函數(shù)極值及規(guī)劃問題解讀

1、第五章函數(shù)極值MATLAB提供了很多求極 （或最 ）的命令函數(shù)，既可以求無條件的極 ，也可求有條件的極 ，其中，條件可以是不等式，也可以是等式的，可以是 性的，也可以是非 性的，甚至可以是多個條件， 目 函數(shù)可以是 性的， 也可以是非 性的， 之，MA TLAB 不同的 型，采用不同的函數(shù)命令去求解，以下將分 型來做些 的介 。5.1 性極 （又稱 性 劃）5.1.1 性 劃模型 劃 研究的 象大體可以分 兩大 ：一 是在 有的人、 、物等 源的條件下，研究如何合理的 劃、安排，可使得某一目 達到最大，如 量、利 目 等；另一 是在任 確定后，如何 劃、安排，使用最低限度的人、 等 源，去 任

2、 ，如使成本、 用最小等。 兩 從本 上 是相同的，即都在一 束條件下，去 某一個目 的最 （最大或最小） 。 性 劃研究的 要求目 與 束條件函數(shù)都是 性的，而目 函數(shù)只能是一個。在 管理 中，大量 是 性的，有的也可以 化 性的，從而使 性 劃有極大的 用價 。 性 劃模型包含3 個要素：（ 1）決策 量 . 中需要求解的那些未知量，一般用 n 向量 x( x1 , x2 , xn ) T表示。（ 2）目 函數(shù) . 通常是 需要 化的那個目 的數(shù)學表達式，它是決策 量x 的 性函數(shù)。（ 3） 束條件 . 決策 量的限制條件，即x 的允 取 范 ，它通常是x 的一 性不等式或 性等式。 性

3、劃 的數(shù)學模型一般可表示 ：min （ max） f T Xs.t A XbAeq X =beqlb Xub其中 X 為 n 未知向量， fT=f 1,f 2, fn 目 函數(shù)系數(shù)向量，小于等于 束系數(shù)矩陣 A 為 m n 矩 ， b 其右端 m 列向量， Aeq 等式 束系數(shù)矩 ，beq 等式 束右端常數(shù)列向量。 lb,ub 自 量取 上界與下界 束的n 常數(shù)向量。特 注意： 當我 用 MA TLAB 件作 化 ， 所有求 maxf 的 化 求 min(-f )來作。 束 g i (x) 0，化 g i 0來做。5.1.2 性 劃 求最 解函數(shù)： 用格式：x=linprog(f,A,b)x=

4、linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)x,fval=linprog( )x, fval, exitflag=linprog( )x, fval, exitflag, output=linprog( )x, fval, exitflag, output, lambda=linprog( ) 明： x=linprog(f,A,b)返回 x 最 解向量。x=linprog(f,A,b,Ae

5、q,beq)作有等式 束的 。若沒有不等式 束， 令x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)中 lb ,ub 量 x 的下界和上界，A= 、b= 。x0 初 點，options 指定 化參數(shù) 行最小化。x,fval=linprog( )左端fval返回解x 的目 函數(shù) 。x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0)的 出部分：exitflag描述函數(shù) 算的退出條件：若 正 ， 表示目 函數(shù)收 于解x ；若 ，表示目 函數(shù)不收 ；若 零 ， 表示已 達到函數(shù) 價或迭代的最大次

6、數(shù)。Output 關(guān)于 化的一些信息。Lambda 解 x 的 Lagrange 乘子?！纠?.1】求解 性 劃 ：max f=2x 1+5x 2x14x23x12x28s.tx10 x2 0先將目 函數(shù) 化成最小 ：min(-f)=- 2x 1 -5x2具體程序如下：f=-2 -5;A=1 0;0 1;1 2;b=4;3;8;lb=0 0;x,fval=linprog(f,A,b,lb)f=fval*(-1)運行 果：x =23fval = -19.0000maxf =19【例 5.2】： minf=5x 1-x2+2x 3+3x 4-8x 5s.t2x1+x2 -x3+x 4-3x5 62

7、x1+x 2-x3+4x4+x 5 70 xj15 j=1,2,3,4,5編寫以下程序：f=5 -1 2 3 -8;A=-2 1 -1 1 -3;2 1 -1 4 1;b=6;7;lb=0 0 0 0 0;ub=15 15 15 15 15;x,fval=linprog(f,A,b,lb,ub)運行結(jié)果： x =0.00000.00008.00000.000015.0000minf =-104【例 5.3】：假設(shè)某廠計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品， 現(xiàn)庫存主要材料有A 類 3600 公斤，B 類 2000公斤， C 類 3000 公斤。每件甲產(chǎn)品需用材料A 類 9 公斤， B 類 4 公斤， C 類

8、3 公斤。每件乙產(chǎn)品，需用材料A 類 4 公斤， B 類 5 公斤， C 類 10 公斤。甲單位產(chǎn)品的利潤70 元，乙單位產(chǎn)品的利潤120 元。問如何安排生產(chǎn)，才能使該廠所獲的利潤最大。建立數(shù)學模型：設(shè) x1、 x2 分別為生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的件數(shù)。f 為該廠所獲總潤。max f=70x 1+120x 2s.t 9x1+4x2 36004x1+5x2 20003x1+10x2 3000x1,x 2 0將其轉(zhuǎn)換為標準形式：min f=-70x 1-120x 2s.t9x1+4x2 36004x1+5x2 20003x1+10x2 3000x1,x2 0編寫以下程序：f=-70 -120;A=9 4

9、;4 5;3 10 ;b=3600;2000;3000;lb=0 0;x,fval,exitflag=linprog(f,A,b,lb);x, exitflag,maxf=-fval運行結(jié)果：x =200.0000240.0000exitflag =1maxf =4.2800e+004【例 5.4】：某公司有一批資金用于4 個工程項目的投資，其投資各項目時所得的凈收益(投入資金百分比 )如下表：工程項目收益表工程項目ABCD收益 (%)1510812由于某種原因，決定用于項目A 的投資不大于其他各項投資之和而用于項目B 和 C 的投資要大于項目D 的投資。試確定該公司收益最大的投資分配方案。建

10、立數(shù)學模型：設(shè) x1、 x2 、 x3 、 x4 分別代表用于項目A 、 B、 C、 D 的投資百分數(shù)。max f=0.15x 1+0.1x 2+0.08 x 3+0.12 x 4s.tx1-x2- x 3- x4 0x2+ x 3- x4 0x1+x 2+x 3+ x 4=1xj 0 j=1,2,3,4將其轉(zhuǎn)換為標準形式：minz=-0.15x 1-0.1x 2-0.08 x 3-0.12 x 4s.tx1-x2- x3 - x4 0- x2- x3+ x 4 0x1+x 2+x 3+ x 4=1xj 0 j=1,2,3,4編寫程序：f = -0.15;-0.1;-0.08;-0.12;A

11、=1 -1 -1 -1;0 -1 -1 1;b = 0; 0;Aeq=1 1 1 1;beq=1;lb = zeros(4,1);x,fval,exitflag = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)fmax=-fval運行結(jié)果：x =0.50000.25000.00000.2500fval =-0.1300exitflag =1fmax =0.1300即 4 個項目的投資百分數(shù)分別為 50%，25%，0, 25%時可使該公司獲得最大的收益，其最大收益可到達 13%。過程正常收斂?！纠?5.5】：有 A 、 B、 C 三個食品加工廠，負責供給甲、乙、丙、丁四個市場。三個廠每天生

12、產(chǎn)食品箱數(shù)上限如下表：工廠ABC生產(chǎn)數(shù)604050四個市場每天的需求量如下表：市場甲乙丙丁需求量20353334從各廠運到各市場的運輸費(元 /每箱 )由下表給出：發(fā)收點市場點甲乙丙丁工A2132廠B1321C3411求在基本滿足供需平衡的約束條件下使總運輸費用最小。建立數(shù)學模型：設(shè) ai j 為由工廠i 運到市場j 的費用， xi j 是由工廠 i 運到市場j 的箱數(shù)。 bi 是工廠 i 的產(chǎn)量， dj 是市場 j 的需求量。2132x11x12x13x14A1 3 21Xx21x22x23x243411x31x32x33x34b= ( 60 40 50 )d= ( 20 35 33 34

13、)34min faij xiji 1j 14xijbii1, 2, 3s.tj 13xijd jj 1, 2, 3, 4i 1x i j 0編寫程序：AA=2 1 3 2;1 3 2 1;3 4 1 1;f=AA(:);A= 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1;Aeq=1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1;b=60;40;50;beq=20;35

14、;33;34;lb=zeros(12,1);x,fval,exitflag=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)運行結(jié)果：x =0.000020.00000.000035.00000.00000.00000.00000.000033.00000.000018.468215.5318fval =122.0000exitflag =1即運 方案 ：甲市 的 由B 廠送 20 箱；乙市 的 由A 廠送 35 箱；丙商 的 由 C 廠送 33 箱；丁市 的 由 B 廠送 18 箱，再由 C 廠送 16 箱。最低 運 ： 122 元。5.20-1 整數(shù) 劃求極 形如：min f T Xs.

15、t A X bAeq X =beqxi 為 0 或 1其中 X 為 n 未知向量， f T=f 1,f 2, fn 目 函數(shù)系數(shù)向量，小于等于 束系數(shù)矩 A為 m n 矩 ， b 其右端 m 列向量， Aeq 等式 束系數(shù)矩 ，beq 等式 束右端常數(shù)列向量。 lb,ub 自 量取 上界與下界 束的n 常數(shù)向量。5.2.1 分支定界法在 Matlab 中提供了 bintprog 函數(shù) 0-1 型 性 劃， 采用的是分支定界法原理， 其 用格式如下：x=bintprog(f,A,b)x=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)x,fval=bintprog( )x, fval, exitf

16、lag=bintprog( )x, fval, exitflag, output=bintprog( )x, fval, exitflag, output, lambda=bintprog( ) 明：x=bintprog(f,A,b)返回 x 最 解向量。x=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)作有等式 束的 。若沒有不等式 束， 令A= 、b= 。x,fval=bintprog( )左端fval返回解x 的目 函數(shù) ?！纠?.6】求解以下 ：max z=x1+1.2x2+0.8x3st2.1x1+2x2+1.3x3=50.8x1+x2=5x1+2.5x2+2x3=82x2=8x1,

17、x2,x3 為 0 或 1解答 :首先，將其改變成0-1 整數(shù)規(guī)劃函數(shù)bintprog 要求的標準形式：min z=-x1-1.2x2-0.8x3st2.1x1+2x2+1.3x3=50.8x1+x2=5x1+2.5x2+2x3=82x2=8x1,x2,x3 為 0 或 1Matlab 求解：c=-1,-1.2,-0.8;A=2.1,2,1.3;0.8,1,0;1,2.5,2;0,2,0;b=5;5;8;8;x,fval=bintprog(c,A,b);xfmax=-fval運行結(jié)果可得：x=110fmax =2.2000【例 5.7】某快餐連鎖經(jīng)營公司有7 個地點（ A1 ， A2 ， -，

18、 A7 ）可以設(shè)立快餐店，由于地理位置因素，設(shè)立快餐店時必須滿足以下要求：A1 ， A2 ， A3 三個地點最多可選兩個，A1和 A5 至少選取一個， A6 和 A7 至少選取一個。 已知各個地點設(shè)立快餐店的投入和預計收益如表所示。已知目前公司有 650 萬元可以投資。問怎樣投資才能使公司預計收益最高？地點A1A2A3A4A5A6A7利潤 /萬元101181215125投資 /萬元1031409515019316080解：這是一個選址問題。首先引入0-1 變量 xi;xi=1, 選擇 Ai 地址； xi=0, 不選擇 Ai 地址。則該問題的數(shù)學模型可以表示如下：max z=10x1+11x2+

19、8x3+12x4+15x5+12x6+5x7st(1)103x1+140x2+95x3+150x4+193x5+160x6+80x7=650(2)x1+x2+x3=1(4)x6+x7=1(5)xi=0,1matlab 求解程序如下：c=-10 -11 -8 -12 -15 -12 -5;A=103 140 95 150 193 160 80;1 1 1 0 0 0 0;0 0 0 -1 -1 0 0;0 0 0 0 0 -1 -1;b=650;2;-1;-1;x,fval=bintprog(c,A,b);xf=fval*(-1)運行程序得： x=1;1;0;1;0;1;1,fval=505.2

20、.2枚舉法除了采用分支定界法原理計算0-1整數(shù)規(guī)劃外，還可以采用枚舉法枚舉法程序 bintLp_E.mfunction x,f=bintLp_E(c,A,b,N)%x,f=bintLp_E(c,A,b,N):用枚舉法求解下列0-1 線性規(guī)劃%min f=c*x,s.t.A*x=b,x的分量全為 0 或 1%其中 N表示約束條件A*x=b 中的前 N個是等式， N=0 時可以省略%返回結(jié)果 x 是最優(yōu)解， f 是最優(yōu)解處的函數(shù)值if nargin4N=0;endc=c(:);b=b(:);m,n=size(A);x=;f=abs(c)*ones(n,1);i=1;while i0);t1=t11

21、;t12;if isempty(t1)f=min(f,c*B);if c*B=fx=B;endendi=i+1;end注意：以上程序需保存至搜索路徑之下才可以調(diào)用?！纠?5.8 】 求解下列 0-1 型整數(shù)線性規(guī)劃。max f3x12x25x3x12x2x32x14x2x34s.t.x1x234 x2x36x1 , x2 , x3 為0或1解：分別采用二種算法計算如下：c=3 -2 5;a=1 2 -1;1 4 -1 ;1 1 0;0 4 1;b=2;4;3;6;x,fval=bintprog(c,a,b)xx,ffval=bintLp_E(c,a,b)計算結(jié)果如下：x =010fval =-

22、2xx =010ffval =-2【例 5.9】某公司有 A1,A2,A3 三項業(yè)務(wù)需要 B1,B2,B3 三位業(yè)務(wù)員處理 ,每個業(yè)務(wù)員處理業(yè)務(wù)的費用如表所示 ,其中業(yè)務(wù)員 B2 不能處理業(yè)務(wù) A1, 問應(yīng)指派何人去完成何項業(yè)務(wù) ,使所需總費用最少 ?B1B2B3A11500不能處理800A21200900750A3900800900解: 設(shè) xij 表示第 i 項業(yè)務(wù)被第j 位業(yè)務(wù)員處理，其中不能處理時可以認為費用非常高，比如999999 元，則依題意可得如下模型：min z=1500x11+999999x12+800x13+1200x21+900x22+750x23+900x31+800x

23、32+900x33stx11+x12+x13=1x21+x22+x23=1x31+x32+x33=1x11+x21+x31=1x12+x22+x32=1x13+x23+x33=1xij=0,1編寫 matlab 程序：c=1500 999999 800 1200 900 750 900 800 900;Aeq=1 1 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 1 1 1 0 00;0 0 0 0 0 0 1 11;1 0 0 1 0 0 1 00;0 1 0 0 1 0 0 10;0 0 1 0 0 1 0 01;beq=ones(6,1);x,fval=bintprog(c,Aeq,beq)x

24、x,ffval=bintLp_E(c,Aeq,beq,6)運行程序可得：x=xx=0 0 1 0 1 0 1 0 0;fval=ffval=2600答案 :A1 被 B3 處理， A2 被 B2 處理， A3 被 B1 處理時總費用最少,只需 2600 元 .5.3 整數(shù)規(guī)劃求極值MATLAB關(guān)于整數(shù)規(guī)劃沒有內(nèi)帶的函數(shù)，目前關(guān)于整數(shù)規(guī)劃的自編程序已編好，以下是其中之一：functionx,val,status=ip(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,e)options=optimset(display, off); bound=inf;x0,val0=linprog(f,A,b,Ae

25、q,beq,lb,ub,options);x,val,status,b=rec(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,val0,M,e,bound);functionxx,val,status,bb=rec(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x,v,M,e,bound)options=optimset(display, off);x0,val0,status0=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options);ifstatus0boundxx=x;val=v;status=status0;bb=bound;return;endind=find(abs(x0

26、(M)-round(x0(M)e);ifisempty(ind)status=1;ifval0br_valuebr_var=tempbr_var;br_value=tempbr_value;endendifisempty(A)r c=size(Aeq);elser c=size(A);endA1=A;zeros(1,c);A1(end,br_var)=1;b1=b;floor(br_value);A2=A;zeros(1,c);A2(end,br_var)=-1;b2=b;-ceil(br_value);x1,val1,status1,bound1=rec(f,A1,b1,Aeq,beq,lb

27、,ub,x0,val0,M,e,bound);status=status1;ifstatus10&bound10&bound2boundstatus=status2;xx=x2;val=val2;bb=bound2;end注意：請先將以上程序保存至搜索路徑之下，函數(shù)名為ip.m函數(shù)調(diào)用規(guī)則如下：x,val,status=ip(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,e)該函數(shù)求解如下整數(shù)規(guī)劃問題：Min c*xSubject toA*x=bAeq*x=beqLb=x=ubM 是存放整數(shù)變量編號的向量e 是整數(shù)取值的容忍度，當一個變量同其取值之間差值小于e 時，該變量被認為是已經(jīng)為整數(shù)。一般

28、e=5.96e-08;該函數(shù)返回變量如下：X: 整數(shù)規(guī)劃的解Val;目標函數(shù)最優(yōu)值Status=1如果成功=0如果迭代到線性規(guī)劃的最大迭代次數(shù)=-1如果沒有解【例 5.10】求解滿足以下條件的極值：max z=20x1+10x2st5x1+4x2=242x1+5x2=0x1,x2 取整數(shù)分析：由于函數(shù)是求極小值，故先變換成求負的最小值，然后變成正的最大值。具體如下：c=-20,-10;A=5 4;2 5;b=24;13;lb=0 0;M=1 2;e=5.96e-08;x,val,status=ip(c,A,b,lb,M,e);x,maxf=-val,status計算結(jié)果如下：x =41maxf

29、 =90.0000status =1【例5.11】現(xiàn)有一個容積為36 立方米 ,最大載重40 噸的集裝箱,需裝入兩種產(chǎn)品.產(chǎn)品甲為箱式包裝,每箱體積0.3 立方米 ,重0.7 噸 ,每箱價值1.5 萬元 ;產(chǎn)品乙為袋式包裝,每袋體積為0.5立方米,重0.2 噸 ,每袋價值1 萬元 .問箱子應(yīng)當裝入多少產(chǎn)品甲(不可拆開包裝)以及多少產(chǎn)品乙( 可以拆開包裝)才能使集裝箱載貨價值最大?模型求解：假設(shè)應(yīng)裝入x1箱甲產(chǎn)品，x2袋乙產(chǎn)品，則問題變成如下數(shù)學模型：max z=1.5x1+x2st0.3x1+0.5x2=360.7x1+0.2x2=0x1 取整數(shù)編程如下：c=-1.5,-1;A=0.3 0.5

30、;0.7 0.2;b=36;40;lb=0 0;M=1;e=5.96e-08;x,val,status=ip(c,A,b,lb,M,e);x,fmax=-val,status計算結(jié)果為：x =44.000045.6000fmax =111.6000status =15.4 非線性函數(shù)求極值（非線性規(guī)劃）非線性規(guī)劃與線性規(guī)劃的區(qū)別是：其目標函數(shù)與約束條件至少有一處是非線性的。非線性規(guī)劃問題可分為無約束問題和有約束問題。5.4.1無約束非線性規(guī)劃問題：1有界單變量優(yōu)化函數(shù)fminbnd調(diào)用格式：x,val=fminbnd(f,x1,x2),其中f 是用來求極值的函數(shù)，可以是函數(shù)名，也可以是函數(shù)表達

31、式，意思是求函數(shù)f 在區(qū)間x1,x2 上的極小值（不是最小值）?！纠?5.12】 求函數(shù) y( x 2為了能更方便的找出極值點，先用1) 31 的極值plot 函數(shù)畫出該函數(shù)的曲線圖，輸入如下命令：x=-2:0.1:2;f=(x.2-1).3+1;plot(x,f)302520151050-1.5-1-0.500.511.52-2圖 5.1從圖中可以看出函數(shù)有極小值.輸入如下命令：f1=(x.2-1).3+1; x,val=fminbnd(f1,-2,2)回車后可得： x = 4.4409e-016 ； val =0 ，即可知極小值為 f(0)=0 【例 5.13】 求解 f(x)=x2-2x

32、-1 的極值解答：先作圖：x=-1:0.1:3;f=x.2-2*x-1;plot(x,f)21.510.50-0.5-1-1.5-2-0.500.511.522.53-1圖 5.2從 中可以看出函數(shù)有極小 . 入如下命令：f1= x.2-2*x-1; x,val=fminbnd(f1,-1,3)回 后可得： x =1 ；val =-2 ，即可知極小 f(1)=-22求解多元無 束最 化 函數(shù) fminunc 用格式：x=fminunc(fun,x0)x=fminunc(fun,x0,options)x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2)x,fval=fminunc( )

33、x,fval, exitflag=fminunc( )x,fval, exitflag,output=fminunc( )x,fval, exitflag,output,grad=fminunc( )x,fval, exitflag,output,grad,hessian=fminunc( ) 明： fun 需最小化的目 函數(shù)，x0 定的搜索的初始點。options 指定 化參數(shù)。返回的 x 最 解向量； fval 為 x 的目 函數(shù) ； exitflag 描述函數(shù)的 出條件； output返回 化信息； grad 返回目 函數(shù)在x 的梯度。 Hessian 返回在 x 目 函數(shù)的 Hessi

34、an矩 信息?！纠?5.14】 ： 求min f 8 x 4 y x 23 y 2通 確定一個初始點：x,y=meshgrid(-10:0.5:10);z= 8*x-4*y +x.2+3*y.2;surf(x,y,z)圖 5.3選初始點： x0=(0,0)x0=0,0;編輯 ff1.m 文件function f=ff1(x)f=8*x(1)-4*x(2) +x(1)2+3*x(2)2;程序調(diào)用 :x0=0,0; x,fval,exitflag=fminunc(ff1,x0)結(jié)果： x =-4.00000.6667fval =-17.3333exitflag =1【例 5.15】： min f4

35、 x 25 xy2 y 2解：通過繪圖確定一個初始點：x,y=meshgrid(-10:0.5:10);z= 4*x.2+5*x.*y +2*y.2;surf(x,y,z)120010008001060054000200-501050-5-10-10圖 5.4選初始點： x0=(0,0)x0=0,0;編輯 ff2.m 文件function f=ff2(x)f=4*x(1).2+5*x(1).*x(2) +2*x(2).2;程序調(diào)用 :x0=0,0; x,fval,exitflag=fminunc(ff2,x0)結(jié)果： x = 0 0fval =0exitflag =1【例 5.16】：計算 z

36、 x 3y33x 23 y29 x 的極值解： 1)求極小值編寫目標函數(shù) :function f=li5_16(x)f=x(1)3-x(2)3+3*x(1)2+3*x(2)2-9*x(1);主程序窗口調(diào)用：x0=0 0;x,fval, exitflag=fminunc(li5_16 ,x0)計算結(jié)果：x =1.0000-0.0000fval =-5exitflag =1即 f(1,0)=-5 為極小值。2）求極大值：可以變成求目標函數(shù)負的極小值，然后反號即可求出極大值。 寫目 函數(shù) :function f=li5_161(x)f=-x(1)3+x(2)3-3*x(1)2-3*x(2)2+9*x

37、(1);主程序窗口 用：x0=-1 1;x,fval, exitflag=fminunc(li5_161 ,x0),maxf=-fval 算 果：x =-3.00002.0000fval =-31.0000exitflag =1maxf =31.0000即 f(-3,2)=31 極大 。5.4.2 有 束非 性 劃 ：數(shù)學模型：min f ( x)s.t.AxbAeq. xbeqC( x)0Ceq( x)0lbxub線 性不等式約 束線性 等式 約束非線性不等 式約 束非 線性等式約 束有 界約 束 用格式:x=fmincon(f,x0,A,b)x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,b

38、eq)x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x,fval=fmincon( )x, fval, exitflag=fmincon( )x, fval, exitflag, output=fmincon( )x, fval, exitflag, output, lambda=fmincon( )A,b 明： x=fmincon(f,x0,A,b)返回 x 最 解向量。其中：f 目 函數(shù)， 不

39、等式 束的系數(shù)矩 和右端列向量。x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq)作有等式 束的 。若沒有不等式 束， 令x0 初始點。A= 、b= 。x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon ,options)中 lb ,ub 量x 的下界和上界；options 指定 化參數(shù) 行最小化。lambda是lagrange乘子，它體 哪個 束有效。nonlcon=fun, 由 M 文件 fun.m 定非 性不等式 束c (x) 0 和等式 束g(x)=0 ；非 性 束條件函數(shù)格式一般如下：functionC,Ceq=mycon(x)C= % 算 xCeq=% 算 的非 性不等式 束x 的非 性等式 束C(x)=0 Ceq(x)=0的函數(shù) ；的函數(shù) ；【例 5.17】：求解： min 100(x2222-x1) +(1-x 1)s.tx1 2;x2 2程序：首先建立