第三章-直線與方程知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、第三章 直線與方程知識(shí)點(diǎn)及典型例題1. 直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是01802. 直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即k=tana。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), =0, k = tan0=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), = 90, k 不存在.當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。xyoa1a2l1l2例.如右圖，直線l1的傾斜角a=30，直線l1l2，求直線l1和l2的斜率.解：k1=ta

2、n30= l1l2 k1k2 =1k2 =例：直線的傾斜角是( )A.120 B.150 C.60 D.30過(guò)兩點(diǎn)P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) 的直線的斜率公式： 注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90；(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。例.設(shè)直線 l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m，1)、B(3，4)，直線 l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，m)、D(1，m+1)， 當(dāng)(1) l1/ / l2 (2) l1l1時(shí)分別求出m的值三點(diǎn)共線的條件：如果所給三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的斜率

3、都有斜率且都相等，那么這三點(diǎn)共線。3. 直線方程點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過(guò)點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：y=kx+b，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn)(a，0)，與y軸交于點(diǎn)(0，b),即l與x軸、y軸的截距分別為a、b。注意：一條直線與兩條坐標(biāo)軸截距相等分兩種情況 兩個(gè)截距都不為0 或都為0 ； 但不可能一個(gè)為0，另一個(gè)不為0. 其方程可設(shè)為：或y=

4、kx. 一般式：Ax+By+C=0（A，B不全為0）注意：(1)在平時(shí)解題或高考解題時(shí)，所求出的直線方程，一般要求寫成斜截式或一般式。(2)各式的適用范圍 (3)特殊式的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； 例題：根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8，2)； .(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2)，平行于x軸； .(3)在軸和軸上的截距分別是； .(4)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(3，2)、P2(5，4)； .例1：直線的方程為Ax+By+C=0，若直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且位于第二、四象限，則（ ）AC=0，B0BC=0，B0，A0 CC=0，AB0例2：

5、直線的方程為AxByC=0，若A、B、C滿足AB.0且BC0，則l直線不經(jīng)的象限是（ ） A第一 B第二 C第三 D第四4. 兩直線平行與垂直 當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。5. 已知兩條直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1與B1及A2與B2都不同時(shí)為零)若兩直線相交，則它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的一組解。兩條直線的交角：兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個(gè)角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當(dāng)，則有.若方程組無(wú)解 ； 若方程組有無(wú)數(shù)解與重合6. 點(diǎn)的坐標(biāo)與直線方程的關(guān)系幾何元

6、素代數(shù)表示點(diǎn)P坐標(biāo)P(xo，yo) 直線l方程Ax+By+C=0點(diǎn)P(xo，yo)在直線l上坐標(biāo)滿足方程：Ax+By+C=0點(diǎn)P(xo，yo)是l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)(xo，yo)滿足方程組7. 兩條直線的位置關(guān)系的判定公式A1B2A2B10方程組有唯一解兩直線相交 或A1C2A2C1 0無(wú)解兩直線平行 或A1C2A2C1 = 0有無(wú)數(shù)個(gè)解兩直線重合兩條直線垂直的判定條件：當(dāng)A1、B1、A2、B2滿足 時(shí)l1l2。答：A1A2+B1B2=0經(jīng)典例題；例1.已知兩直線l1： x+(1+m) y =2m和l2：2mx+4y+16=0，m為何值時(shí)l1與l2相交平行解：例2. 已知兩直線l1：(3a+2

7、) x+(14a) y +8=0和l2：(5a2)x+(a+4)y7=0垂直，求a值解：例3.求兩條垂直直線l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)解：例4. 已知直線l的方程為，(1)求過(guò)點(diǎn)（2，3）且垂直于l的直線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)（2，3）且平行于l的直線方程。8. 兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則|AB|=9. 點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)P(xo，yo)到直線l：Ax+By+C=0的距離10. 兩平行直線距離公式例：已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，則l1

8、與l2的距離為例1：求平行線l1：3x+ 4y 12=0與l2： ax+8y+11=0之間的距離。例2：已知平行線l1：3x+2y 6=0與l2： 6x+4y3=0，求與它們距離相等的平行線方程。11. 直線系方程已知兩條直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1與B1及A2與B2都不同時(shí)為零)若兩直線相交，則過(guò)它們的交點(diǎn)直線方程可以表示為：l：A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2) =0或者l (A1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0都可以例1：直線l：(2m+1)x+(m+1)y7m4=0所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為 。(mR)例2：求滿足下列條件

9、的直線方程(1) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，3)及兩條直線l1： x+3y4=0和l2：5x+2y+1=0的交點(diǎn)Q；(2) 經(jīng)過(guò)兩條直線l1： 2x+y8=0和l2：x2y+1=0的交點(diǎn)且與直線4x3y7=0平行；(3) 經(jīng)過(guò)兩條直線l1： 2x3y+10=0和l2：3x+4y2=0的交點(diǎn)且與直線3x2y+4=0垂直；解：12. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，則線段的中點(diǎn)M坐標(biāo)為(，)例. 已知點(diǎn)A(7，4)、B(5,6),求線段AB的垂直平分線的方程。13、對(duì)稱問(wèn)題：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩條直線一定是平行直線，且這個(gè)點(diǎn)到兩直線的距離相等.關(guān)于某直線對(duì)稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線

10、平行，則對(duì)稱直線也平行，且兩直線到對(duì)稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對(duì)稱直線必過(guò)兩條直線的交點(diǎn)，且對(duì)稱直線為兩直線夾角的角平分線.點(diǎn)關(guān)于某一條直線對(duì)稱，用中點(diǎn)表示兩對(duì)稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在對(duì)稱直線上（方程），過(guò)兩對(duì)稱點(diǎn)的直線方程與對(duì)稱直線方程垂直（方程）可解得所求對(duì)稱點(diǎn).注：曲線、直線關(guān)于一直線對(duì)稱的解法：y換x，x換y. 例：曲線f(x ,y)=0關(guān)于直線y=x2對(duì)稱曲線方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲線C: f(x ,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a ,b)的對(duì)稱曲線方程是f(a x, 2b y)=0. 例1：已知直線l：2x3y+1=0和點(diǎn)P(1，2). (1) 分別求：點(diǎn)P(1，2)關(guān)于x軸、y軸

11、、直線y=x、原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)Q坐標(biāo)(2) 分別求：直線l：2x3y+1=0關(guān)于x軸、y軸、直線y=x、原點(diǎn)O的對(duì)稱的直線方程.(3) 求直線l關(guān)于點(diǎn)P(1，2)對(duì)稱的直線方程。(4) 求P(1，2)關(guān)于直線l軸對(duì)稱的直線方程。例2：點(diǎn)P(1，2)關(guān)于直線l： x+y2=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 。例3：已知圓C1：(x+1)2+(y1)2=1與圓C2關(guān)于直線xy1=0對(duì)稱，則圓C2的方程為： 。A. (x+2)2+(y2)2=1 B. (x2)2+(y+2)2=1 C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x2)2+(y2)2=1基礎(chǔ)訓(xùn)練A組一、選擇題1設(shè)直線的傾斜角為，且，則滿足（ ）ABCD

12、2過(guò)點(diǎn)且垂直于直線 的直線方程為（ ）A BC D3已知過(guò)點(diǎn)和的直線與直線平行，則的值為（）A B C D4已知，則直線通過(guò)（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D(zhuǎn)第二、三、四象限5直線的傾斜角和斜率分別是（ ）A B C，不存在 D，不存在6若方程表示一條直線，則實(shí)數(shù)滿足（ ）A B C D，二、填空題1點(diǎn) 到直線的距離是_.2已知直線若與關(guān)于軸對(duì)稱，則的方程為_(kāi);若與關(guān)于軸對(duì)稱，則的方程為_(kāi);若與關(guān)于對(duì)稱，則的方程為_(kāi);3 若原點(diǎn)在直線上的射影為，則的方程為_(kāi)。4點(diǎn)在直線上，則的最小值是_.5直線過(guò)原點(diǎn)且平分的面積，若平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)為，則直線的方程為_(kāi)。三、解答

13、題1已知直線， （1）系數(shù)為什么值時(shí)，方程表示通過(guò)原點(diǎn)的直線； （2）系數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí)與坐標(biāo)軸都相交； （3）系數(shù)滿足什么條件時(shí)只與x軸相交； （4）系數(shù)滿足什么條件時(shí)是x軸； （5）設(shè)為直線上一點(diǎn)，證明：這條直線的方程可以寫成2求經(jīng)過(guò)直線的交點(diǎn)且平行于直線的直線方程。3經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有幾條？請(qǐng)求出這些直線的方程。4過(guò)點(diǎn)作一直線，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為（數(shù)學(xué)2必修）第三章 直線與方程綜合訓(xùn)練B組一、選擇題1已知點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程是（ ）A B C D2若三點(diǎn)共線 則的值為（） 3直線在軸上的截距是（ ）ABCD4直線，當(dāng)變動(dòng)

14、時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn)（ ）A B C D5直線與的位置關(guān)系是（ ）A平行 B垂直 C斜交 D與的值有關(guān)6兩直線與平行，則它們之間的距離為（ ）A B C D 7已知點(diǎn)，若直線過(guò)點(diǎn)與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）A B C D 二、填空題1方程所表示的圖形的面積為_(kāi)。2與直線平行，并且距離等于的直線方程是_。3已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為 4將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的值是_。設(shè)，則直線恒過(guò)定點(diǎn) 三、解答題1求經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且和兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是的直線方程。2 一直線被兩直線截得線段的中點(diǎn)是點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別為，時(shí)，求此直線方程。3、把函數(shù)在及之間的一段圖象

15、近似地看作直線，設(shè)，證明：的近似值是：4直線和軸，軸分別交于點(diǎn)，在線段為邊在第一象限內(nèi)作等邊，如果在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)使得和的面積相等， 求的值。（數(shù)學(xué)2必修）第三章 直線與方程提高訓(xùn)練C組一、選擇題1如果直線沿軸負(fù)方向平移個(gè)單位再沿軸正方向平移個(gè)單位后，又回到原來(lái)的位置，那么直線的斜率是（ ）AB CD2若都在直線上，則用表示為（ ）A B C D 3直線與兩直線和分別交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ） A B C D 4中，點(diǎn),的中點(diǎn)為,重心為，則邊的長(zhǎng)為（ ）A B C D5下列說(shuō)法的正確的是（ ）A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直

16、線都可以用方程表示D經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示6若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和直線的距離相等，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）A B C D二、填空題1已知直線與關(guān)于直線對(duì)稱，直線，則的斜率是_.2直線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，若該直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得直線，則直線的方程是 3一直線過(guò)點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為，這條直線方程是_4若方程表示兩條直線，則的取值是 5當(dāng)時(shí)，兩條直線、的交點(diǎn)在 象限三、解答題1經(jīng)過(guò)點(diǎn)的所有直線中距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的直線方程是什么？2求經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線，且使，到它的距離相等的直線方程3已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。4求函數(shù)的最小值。第三章 直線和方程 答案 基礎(chǔ)訓(xùn)練A組一、選擇題

17、1.D 2.A 設(shè)又過(guò)點(diǎn)，則，即3.B 4.C 5.C 垂直于軸，傾斜角為，而斜率不存在6.C 不能同時(shí)為二、填空題1. 2. 3. 4. 可看成原點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方，垂直時(shí)最短：5. 平分平行四邊形的面積，則直線過(guò)的中點(diǎn)三、解答題1. 解：（1）把原點(diǎn)代入，得；（2）此時(shí)斜率存在且不為零即且；（3）此時(shí)斜率不存在，且不與軸重合，即且；（4）且（5）證明：在直線上 。2. 解：由，得，再設(shè)，則 為所求。3. 解：當(dāng)截距為時(shí)，設(shè)，過(guò)點(diǎn)，則得，即；當(dāng)截距不為時(shí)，設(shè)或過(guò)點(diǎn)，則得，或，即，或這樣的直線有條：，或。4. 解：設(shè)直線為交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)， 得，或 解得或 ，或?yàn)樗?。第三?直線和方程 綜合訓(xùn)練B組一、選擇題 1.B 線段的中點(diǎn)為垂直平分線的，2.A 3.B 令則4.C 由得對(duì)于任何都成立，則5.B 6.D 把變化為，則7.C 二、填空題1. 方程所表示的圖形是一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)為2.，或設(shè)直線為3. 的最小值為原點(diǎn)到直線的距離：4 點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則點(diǎn)與點(diǎn) 也關(guān)于對(duì)稱，則，得5. 變化為 對(duì)于任何都成立，則三、解答題1.解：設(shè)直線為交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)， 得，或 解得或 ，或?yàn)樗蟆?.解：由得兩直線交于，記為，則直線垂直于所求直線，即，或，或， 即，或?yàn)樗蟆?. 證