方法。它利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度快、適合做重復(fù)性操作的特點(diǎn)，讓計(jì)算機(jī)對(duì)一組指令(或一定步驟)進(jìn)行重復(fù)執(zhí)行，在每次執(zhí)行這組指令(或這些步驟)時(shí)，都從變量的原值推出它的一個(gè)新值。利用迭代算法解決問(wèn)題，需要做好以下三個(gè)方面的工作：一、確定迭代變量。在可以用迭代算法解決的問(wèn)題中，至少存在一個(gè)直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。二、建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公式(或關(guān)系)。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問(wèn)題的關(guān)鍵，通?？梢允褂眠f推或倒推的方法來(lái)完成。三、對(duì)迭代過(guò)程進(jìn)行控

2、制。在什么時(shí)候結(jié)束迭代過(guò)程?這是編寫(xiě)迭代程序必須考慮的問(wèn)題。不能讓迭代過(guò)程無(wú)休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過(guò)程的控制通?？煞譃閮煞N情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來(lái);另一種是所需的迭代次數(shù)無(wú)法確定。對(duì)于前一種情況，可以構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過(guò)程的控制;對(duì)于后一種情況，需要進(jìn)一步分析出用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件。例 1 ： 一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)引進(jìn)一只剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問(wèn)到第 12 個(gè)月時(shí)，該飼養(yǎng)場(chǎng)共有兔子多少只?分析： 這是一個(gè)典型的遞推問(wèn)題。我們不妨假設(shè)第 1 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 1

3、 ，第 2 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 2 ，第 3 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 3 ，根據(jù)題意，“這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子”，則有以下是引用片段：u1=1，u2=u1+u11=2，u3=u2+u21=4，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以歸納出下面的遞推公式：以下是引用片段：un=un-12(n2)對(duì)應(yīng) u n 和 u n - 1 ，定義兩個(gè)迭代變量 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系：以下是引用片段：y=x*2 x=y讓計(jì)算機(jī)對(duì)這個(gè)迭代關(guān)系重復(fù)執(zhí)行 11 次，就可以算出第 12 個(gè)月時(shí)的兔子數(shù)。參考程序如下：以下是引用片段：cls x=1 fori=2to12 y=x*2 x

4、=y nexti printy end例 2 ： 阿米巴用簡(jiǎn)單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鐘。將若干個(gè)阿米巴放在一個(gè)盛滿營(yíng)養(yǎng)參液的容器內(nèi)， 45 分鐘后容器內(nèi)充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 2 20 個(gè)。試問(wèn)，開(kāi)始的時(shí)候往容器內(nèi)放了多少個(gè)阿米巴?請(qǐng)編程序算出。分析： 根據(jù)題意，阿米巴每 3 分鐘分裂一次，那么從開(kāi)始的時(shí)候?qū)⒚装头湃肴萜骼锩妫?45 分鐘后充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以裝阿米巴 2 20 個(gè)”，即阿米巴分裂 15 次以后得到的個(gè)數(shù)是 2 20 。題目要求我們計(jì)算分裂之前的阿米巴數(shù)，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之后的 2

5、20 個(gè)，倒推出第 15 次分裂之前(即第 14 次分裂之后)的個(gè)數(shù)，再進(jìn)一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、第 1 次分裂之前的個(gè)數(shù)。設(shè)第 1 次分裂之前的個(gè)數(shù)為 x 0 、第 1 次分裂之后的個(gè)數(shù)為 x 1 、第 2 次分裂之后的個(gè)數(shù)為 x 2 、第 15 次分裂之后的個(gè)數(shù)為 x 15 ，則有以下是引用片段：x14=x15/2、x13=x14/2、xn-1=xn/2(n1)因?yàn)榈?15 次分裂之后的個(gè)數(shù) x 15 是已知的，如果定義迭代變量為 x ，則可以將上面的倒推公式轉(zhuǎn)換成如下的迭代公式：x=x/2 ( x 的初值為第 15 次分裂之后的個(gè)數(shù) 2 20 )讓這個(gè)迭代公

6、式重復(fù)執(zhí)行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個(gè)數(shù)。因?yàn)樗璧牡螖?shù)是個(gè)確定的值，我們可以使用一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過(guò)程的控制。參考程序如下：以下是引用片段：cls x=220 fori=1to15 x=x/2 nexti printx end例 3 ： 驗(yàn)證谷角猜想。日本數(shù)學(xué)家谷角靜夫在研究自然數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪現(xiàn)象：對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù) n ，若 n 為偶數(shù)，則將其除以 2 ;若 n 為奇數(shù)，則將其乘以 3 ，然后再加 1 。如此經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后，總可以得到自然數(shù) 1 。人們把谷角靜夫的這一發(fā)現(xiàn)叫做“谷角猜想”。要求：編寫(xiě)一個(gè)程序，由鍵盤(pán)輸入一個(gè)自然數(shù) n ，把 n

7、經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后，最終變成自然數(shù) 1 的全過(guò)程打印出來(lái)。分析： 定義迭代變量為 n ，按照谷角猜想的內(nèi)容，可以得到兩種情況下的迭代關(guān)系式：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， n=n/2 ;當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， n=n*3+1 。用 QBASIC 語(yǔ)言把它描述出來(lái)就是：以下是引用片段：ifn為偶數(shù)then n=n/2 else n=n*3+1 endif這就是需要計(jì)算機(jī)重復(fù)執(zhí)行的迭代過(guò)程。這個(gè)迭代過(guò)程需要重復(fù)執(zhí)行多少次，才能使迭代變量 n 最終變成自然數(shù) 1 ，這是我們無(wú)法計(jì)算出來(lái)的。因此，還需進(jìn)一步確定用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件。仔細(xì)分析題目要求，不難看出，對(duì)任意給定的一個(gè)自然數(shù) n ，只要經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后，能夠得

8、到自然數(shù) 1 ，就已經(jīng)完成了驗(yàn)證工作。因此，用來(lái)結(jié)束迭代過(guò)程的條件可以定義為： n=1 。參考程序如下：以下是引用片段：cls inputPleaseinputn=;n dountiln=1 ifnmod2=0then rem如果n為偶數(shù)，則調(diào)用迭代公式n=n/2 n=n/2 print;n; else n=n*3+1 print;n; endif loop end迭代法迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計(jì)方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價(jià)的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：(1) 選一個(gè)方程的近似根，賦給變量x0;(2) 將x0的值保存于變量x1，然后計(jì)算

9、g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0;(3) 當(dāng)x0與x1的差的絕對(duì)值還小于指定的精度要求時(shí)，重復(fù)步驟(2)的計(jì)算。若方程有根，并且用上述方法計(jì)算出來(lái)的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：【算法】迭代法求方程的根以下是引用片段：x0=初始近似根; do x1=x0; x0=g(x1);/*按特定的方程計(jì)算新的近似根*/ while(fabs(x0-x1)Epsilon); printf(“方程的近似根是%fn”，x0); 迭代算法也常用于求方程組的根，令X=(x0，x1，xn-1)設(shè)方程組為：xi=gi(X) (I=0，1，n-1)則求方程組根的迭

10、代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程組的根以下是引用片段：for(i=0;i x=初始近似根; do for(i=0;i y=x; for(i=0;i x=gi(X); for(delta=0.0,i=0;i if(fabs(y-x)delta)delta=fabs(y-x); while(deltaEpsilon); for(i=0;i printf(“變量x%d的近似根是%f”，I，x); printf(“n”); 具體使用迭代法求根時(shí)應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：(1) 如果方程無(wú)解，算法求出的近似根序列就不會(huì)收斂，迭代過(guò)程會(huì)變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程

11、序中對(duì)迭代的次數(shù)給予限制;(2) 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會(huì)導(dǎo)致迭代失敗。遞歸遞歸是設(shè)計(jì)和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進(jìn)一步介紹其他算法設(shè)計(jì)方法之前先討論它。能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問(wèn)題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問(wèn)題，然后從這些小問(wèn)題的解方便地構(gòu)造出大問(wèn)題的解，并且這些規(guī)模較小的問(wèn)題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問(wèn)題，并從這些更小問(wèn)題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問(wèn)題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模N=1時(shí)，能直接得解?！締?wèn)題】 編寫(xiě)計(jì)算斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的第n項(xiàng)函數(shù)fib(

12、n)。斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、，即：以下是引用片段：fib(0)=0; fib(1)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)(當(dāng)n1時(shí))。寫(xiě)成遞歸函數(shù)有：以下是引用片段：intfib(intn) if(n=0)return0; if(n=1)return1; if(n1)returnfib(n-1)+fib(n-2); 遞歸算法的執(zhí)行過(guò)程分遞推和回歸兩個(gè)階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問(wèn)題(規(guī)模為n)的求解推到比原問(wèn)題簡(jiǎn)單一些的問(wèn)題(規(guī)模小于n)的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說(shuō)，為計(jì)算fib(n)，必須先計(jì)算

13、fib(n-1)和fib(n- 2)，而計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計(jì)算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類(lèi)推，直至計(jì)算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。在回歸階段，當(dāng)獲得最簡(jiǎn)單情況的解后，逐級(jí)返回，依次得到稍復(fù)雜問(wèn)題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。在編寫(xiě)遞歸函數(shù)時(shí)要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識(shí)局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡(jiǎn)單問(wèn)題”層時(shí)，原來(lái)層次上的

14、參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來(lái)。在一系列“簡(jiǎn)單問(wèn)題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會(huì)有一系列的重復(fù)計(jì)算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對(duì)較低。當(dāng)某個(gè)遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時(shí)，通常按遞推算法編寫(xiě)程序。例如上例計(jì)算斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)出發(fā)，逐次由前兩項(xiàng)計(jì)算出下一項(xiàng)，直至計(jì)算出要求的第n項(xiàng)。【問(wèn)題】 組合問(wèn)題問(wèn)題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1(7)

15、4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1(10)3、2、1分析所列的10個(gè)組合，可以采用這樣的遞歸思想來(lái)考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、m中任取k個(gè)數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個(gè)數(shù)字選定時(shí)，其后的數(shù)字是從余下的m-1個(gè)數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m 個(gè)數(shù)中取k個(gè)數(shù)的組合問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求m-1個(gè)數(shù)中取k-1個(gè)數(shù)的組合問(wèn)題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a 存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個(gè)數(shù)字組合的第一個(gè)數(shù)字放在ak中，當(dāng)一個(gè)組合求出后，才將a 中的一個(gè)組合輸出。第一個(gè)數(shù)可以是m、m-1、k，函數(shù)將確定組合的第一個(gè)數(shù)字放入數(shù)組后，有兩

16、種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定;或因已確定了組合的全部元素，輸出這個(gè)組合。細(xì)節(jié)見(jiàn)以下程序中的函數(shù)comb?！境绦颉恳韵率且闷危?include #defineMAXN100 intaMAXN; voidcomb(intm,intk) inti,j; for(i=m;i=k;i-) ak=i; if(k1) comb(i-1,k-1); else for(j=a0;j0;j-) printf(“%4d”,aj); printf(“n”); voidmain() a0=3; comb(5,3); 【問(wèn)題】 背包問(wèn)題問(wèn)題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品

17、中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過(guò)指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。設(shè)n 件物品的重量分別為w0、w1、wn-1，物品的價(jià)值分別為v0、v1、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價(jià)值最大的方案于數(shù)組option ，該方案的總價(jià)值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop 。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品;當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw;至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)到的總價(jià)值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價(jià)值的期望值也小于前面方案的總價(jià)

18、值maxv時(shí)，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無(wú)意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個(gè)方案。因?yàn)楫?dāng)方案的總價(jià)值不比maxv大時(shí)，該方案不會(huì)被再考察，這同時(shí)保證函數(shù)后找到的方案一定會(huì)比前面的方案更好。對(duì)于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：(1) 考慮物品i被選擇，這種可能性?xún)H當(dāng)包含它不會(huì)超過(guò)方案總重量限制時(shí)才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。(2) 考慮物品i不被選擇，這種可能性?xún)H當(dāng)不包含物品i也有可能會(huì)找到價(jià)值更大的方案的情況。按以上思想寫(xiě)出遞歸算法如下：以下是引用片段：try(物品i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價(jià)值tv) /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/ if

19、(包含物品i是可以接受的) 將物品i包含在當(dāng)前方案中; if(i try(i+1,tw+物品i的重量,tv); else /*又一個(gè)完整方案，因?yàn)樗惹懊娴姆桨负?，以它作為最佳方?/ 以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存; 恢復(fù)物品i不包含狀態(tài); /*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/ if(不包含物品i僅是可男考慮的) if(i try(i+1,tw,tv-物品i的價(jià)值); else /*又一個(gè)完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/ 以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存; 為了理解上述算法，特舉以下實(shí)例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價(jià)值見(jiàn)表：物品 0 1 2 3重量 5 3 2 1價(jià)值

20、 4 4 3 1并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過(guò)程。由圖知，一旦找到一個(gè)解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個(gè)查找分支不會(huì)找到更好的解，算法不會(huì)在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個(gè)分支。按上述算法編寫(xiě)函數(shù)和程序如下：【程序】以下是引用片段：#include #defineN100 doublelimitW,totV,maxV; intoptionN,copN; structdoubleweight; doublevalue; aN; intn; voidfind(inti,doubletw,doubletv) intk; /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*

21、/ if(tw+a.weightmaxV) if(i else for(k=0;k optionk=copk; maxv=tv-a.value; voidmain() intk; doublew,v; printf(“輸入物品種數(shù)n”); scanf(“%d”,&n); printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值n”); for(totv=0.0,k=0;k scanf(“%1f%1f”,&w,&v); ak.weight=w; ak.value=v; totV+=V; printf(“輸入限制重量n”); scanf(“%1f”,&limitV); maxv=0.0; for(k=0;kfind

22、(0,0.0,totV); for(k=0;k if(optionk)printf(“%4d”,k+1); printf(“n總價(jià)值為%.2fn”,maxv); 作為對(duì)比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡(jiǎn)單地逐一生成所有候選解，而是從每個(gè)物品對(duì)候選解的影響來(lái)形成值得進(jìn)一步考慮的候選解，一個(gè)候選解是通過(guò)依次考察每個(gè)物品形成的。對(duì)物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的;反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時(shí)最佳解更

23、好的候選解時(shí)，才去考慮該物品不被包括在候選解中;反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對(duì)于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)一步考慮下一個(gè)物品?！境绦颉恳韵率且闷危?include #defineN100 doublelimitW; intcopN; structeledoubleweight; doublevalue; aN; intk,n; structint; doubletw; doubletv; twvN; voidnext(inti,doubletw,doubletv) twv.=1; twv.tw=tw; twv.tv=tv; doublefind(structele*a,intn) inti,k,f; doublemaxv,tw,tv,totv; maxv=0; for(totv=0.0,k=0;k totv+=ak.value; next(0,0.0,t