大學(xué)物理：習(xí)題課9

1、彈性力,簡諧強(qiáng)迫力,阻尼力,其中,線性系統(tǒng)的求解-受迫振動(dòng),方程的通解可分解為下列兩個(gè)方程的通解與特解之和,方程的通解= 齊次方程的通解 + 方程的特解,受迫振動(dòng)的微分方程的求解問題就轉(zhuǎn)化為尋找方程的特解,猜測,代入方程,兩邊對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等,受迫振動(dòng)的微分方程的通解（小阻尼,第一項(xiàng)即阻尼振動(dòng)，隨時(shí)間衰減，故稱暫態(tài)解 第二項(xiàng)不隨時(shí)間衰減，稱為穩(wěn)態(tài)解,暫態(tài)解與穩(wěn)態(tài)解,從靜止開始的受迫振動(dòng),黑線代表強(qiáng)迫力，藍(lán)線代表從靜止開始的受迫振動(dòng),線性振子對力函數(shù)的響應(yīng),穩(wěn)定解,有時(shí)瞬態(tài)效應(yīng)重要,兩種力,階躍函數(shù),兩種力,脈沖函數(shù),對階躍函數(shù)的響應(yīng),初條件,通解,特解,通解（非齊次方程,弱阻尼情況,通解（非齊

2、次方程,初條件,對階躍函數(shù)的響應(yīng),舉例：垂直懸掛的彈簧振子,特解,對脈沖函數(shù)的響應(yīng),脈沖函數(shù)看成兩個(gè)相距時(shí)間為 的階躍函數(shù)的差,系統(tǒng)是線性的，通解由兩個(gè)階躍函數(shù)單獨(dú)的解疊加而成,格林函數(shù)方法,把任意力函數(shù)表示為一系列脈沖,第n個(gè)脈沖的解為,所有脈沖的解為（包括第N個(gè),定義,格林函數(shù),格林函數(shù)方法舉例,非線性物理-初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng),小驅(qū)動(dòng)力單擺,阻尼單擺方程為： 小驅(qū)動(dòng)力作用 作小幅度振動(dòng),小驅(qū)動(dòng)力單擺,小驅(qū)動(dòng)力單擺的相軌線方程 是橢圓方程。說明： 1. 在小驅(qū)動(dòng)力下單擺的相軌線是閉合橢圓曲線； 2. 驅(qū)動(dòng)頻率及阻尼力系數(shù)為定值時(shí)，橢圓的半徑驅(qū)動(dòng)力矩 F 增大而增大(即擺角在增大,小驅(qū)動(dòng)力單擺

3、,隨著驅(qū)動(dòng)力的增大，相軌線的半徑也增大，這就意味著擺角的增大，使得sin的小擺角近似已不再適用,相軌線的表達(dá)式將無法得到，此時(shí)相軌線只能根據(jù)單擺的運(yùn)動(dòng)方程，用數(shù)值計(jì)算來求得,數(shù)值計(jì)算結(jié)果,下面將給出當(dāng)1/4，v2/3為定值時(shí)，F(xiàn) 由小到大取一系列數(shù)值時(shí)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果,1. 附近出現(xiàn)對稱性破缺 a. 小擺角的對稱橢圓在 附近變?yōu)榈靶危f明這里發(fā)生了對稱性破缺； b. 蛋形的朝向與相角的取值有關(guān)； c. 這時(shí)單擺仍作單周期運(yùn)動(dòng),數(shù)值計(jì)算結(jié)果,數(shù)值計(jì)算結(jié)果,2 F = 1.093 附近做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)： a.當(dāng)驅(qū)動(dòng)力繼續(xù)上升時(shí),相軌線偏離閉合的單周期軌道，復(fù)雜化起來。 b.在F = 1.093時(shí)相圖上，相軌線雖在-p,p的單擺勢谷來回環(huán)繞，但始終無法達(dá)到周期重復(fù)狀態(tài),數(shù)值計(jì)算結(jié)果,3. F = 1.15 附近進(jìn)入混沌狀態(tài) a. 運(yùn)動(dòng)已擴(kuò)展到勢谷( )兩側(cè)的勢谷內(nèi)。 b. 運(yùn)動(dòng)會(huì)在一個(gè)勢谷內(nèi)繞上幾圈，然后隨機(jī)地進(jìn)入到相鄰的勢谷內(nèi)再繞上幾圈，往復(fù)不已,結(jié)論,綜上所述，受驅(qū)單擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有如下特點(diǎn)： (1) 在小驅(qū)動(dòng)力下，單擺作規(guī)則的周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩增加到某臨界值時(shí)，單擺從周期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入隨機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這種狀態(tài)常被稱為混沌。 (2) 混沌狀態(tài)并不是混亂一片。從相圖上看，相軌線的分布雖然彌散開