藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義：考點(diǎn)33 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、 2考點(diǎn)三十三藝考生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 知識(shí)梳理1平面的概念數(shù)學(xué)中的平面是一個(gè)不加定義的原始概念，常見(jiàn)的桌面、黑板面、海平面都給我們平面的形 象幾何里所說(shuō)的平面就是從這樣的一些物體抽象出來(lái)的，平面是無(wú)限延展的，沒(méi)有厚度， 也沒(méi)有大小、輕重之分2空間中的四個(gè)公理及其推論公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)公理 2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論 1：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有與一個(gè)平面推論 2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論 3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，

2、那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行3等角定理空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(lèi) 平行共面直線相交異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)(2)異面直線所成的角定義：過(guò)空間任意一點(diǎn) p 分別引兩條異面直線 a，b 的平行線 l ，l (al ，bl )，這兩條1 2 1 2相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線 a，b 所成的角范圍： 0， .5空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)直相交aa1 個(gè)線與平行a0 個(gè)平面在平面a 無(wú)數(shù)個(gè)高中數(shù)學(xué)藝考生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義內(nèi)平

3、平行0 個(gè)面與平相交l無(wú)數(shù)個(gè)面典例剖析題型一 平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例 1 在下列命題中，不是公理的是_12平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行 過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線答案 解析 由立體幾何基本知識(shí)知，項(xiàng)為公理 2，c 項(xiàng)為公理 1，項(xiàng)為公理 3, 項(xiàng)不是公理 變式訓(xùn)練 下列結(jié)論正確的是_1 經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面2 經(jīng)過(guò)兩條相交直線，可以確定一個(gè)平面3 經(jīng)過(guò)兩條平行直線，可以確定一個(gè)平面4 經(jīng)過(guò)空間任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)

4、平面答案 3 個(gè)解析 當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)不能確定平面，故不正確，正確解題要點(diǎn) 三點(diǎn)不一定確定一個(gè)平面當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可確定無(wú)數(shù)個(gè)平面題型二 空間直線的位置關(guān)系例 2 正方體 ac 中，e、f 分別是線段 bc、cd 的中點(diǎn)，則直線 a b 與直線 ef 的位置關(guān)1 1 1系是_答案 相交解析 如圖所示，直線 a b 與直線外一點(diǎn) e 確定的平面為 a bcd ，ef 平面 a bcd ，且1 1 1 1 1兩直線不平行，故兩直線相交.高中數(shù)學(xué)藝考生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義變式訓(xùn)練 如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開(kāi)圖，g、h、m、n 分別為 de、 be、ef、ec 的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中

5、，gh 與 ef 平行； bd 與 mn 為異面直線；gh 與 mn 成 60角； de 與 mn 垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_答案 解析 還原成正四面體知 gh 與 ef 為異面直線，bd 與 mn 為異面直線，gh 與 mn 成 60 角，demn.解題要點(diǎn) 1.空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行，相交和異面，要正確理解異面直線“不 同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”2. 對(duì)于較復(fù)雜幾何體的線面關(guān)系判定問(wèn)題，應(yīng)注意借助圖形，考察各點(diǎn)、線在空間中的相對(duì) 位置3. 正四面體的特性：對(duì)棱都異面且互相垂直，記住這個(gè)特性有助于快速解題題型三 異面直線判定問(wèn)題例 3

6、如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的四條線段 ab，cd，ef，gh 在原正方體 中互為異面直線的對(duì)數(shù)為_(kāi)高中數(shù)學(xué)藝考生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義答案 3解析 ab，cd，ef 和 gh 在原正方體中如圖所示，顯然 ab 與 cd，ef 與 gh，ab 與 gh 都是異面直線，而 ab 與 ef 相交，cd 與 gh 相交，cd 與 ef 平行故互為異面的直線有 且只有三對(duì)變式訓(xùn)練 若直線 l 不平行于平面 ，且 l ，則_1234 內(nèi)的所有直線與 l 異面 內(nèi)不存在與 l 平行的直線 內(nèi)存在唯一的直線與 l 平行 內(nèi)的直線與 l 都相交答案 解析 依題意，直線 la(如圖) 內(nèi)的直線若經(jīng)過(guò)點(diǎn) a，則

7、與直線 l 相交；若不經(jīng)過(guò)點(diǎn) a，則與直線 l 是異面直線，故選.解題要點(diǎn) 判定異面直線有以下異面直線判定定理:平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線,與此平 面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.另外判定兩條直線異面,還可依據(jù)：1 定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線；2 既不平行也不相交的兩條直線是異面直線。題型四 異面直線所成角的求解例 4 已知正方體 abcda b c d 中，e、f 分別為 bb 、cc 的中點(diǎn)，那么異面直線 ae1 1 1 1 1 1與 d f 所成角的余弦值為_(kāi)1答案35解析 如圖，連接 df，高中數(shù)學(xué)22 2112藝考生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義因?yàn)?df 與 ae 平行，

8、所以dfd 即為異面直線 ae 與 d f 所成角的平面角，設(shè)正方體的棱1 1( 5)( 5)2 3長(zhǎng)為 2，則 fd fd 5，由余弦定理得 cosdfd .2( 5) 5變式訓(xùn)練 直三棱柱 abca b c 中，若bac90，abacaa ，則異面直線 ba 與1 1 1 1 1ac 所成的角等于_1答案 60解析 如圖，可補(bǔ)成一個(gè)正方體，ac bd .ba 與 ac 所成角的大小為a bd .1 1 1 1 1 1又易知bd 為正三角形，a bd 60.1 1 1 1即 ba 與 ac 成 60的角1 1解題要點(diǎn) 求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化 為

9、共面問(wèn)題來(lái)解決根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)， 往往可以選在其中一條直線上(線面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解當(dāng)堂練習(xí)1下列四個(gè)結(jié)論：(1) 兩條直線都和同一個(gè)平面平行，則這兩條直線平行(2) 兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行(3) 兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行(4) 一條直線和一個(gè)平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這條直線和這個(gè)平面平行其中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)答案0解析 對(duì)(1)，兩條直線都和同一個(gè)平面平行，這兩條直線三種位置關(guān)系都有可能; 對(duì)(2)，兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面;高中數(shù)學(xué)藝考生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義對(duì)(3)，兩條直線都和第三條

10、直線垂直，則這兩條直線三種位置關(guān)系都有可能;對(duì)(4)，一條直線和一個(gè)平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這條直線也可在這個(gè)平面內(nèi). 2以下命題正確的是_1 兩個(gè)平面可以只有一個(gè)交點(diǎn)2 一條直線與一個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)3 兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，它們可能相交 兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，它們一定重合答案 解析 對(duì)于，兩個(gè)平面有一個(gè)交點(diǎn)就有過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線，故錯(cuò)對(duì)于，直線在平面內(nèi)時(shí)，可以有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)對(duì)于，當(dāng)三個(gè)公共點(diǎn)在同一直線上時(shí)，兩平面相交，故錯(cuò)3. 正方體 abcda b c d 中，e，f 分別是線段 c d，bc 的中點(diǎn)，則直線 a b 與直線 ef1 1 1 1 1 1的位置關(guān)系是_答案 相交解

11、析 直線 a b 與直線外一點(diǎn) e 確定的平面為 a bcd ，ef 平面 a bcd ，且兩直線不平1 1 1 1 1行，故兩直線相交4若兩條直線和一個(gè)平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是_答案 平行、異面或相交解析 當(dāng)平行、異面或相交時(shí)，均有兩條直線和一個(gè)平面相交成等角的情況出現(xiàn).5三個(gè)平面兩兩相交，則交線條數(shù)為_(kāi)答案 1 或 3課后作業(yè)一、 填空題1四個(gè)命題：(1) 空間三條直線兩兩平行，則三條直線可確定三個(gè)平面；(2) 空間三點(diǎn)可確定一個(gè)平面；(3) 空間一點(diǎn)和一條直線可確定一個(gè)平面；(4) a 與 b 兩點(diǎn)到直線 l 距離相等，則直線 l 和 ab 確定一個(gè)平面其中正確命題的個(gè)數(shù)

12、為_(kāi)答案 0 個(gè)解析 (1)若三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)，則確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；高中數(shù)學(xué)3藝考生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義(2) 若三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上則不能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；(3) 空間上一點(diǎn)若在直線上，則不能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；(4) 若過(guò) a、b 兩點(diǎn)的直線與直線 l 異面正方體的棱與底面的對(duì)角線異面 a、b 兩點(diǎn)為兩頂點(diǎn))， 不能確定一個(gè)平面2給定四個(gè)命題：(1)一平面的面積可以等于 100cm ；(2)平面是矩形或平行四邊形形狀；(3)鋪得很平的一張白紙是一個(gè)平面；(4)20 個(gè)平面重合在一起比一個(gè)平面厚 20 倍，其中正確的 有_答案 0解析 根據(jù)平面的概念知，四個(gè)命題都不正確3對(duì)于空間

13、中的兩條直線，“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的 _條件答案 充分不必要解析 兩條直線為異面直線這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，反之，當(dāng)兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)， 未必是異面直線，“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的充分不必要 條件4已知異面直線 a，b 分別在平面 ， 內(nèi)，且 c，那么直線 c 一定_(填序號(hào)) 與 a，b 都相交2 只能與 a，b 中的一條相交3 至少與 a，b 中的一條相交4 與 a，b 都平行答案 解析 若 c 與 a，b 都不相交，則 c 與 a，b 都平行，則 ab 與 a，b 異面相矛盾5若 l ，l ，l 是空間三條不同的直線，則下列命題正確

14、的是_(填序號(hào))1 2 3l l ，l l l l1 2 2 3 1 3l l ，l l l l1 2 2 3 1 3l l l l ，l ，l 共面1 2 3 1 2 3l ，l ，l 共點(diǎn)l ，l ，l 共面1 2 3 1 2 3答案 解析 當(dāng) l l ，l l 時(shí)，l 與 l 也可能相交或異面，故不正確；l l ，l l l l ， 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3故正確；當(dāng) l l l 時(shí)，l ，l ，l 未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故不正確；l ，l ，1 2 3 1 2 3 1 2l 共點(diǎn)時(shí)，l ，l ，l 未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故不正確3 1

15、 2 36設(shè) p 表示一個(gè)點(diǎn)，a，b 表示兩條直線， 表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中 正確的命題是_(填序號(hào))pa，pa； abp，ba；高中數(shù)學(xué)藝考生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義ab，a，pb，pb； b，p，ppb. 答案 解析 當(dāng) ap 時(shí)，pa，p，但 a，錯(cuò)；ap 時(shí)，錯(cuò)； 如圖，ab，pb，pa.由直線 a 與點(diǎn) p 確定唯一平面 .又 ab，由 a 與 b 確定唯一平面 ，但 經(jīng)過(guò)直線 a 與點(diǎn) p， 與 重合，b，故正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故正確7若兩個(gè)平面互相平行，則分別在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線_答案 平行或異面解析 兩平行平面內(nèi)的直線可能平行，也可能異面，就是不可能相

16、交8一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示，a、b、c、d 為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來(lái)的正方體中 _(填序號(hào))abcdab 與 cd 相交 abcdab 與 cd 所成的角為 60答案 解析 如圖，把展開(kāi)圖中的各正方形按圖(a)所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、 上、下面還原，得到圖(b)所示的直觀圖，可見(jiàn)選項(xiàng)、不正確正確選項(xiàng)為圖 (b)中，deab，cde 為 ab 與 cd 所成的角，cde 為等邊三角形，cde609如圖，在正方體 abcda b c d 中，m、n 分別為棱 c d 、c c 的中點(diǎn)，有以下四個(gè)1 1 1 1 1 1 1結(jié)論：直線 am 與 cc 是相交直線； 直線 am

17、與 bn 是平行直線；1直線 bn 與 mb 是異面直線； 直線 am 與 dd 是異面直線1 1高中數(shù)學(xué)2222222 22藝考生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義其中正確的結(jié)論為_(kāi)(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)答案 解析 直線 am 與 cc 是異面直線，直線 am 與 bn 也是異面直線，故錯(cuò)誤110如圖，在正方體abcda b c d 中，m、n 分別是棱 cd、cc 的中點(diǎn)，則異面直線 a m1 1 1 1 1 1與 dn 所成的角的大小是_答案 90解析 如圖所示，取 cn 的中點(diǎn) k，連接 mk，則 mk 為cdn 的中位線，所以 mkdn.所以a mk 為異面直線 a m 與 dn 所成

18、的角(或其補(bǔ)角)連接 a c ，am.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 1 1 1 14，則 a k (4 2)131 1 41 ，mk dn 42 222 5，a m 41426，故 a m mk a k ，即a mk90.1 1 111如圖所示，abcda b c d 是長(zhǎng)方體，aa a，bab b a c 30，則 ab 與 a c1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1所成的角為_(kāi)，aa 與 b c 所成的角為_(kāi)1 1答案 30 45解析 aba b ，b a c 是 ab 與 a c 所成的角，ab 與 a c 所成的角為 30.1 1 1 1 1 1 1 1 1aa bb ，bb c 是 aa 與 b c 所成的角，1 1 1 1 1由已知條件可以得出 bb a，ab a c 2a，ab 3a，1 1 1 1b c bca.四邊形 bb c c 是正方形，bb c45.1 1 1 1 1高中數(shù)學(xué)藝考生高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義二、解答題12 直三棱柱 abca b c 中，若bac90，abacaa ，求異面直線 ba 與 ac1