排列組合習(xí)題_(含詳細答案)

1、圓夢教育中心 排列組合專項訓(xùn)練 1.題1 (方法對比，二星) 題面：(1)有5個插班生要分配給3所學(xué)校，每校至少分到一個，有多少種不同的分配方法？ (2)有5個數(shù)學(xué)競賽名額要分配給3所學(xué)校，每校至少分到一個名額，有多少種不同的名額分配方法？ 解析：“名額無差別”相同元素問題 (法1)每所學(xué)校各分一個名額后，還有2個名額待分配，可將名額分給2所學(xué)校、1所學(xué)校，共兩類：2133CC?(種) (法2擋板法) 相鄰名額間共4個空隙，插入2個擋板，共：246C?(種) 注意：“擋板法”可用于解決待分配的元素?zé)o差別，且每個位置至少分配一個元素的問題.(位置有差別，元素?zé)o差別 ) 同類題一 題面： 有10個

2、運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？ 答案：69C 詳解： 因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應(yīng)地分給7個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有69C種分法。 同類題二 題面： 求方程X+Y+Z=10的正整數(shù)解的個數(shù)。 答案：36. 詳解： 將10個球排成一排，球與球之間形成9個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規(guī)定由隔板分成的左、中、右三部分的球數(shù)分別為x、y、z之值, 故解的個數(shù)為C92=36（個）。 2.題2 (插空法，三星) 題面：某展室有9個展臺，現(xiàn)有3件展品需要

3、展出，要求每件展品獨自占用1個展臺，并且3件展品所選用的展臺既不在兩端又不相鄰，則不同的展出方法有_種；如果進一步要求3件展品所選用的展臺之間間隔不超過兩個展位，則不同的展出方法有_種. 答案：60，48 同類題一 題面： 6男4女站成一排，任何2名女生都不相鄰有多少種排法？ 答案：A66A47種. 詳解： 任何2名女生都不相鄰，則把女生插空，所以先排男生再讓女生插到男生的空中，共有A66A47種不同排法 同類題二 題面： 有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有( ) A36種 B48種 C72種 D96種 答案：C. 詳解：恰有兩個空座位相鄰，相當(dāng)于兩個空位與第三

4、個空位不相鄰，先排三個人，然后插空，從而共A33A2472種排法，故選C. 3題3 (插空法，三星) 題面：5個男生到一排12個座位上就座，兩個之間至少隔一個空位 1沒有坐人的7個位子先擺好， 2(法1插空)每個男生占一個位子，插入7個位子所成的8個空當(dāng)中，有： 58A=6720種排法. (法2)15個男生先排好：55A； 2每個男生加上相鄰的一個座位，共去掉9個位置，當(dāng)作5個排好的元素， 共有6個空，剩下的3個元素往里插空，每個空可以插1個、2個、3個元素， 共有：3216662CCC?種， 綜上：有55A(3216662CCC?)=6720種. 同類題一 題面：文藝團體下基層宣傳演出，準備

5、的節(jié)目表中原有4個歌舞節(jié)目，如果保持這些節(jié)目 的相對順序不變，擬再添兩個小品節(jié)目，則不同的排列方法有多少種？ 答案： 30。 詳解： 記兩個小品節(jié)目分別為A、B。先排 A節(jié)目。根據(jù)A節(jié)目前后的歌舞節(jié)目數(shù)目 考慮方法數(shù)，相當(dāng)于把4個球分成兩堆，有種方法。這一步完成后就有5個節(jié)目了。 再考慮需加入的B節(jié)目前后的節(jié)目數(shù)，同理知有種方法。故由分步計數(shù)原理知，方 法共有（種）。 同類題二 題面： (2013年開封模擬)2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是( ) A60 B48 C42 D36 答案：B. 詳解： 第一步選2女相鄰排列C

6、23A22，第二步與男女排列A22，第三步男生甲插在中間， 1種插法，第四步男男生插空C14，故有C23A22A22C1448種不同排法 4.題4 (隔板法變形，三星) 題面：15個相同的球，按下列要求放入4個寫上了1、2、3、4編號的盒子，各有多少種不同的放法? (1)將15個球放入盒子內(nèi)，使得每個盒子都不空；314364C? (2)將15個球放入盒子內(nèi)，每個盒子的球數(shù)不小于盒子的編號數(shù)； (3)將15個球放入盒子內(nèi)，每個盒子不必非空； (4)任取5個球，寫上1-5編號，再放入盒內(nèi)，使每個盒子都至少有一個球； (5)任取10個球，寫上1-10編號，奇數(shù)編號的球放入奇數(shù)編號的盒子，偶數(shù)編號的球

7、放入偶數(shù)編號的盒子 解析： (2)先將2、3、4號盒子分別放入1、2、3個球，剩下的9個球用擋板法，38C=56 (3)借來4個球，轉(zhuǎn)化為19個球放入盒子內(nèi)，每個盒子非空，318816C? (4)不能用“擋板法”，因為元素有差別. (法1)必有一個盒子有2個球，2454240CA?； (法2)先選3個球，分別排到4個盒子中的3個里，剩下的盒子自然放2個球. 3354240CA?； (法3)4154480AC?，會重！需要除2！ 重復(fù)原因：1號盒子放1、5號球，先放1后放5與先放5、后放1是一樣的！ (5)(法1)每個球都有2種選擇，共有102種方法； (法2)奇數(shù)號的球有1、3、5、7、9，共

8、5個，可以在1、3號兩個盒子中選一個放入， 共有：54321055555552CCCCCC?種放法， 同理放偶數(shù)號的球也有52種方法，綜上共有102種方法. 同類題一 題面： 某車隊有7輛車，現(xiàn)要調(diào)出4輛按一定順序出去執(zhí)行任務(wù)要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出有_種不同的調(diào)度方法(填數(shù)字) 答案：120. 詳解： 先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有C25種選法，連同甲、乙共4輛車，排列在一起，先從4個位置中選兩個位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24種，最后，安排其他兩輛車共有A22種方法，故不同的調(diào)度方法為C25C24A22120種 同類題二 題面： 我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機

9、起降飛行訓(xùn)練中,有5架艦載機準備著艦,如 果甲、乙兩機必須相鄰著艦,而丙、丁兩機不能相鄰著艦,那么不同的著艦方法有（ ） A12 B18 C24 D48 答案：C. 詳解： 分三步:把甲、乙捆綁為一個元素A,有22A種方法;A與戊機形成三個“空”,把丙、 丁兩機插入空中有23A種方法;考慮A與戊機的排法有22A種方法.由乘法原理可知共有22A23A22A24?種不同的著艦方法.故應(yīng)選C 5. 題5(相同與不同，三星) 題面：某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈送方法共有( ) A4種 B10種 C18種 D20種 同類題一 題面： (20

10、13北京高考)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是_ 答案：96. 詳解： 按照要求要把序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券分成4組，然后再分配給4人，連號的情況是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法數(shù)是4A4496. 同類題二 題面： 3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 （ ） A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 答案：288種. 詳解： 分析排列組合的問題第一要遵循特殊元素優(yōu)先考慮的原則，先考慮女生的問題，先

11、從3個女生中選兩位，有23C種方法，然后再考慮順序，即先選后排，有22A種方法；這樣選出兩名女生后，再考慮男生的問題，先把三個男生任意排列，有23A中不同的排法， 然后把兩個女生看成一個整體，和另一個女生看成兩個元素插入4個位置中。有24A種不同的排法，共有22A23C33A24A種不同的排法。然后再考慮把男生甲站兩端的情況排除掉。 甲可能站左端，也可能是右端，有12C種不同的方法，然后其他兩個男生排列有22A種排法，最后把女生在剩余的三個位置中排列，有23A種不同的排法。共22A23C12C22A23A種不同的排法， 故總的排法為22A23C33A24A22A23C12C22A23A=288

12、種不同的方法。 .題6(組合數(shù)的性質(zhì)，二星) 題面：5個男生3個女生，分別滿足下列條件，各有多少種方法？ (1)選出3人參加A活動； (2)選出5人參加B活動； (3)選出4人參加一項活動，女生甲必須參加； (4)選出4人參加一項活動，女生甲不能參加. 答案： 同類題一 題面： 從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有 （ ） A. 70 種 B. 80種 C. 100 種 D. 140 種 答案：A. 詳解： 分為2男1女，和1男2女兩大類，共有21125454CCCC?=70種 同類題二 題面： 男運動員6名，女運動員4名，其中男

13、女隊長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？ （1）男運動員3名，女運動員2名； （2）至少有1名女運動員； （3）隊長中至少有1人參加； （4）既要有隊長，又要有女運動員. 答案：（1）120種 （2） 246種. 詳解： （1）第一步：選3名男運動員，有C36種選法. 第二步：選2名女運動員，有C24種選法. 共有C36C24=120種選法. （2） 至少1名女運動員包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為 C14C46+C24C36+C34C26+C44C16=246種. .題7 (選和排，二星) 題面：從4名男生

14、和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中有且只有1名女生，則選派方案共有多少種？ 法一：先選后排，123343CCA 法二：邊選邊排，112334()CAA? 同類題一 題面： 將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案共有( ) A12種 B24種 C36種 D48種 答案：C. 詳解： 先分組再排列：將4名教師分成3組有C24種分法，再將這三組分配到三所學(xué)校有A33種分法，由分步乘法計數(shù)原理，知一共有C24A3336種不同分配方案 同類題二 題面： 甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站

15、法種數(shù)是( ) A258 B306 C336 D296 答案：C. 詳解： 根據(jù)題意，每級臺階最多站2人，所以，分兩類：第一類，有2人站在同一級臺階，共有C23A27種不同的站法；第二類，一級臺階站1人，共有A37種不同的站法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得共有C23A27A37336(種)不同的站法 3題一(合理分類，二星) 題面：若從1，2，3，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有( ) A60種 B63種 C65種 D66種 同類題一 題面： 只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有( ) A6個 B9個 C

16、18個 D36個 答案：C. 詳解： 注意題中條件的要求，一是三個數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個數(shù)字共有C133(種)選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有A22C236(種)排法，所以共有3618(種)情況，即這樣的四位數(shù)有18個 同類題二 題面： 由1 、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是( ) A72 B96 C108 D144 答案：C. 詳解： 分兩類：若1與3相鄰，有A22C13A22A2372(個)，若1與3不相鄰有A33A3 336(個) 故共有7236108個 題8 題面：5個男生3個女生，分別滿足下列條件，

17、各有多少種方法？ (1)選出4人參加一項活動，女生甲必須參加； (2)選3人參加數(shù)學(xué)競賽，至少有一名男生. (法1)分類：1名、2名、3名男生：122135353555CCCCC?； (法2)間接法333838155CCC?. (法3)1先取1名男生；2再在剩下的7人中取3人；125776 51052CC?？ 同類題一 題面： 將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為 .18A .24B .30C .36D 答案：C. 詳解： 用間接法解答：四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個班的種數(shù)是24C，順序有33A種，而甲乙被分在同

18、一個班的有33A種，所以種數(shù)是23 343330CAA? 同類題二 題面： 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 （ ） A. 6 B. 12 C. 30 D. 36 答案：C. 詳解： 可以先讓甲、乙任意選擇兩門，有2244CC?種選擇方法，然后再把兩個人全不相同的情況去掉，兩個人全不相同，可以讓甲選兩門有24C 種選法，然后乙從剩余的兩門選，有22C種不同的選法，全不相同的選法是24C22C種方法，所以至少有一門不相同的選法為2244CC?24C22C=30種不同的選法。 題9 (組合數(shù)性質(zhì)，三星)某班分成五個小組，分別有5,6,7,8,9名同學(xué)

19、，現(xiàn)從該班挑選2名同學(xué)參加比賽，且這兩名同學(xué)必須來自同一小組，共有多少種不同的方案？ 同類題一 題面： 將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，則不同分法的總數(shù)為 （ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 30 答案：C. 詳解： 將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分成三組，則共有24C種不同的分法，然后三組進行全排列共33A種不同的方法；然后再把甲、乙分到一個班的情況排除掉，共33A種不同的排法。所以總的排法為233433CAA?=30種不同的排法。 同類題二 題面： 將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，最多2名，

20、則不同的分配方案有 （A）30種 （B）90種 （C）180種 （D）270種 答案：B. 詳解： 將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2 人，有12542215CCA?種方法，再將3組分到3個班，共有331590A?種不同的分配方案，選B. 題10 (組合的識別，四星) 題面：(1)“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1458),則四位“漸升數(shù)”共有多少個？ (2)5個男生3個女生排成一排，自左至右，男、女生分別都從高到矮排(任意兩人身高不同)，有多少種不同排法？ (法1)8個位置中選5個排男生，剩下3個位置排女生，5388CC?， 注意：男生位置選定以后，女生順序一定，只對應(yīng)一種排法. (法2除序 )85885353ACAA?. (3)3,3,3,4,4