第二章-Langevin方程與數(shù)值模擬

1、第二章 Langevin方程與數(shù)值模擬問(wèn)題：系統(tǒng)的作用量或Hamiltonian量為S平衡態(tài)分布為，（這里溫度已吸收到S）。假設(shè)系統(tǒng)時(shí)處于一初始狀態(tài)系統(tǒng)如何演化至平衡態(tài)？如果初始狀態(tài)不是平衡態(tài)，這便是一個(gè)馳豫動(dòng)力學(xué)過(guò)程。如果初始狀態(tài)是平衡態(tài)，這是平衡態(tài)的動(dòng)力學(xué)漲落問(wèn)題。第一節(jié) 單自由度的Langevin方程和Fokker-Planck方程Langevin方程對(duì)固定 這里的 t 通常也是介觀時(shí)間。 如果沒(méi)有隨機(jī)力，平衡態(tài)為，即能量取極小值。如果存在隨機(jī)力，體系會(huì)被推離能量極小，處于某種能量較高的平衡態(tài)。例如：布朗運(yùn)動(dòng) 花粉在液體中的運(yùn)動(dòng)一維解如如，這便是隨機(jī)行走。在布朗運(yùn)動(dòng)的方程中加入自身的相互

2、作用可以理解為廣義的Langevin方程。設(shè)想這一方程是真正的微觀運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)時(shí)間做某種介觀的平均，常常加速度的項(xiàng)可以忽略。 由于隨機(jī)力的存在，Langevin方程有他的復(fù)雜性，因?yàn)槲覀儽仨毧紤]對(duì)隨機(jī)力平均帶來(lái)的奇異性。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們對(duì)時(shí)間分立化在數(shù)值模擬中應(yīng)用較直觀，Z =Langevin方程令 方程的解 是隨機(jī)變量，在數(shù)值模擬中給定初始值還不確定，與隨機(jī)力有關(guān)。也就是說(shuō)，在t時(shí)刻，x 遵從一個(gè)分布。物理量的平均值問(wèn)題：的含義？答：必須對(duì)t之前的所有隨機(jī)力做平均。 又 這里做分步積分時(shí)，假設(shè)另一方面Fokker-Planck方程顯然 思考題：試討論為平衡態(tài)的條件第二節(jié) 多自由度的Lang

3、evin方程和自由場(chǎng)這里是空間指標(biāo)時(shí)空分立化 關(guān)于Kernel 練習(xí)：推導(dǎo)F-P方程，證明平衡態(tài)為。自由場(chǎng)動(dòng)量變換關(guān)于Kernel的作用 Kernel不改變平衡態(tài)，但可以改變動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程。e.g.如 ，演化極慢，我們可取，則這主意似乎可應(yīng)用于解決臨界點(diǎn)附近的臨界慢化問(wèn)題，稱為Fourier加速法。但在有相互作用時(shí)，如何選取可以達(dá)到“加速”的目的，是重合懸而未決的問(wèn)題。第三節(jié) Langevin方程的路徑積分表述 生成泛函對(duì)的微商，可以得到任何物理量的平均值。恒等式對(duì)單自由度如果 只有唯一解這恒等式對(duì)任意成立。作積分變換 在積分號(hào)內(nèi)， 是 的任意函數(shù)。 但積分后，由于 函數(shù)的作用， 取 的解。關(guān)

4、鍵：令，則積分后為L(zhǎng)angevin方程的解。i.e.由于函數(shù)的存在，這里的可以看成和無(wú)關(guān)。引入輔助場(chǎng)玻色場(chǎng)，費(fèi)米場(chǎng)第四節(jié) 復(fù)Langevin方程自然延拓 注意:保持為實(shí)數(shù)。問(wèn)題：這樣的Langevin方程是否給出平衡態(tài)分布?引入復(fù)分布，令注意：這里為實(shí)數(shù)練 習(xí)形式上不難推導(dǎo) 假設(shè)當(dāng) 似乎也有平衡態(tài) 作相似變換 注意：在類似于量子力學(xué)的框架下，定義內(nèi)積 則假設(shè)為實(shí)函數(shù)，則為正定算符 設(shè)假設(shè) 的基態(tài)沒(méi)簡(jiǎn)并0,0但是，如果為復(fù)函數(shù)，失去正定性，可以小于零，情形變得不確定。第五節(jié) 動(dòng)力學(xué)臨界現(xiàn)象和臨界慢化設(shè)描述的平衡態(tài)處于二級(jí)相變點(diǎn)（臨界點(diǎn)）附近Langevin方程描寫的動(dòng)力學(xué)行為是一種動(dòng)力學(xué)臨界現(xiàn)象

5、。當(dāng)然，也存在沒(méi)有平衡態(tài)的動(dòng)力學(xué)臨界系統(tǒng)，即動(dòng)力學(xué)二級(jí)相變系統(tǒng)。更廣義的動(dòng)力學(xué)臨界現(xiàn)象包括自組織臨界現(xiàn)象等。動(dòng)力學(xué)臨界現(xiàn)象的特征行為是發(fā)散的關(guān)聯(lián)時(shí)間和動(dòng)力學(xué)標(biāo)度形式。例如，定義假設(shè)足夠大，二、三十年前人們便發(fā)現(xiàn)， 為相變溫度:稱之為動(dòng)力學(xué)臨界指數(shù)，：任意標(biāo)度因子動(dòng)力學(xué)標(biāo)度形式代表一種自相似性，這一自相似性具有普遍意義。例： 把的單位“恰當(dāng)”地改一下，后果只是把M的單位改一下（相似性）令 除了一個(gè)相似因子只與 有關(guān)，平衡態(tài)的空間關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度，所以 所以，應(yīng)當(dāng)代表一空間標(biāo)度。事實(shí)上，它是t時(shí)刻的空間關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度。 空間單位的改變，僅導(dǎo)致M的單位的改變！ 動(dòng)力學(xué)標(biāo)度形式可用重整化群方法導(dǎo)出,而且可以推廣重有

6、限尺度體系。足夠大，足夠小。但是，重整化群方法的結(jié)果只能與實(shí)驗(yàn)或準(zhǔn)確結(jié)果定性比較。當(dāng)然，我們可以數(shù)值求解Langevin方程，但運(yùn)算量太大，特別是當(dāng)時(shí)，由引起的誤差難以控制。一般相信，Monte Carlo動(dòng)力學(xué)和Langevin動(dòng)力學(xué)處于同一普適類。 MC模擬可以給出較好的定量結(jié)果。但是，MC模擬仍受臨界慢化的困擾。時(shí)間關(guān)聯(lián)函數(shù) ，足夠大 包括隨機(jī)力平均和對(duì)平均， 稱之為關(guān)聯(lián)時(shí)間* ，當(dāng)， 標(biāo)度形式的物理基礎(chǔ)* ，當(dāng) ， 臨界慢化 無(wú)法獲得獨(dú)立的自旋構(gòu)形，這不僅僅困擾動(dòng)力學(xué)MC模型，而且困擾平衡態(tài)MC模型， 這稱之為臨界慢化。設(shè)假設(shè)當(dāng)然顯然，指數(shù)上的b的因子必須自身抵消掉 思 考 題為什么

7、傳統(tǒng)的測(cè)量的方法兩難境地：要測(cè)準(zhǔn)，需要大 但當(dāng)大，臨界慢化。第六節(jié) Ising 模型的Monte Carlo模擬Ising model稱之為哈密頓量，代表能量置于格點(diǎn)上，例如正方格點(diǎn)為外磁場(chǎng) 對(duì)隨機(jī)狀態(tài)有序狀態(tài) 極小當(dāng)體系和大熱源接觸達(dá)到“平衡”時(shí)，遵從正則分布物理量的平均值 歸一化常數(shù) 配分函數(shù)對(duì)MC模擬，可以給予概率分布的意義。引入恰當(dāng)隨機(jī)過(guò)程，產(chǎn)生一系列自旋構(gòu)形當(dāng)足夠大時(shí)，遵從分布例格點(diǎn)尺度關(guān)鍵：構(gòu)造算法各態(tài)歷經(jīng)細(xì)致平衡單自旋翻轉(zhuǎn)法每次只試圖改變一個(gè)自旋的值，稱迭代順序掃描法按規(guī)則依次迭代點(diǎn)陣上所有自旋Heat-bath algorithm選定，取注意：這一算法的躍遷概率與的值無(wú)關(guān)！這與

8、Metropolis的方法不同。的能量的能量由于每次只迭代一個(gè)自旋，與無(wú)關(guān)的自旋的能量不必計(jì)算。設(shè) 各態(tài)歷經(jīng)是顯然的。細(xì)致平衡練習(xí)：構(gòu)造Metropolis算法構(gòu)造二自旋迭代的Heat-bath和Metropolis算法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)Heat-bath的算法選定計(jì)算產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，均勻分布如果否則01 概率磁化強(qiáng)度及其次矩1當(dāng) 是二級(jí)相變點(diǎn)，亦稱臨界點(diǎn)，臨界點(diǎn)附近的現(xiàn)象稱臨界現(xiàn)象，特征標(biāo)度行為為任意標(biāo)度因子驗(yàn)證：對(duì)有限尺度體系普適性只與對(duì)稱性和空間維數(shù)有關(guān)。我們的任務(wù)：測(cè)量在有限體系測(cè)量的方法Binder cumulant當(dāng) MC方法*計(jì)算機(jī)上的實(shí)驗(yàn)*可以逼進(jìn)準(zhǔn)確解普適標(biāo)度行為關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的普遍規(guī)律過(guò)

9、去幾十年留下的重要概念之一以標(biāo)度行為基礎(chǔ)，可測(cè)量廣泛應(yīng)用于自然和社會(huì)第七節(jié) 短時(shí)臨界動(dòng)力學(xué)問(wèn)題1. 如何解決臨界慢化困難？杰出的工作：Cluster方法 非局域的迭代方法局限性 不能研究定域的動(dòng)力學(xué) 不能任意推廣例如：無(wú)序系統(tǒng) 格點(diǎn)規(guī)范理論問(wèn)題2. 當(dāng)不太大，甚至相當(dāng)小時(shí)，是否存在普適的標(biāo)度行為？傳統(tǒng)答案不存在近十年的答案存在并且，可以給出問(wèn)題1的一種答案，原則可以應(yīng)用于任何體系。關(guān)鍵：*區(qū)分微觀和宏觀時(shí)間標(biāo)度*認(rèn)真對(duì)待宏觀初始條件初始條件很小對(duì)Ising model或理論，磁化的次矩Janssen等人，1989年 展開(kāi) 微觀足夠大特征行為1、足夠小 有趣，幾乎總有 磁化的初始增加。2、 回到1、的結(jié)果 t0 冪次行為被修正 t=0 尋找冪次行為最好的溫度， t0即得到