數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)

1、2.3 數(shù)學(xué)歸納法,我是一毛,我是二毛,我是三毛,我是誰,我不是四毛！我是小明,不完全歸納,猜：四毛,完全歸納,了解數(shù)學(xué)推理的常用方法（歸納法）. 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及使用范圍. 初步掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論. 會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的等式問題. （重點(diǎn)、難點(diǎn),探究點(diǎn) 數(shù)學(xué)歸納法的原理與定義,問題1:口袋中有4個(gè)吃的東西，如何證明它們都是糖,把研究對(duì)象一一都考察到，而推出結(jié)論的歸納法,完全歸納法,1）求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜想,2）你的猜想一定是正確的嗎,猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為,解,不完全歸納法,從一類對(duì)象中的部分對(duì) 象都具有某種性質(zhì)推出 這類對(duì)象全體都具有這 種性質(zhì)的

2、歸納推理方法,驗(yàn)證,逐一驗(yàn)證，不可能,能否通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立,數(shù)學(xué)歸納法與多米諾骨牌有怎樣的相似之處呢,多米諾骨牌,數(shù)學(xué)歸納法的第一步：先證明n取第一個(gè)值時(shí)命題成立. 相當(dāng)于多米諾骨牌開始倒的第一張. 數(shù)學(xué)歸納法的第二步：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立， 并證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 相當(dāng)于多米諾骨牌第k張倒后第k+1張是否也會(huì)跟著倒,1.第幾塊骨牌，數(shù)列第幾項(xiàng)都是與正整數(shù)有關(guān)的問題,2.共同點(diǎn)是任意前一個(gè)的情況都可以推出后一個(gè)的情況,多米諾骨牌與我們要解決的問題2有相似性嗎？相似性體現(xiàn)在哪些方面呢,上述2，事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第k塊倒下，則相鄰的第

3、k+1塊也倒下,你能類比多米諾骨牌游戲牌全倒條件，證明上述問題2猜想的結(jié)論嗎,猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為,證明,1)當(dāng),猜想成立,2,那么,當(dāng),根據(jù)(1)和(2)，猜想對(duì)于任何 都成立,一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行,1.（歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立,2.（歸納遞推）假設(shè)當(dāng)n=k(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立,只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立,這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,若n = k ( k n0) 時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立,驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立,命題對(duì)從n0開始所有的

4、正整數(shù)n 都成立,歸納奠基,歸納遞推,數(shù)學(xué)歸納法,兩個(gè)步驟 一個(gè)結(jié)論 缺一不可,已知三角形內(nèi)角和為180，四邊形的內(nèi)角和為 360，五邊形的內(nèi)角和為540，于是有：凸n邊 形的內(nèi)角和為(n-2)180，若用數(shù)學(xué)歸納法證 明，第一步驗(yàn)證n取第一個(gè)正整數(shù)時(shí)命題成立，則 第一個(gè)正整數(shù)取值為_,3,即時(shí)訓(xùn)練,例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明,1）當(dāng)n=1時(shí),左邊=12=1,等式成立,2)假設(shè)當(dāng)n=k( )時(shí)等式成立,即,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)時(shí)，在證明n=k+1時(shí)：左邊代數(shù)式 為 ， 共有 項(xiàng)，從k到k+

5、1左邊需要增乘的代 數(shù)式為_,k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1,k+1,變式練習(xí),即n=k+1時(shí)等式成立. 所以等式對(duì)一切自然數(shù) 均成立,總結(jié)提升,證明：假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即,那么,上述證法是正確的嗎？為什么,結(jié)論1：第一步是遞推的基礎(chǔ)，缺少了第一步就失去了保證，不要誤認(rèn)為第一步是一個(gè)簡(jiǎn)單的驗(yàn)證，可有可無,結(jié)論2：在第二步中,證明n=k+1命題成立時(shí),必須用到n=k命題成立這一歸納假設(shè),否則就打破數(shù)學(xué)歸納法步驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系,造成推理無效,計(jì)算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,解,可以看到，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)

6、n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1,于是可以猜想,下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想,1)當(dāng)n=1時(shí),猜想成立,2)假設(shè)n=k 時(shí),猜想成立，即,那么,所以，當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立,2)假設(shè)n=k(kN*)時(shí)原等式成立 ，即,此時(shí)，原等式成立,變式練習(xí),那么n=k+1時(shí),這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立,由 (1)(2)知,對(duì)一切正整數(shù)n,原等式均正確,例3 求證:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1,證明： 【解題關(guān)鍵】第一步驗(yàn)證n取第一個(gè)正整數(shù)1時(shí)等式成立，第二步假定n=k(kN*)時(shí)命題成立，再推證n=k+1時(shí)成立,變式練習(xí),證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊= 右

7、邊= 左邊=右邊，所以等式成立,2)假設(shè)n=k(k1)時(shí)等式成立，即有 所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立 由(1)、(2)可知，對(duì)一切nN*等式都成立,1.(2015南陽高二檢測(cè))命題P(n)滿足：若n=k(kN*)成立，則n=k+1成立，下面說法正確的是() A.P(6)成立則P(5)成立 B.P(6)成立則P(4)成立 C.P(4)成立則P(6)成立 D.對(duì)所有正整數(shù)n，P(n)都成立,解析】選C.由題意知，P(4)成立，則P(5)成立，若P(5)成立，則P(6)成立，所以P(4)成立，則P(6)成立,C,2.下面四個(gè)判斷中，正確的是() A.式子1+k+k2+kn(nN*)中，當(dāng)n=1時(shí)，

8、式子的值為1 B.式子1+k+k2+kn-1(nN*)中，當(dāng)n=1時(shí)，式子的值為1+k C.式子 (nN*)中，當(dāng)n=1時(shí)，式子的值為 D.設(shè)f(x)= (nN*)，則f(k+1)=f(k),C,3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+2n+1=2n+2-1(nN*) 的過程中，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為 () A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23,C,點(diǎn)撥:對(duì)這種類型的題目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系數(shù),然后用數(shù)學(xué)歸納法證明它對(duì)一切正整數(shù)n都成立,2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確,即,1)當(dāng)n=1時(shí),由上面解法知結(jié)論正確,則當(dāng)n=k+1時(shí),故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也正確,根據(jù)(1)、(2)知,對(duì)一切正整數(shù)n,結(jié)論正確,數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟,若