函數(shù)及其圖像知識點歸納

1、華師大版八年級數(shù)學下函數(shù)及其圖像知識點歸納 一變量與函數(shù) 1 函數(shù)的定義：一般的，在某個變化過程中有兩個變量x和y，對于x的每一個數(shù)值y都有唯一的值與之對應，我們說x叫做自變量，y叫做因變量，y叫做x的函數(shù)。 2自變量的取值范圍： （1）能夠使函數(shù)有意義的自變量的取值全體。 （2）確定函數(shù)自變量的取值范圍要注意以下兩點：一是使自變量所在的代數(shù)式有意義；二是使函數(shù)在實際問題中有實際意義。 （3）不同函數(shù)關系式自變量取值范圍的確定： 函數(shù)關系式為整式時自變量的取值范圍是全體實數(shù)。 函數(shù)關系式為分式時自變量的取值范圍是使分母不為零的全體實數(shù)。 函數(shù)關系式為二次根式時自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于或

2、等于零的全體實數(shù)。 3 函數(shù)值：當自變量取某一數(shù)值時對應的函數(shù)值。這里有三種類型的問題： （1）當已知自變量的值求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值。 （2）當已知函數(shù)值求自變量的值就是解方程。 （3）當給定函數(shù)值的一個取值范圍，欲求自變量的取值范圍時實質上就是解不等式或不等式組。 二平面直角坐標系： 1各象限內點的坐標的特征： （1）點p（x,y）在第一象限x0,y0. （2）點p（x,y）在第二象限x0,y0. （3）點p（x,y）在第三象限x0,y0 （4）點p（x,y）在第四象限x0,y0. 2 坐標軸上的點的坐標的特征： （1）點p（x,y）在x軸上x為任意實數(shù)，y=0 （2）點p（x,y）在y

3、軸上x=0,y為任意實數(shù) 3 關于x軸，y軸，原點對稱的點的坐標的特征： （1）點p（x,y）關于x軸對稱的點的坐標為（x,-y）. . ）-x,y軸對稱的點的坐標為（y）關于x,y（p）點2（ -x,-y）（x,y）關于原點對稱的點的坐標為（3）點p 4 兩條坐標軸夾角平分在線的點的坐標的特征： x,y）在第一、三象限夾角平分在線x=y.）點p（1 ）在第二，四象限夾角平分在線x+y=0p（x,y2（）點 與坐標軸平行的直線上的點的坐標的特征：5 軸的直線上的所有點的縱坐標相同。1）位于平行于x（ 軸的直線上的所有點的橫坐標相同。2）位于平行于y（ 點到坐標軸及原點的距離：6. y ）點p（

4、x,y）到軸的距離為（1. 軸的距離為xp（x,y）到y(tǒng)（2）點22 ）到原點的距離為）點p（x,y（3y?x（4）同在x軸上的兩點A（x0）與B（x,0）之間的距離為AB=|x-x| 221,1（5）同在y軸上的兩點C（0,y）與D（0,y）之間的距離為CD=|y-y| 2112三函數(shù)的圖像 函數(shù)圖像上的點與其解析式的關系 1函數(shù)圖像上任意一點px,y中的x、y滿足函數(shù)關系式，滿足函數(shù)關系式的一對對應值x,y都在函數(shù)的圖像上。 2判斷點px,y是否在函數(shù)圖像上的方法，將這個點的坐標 x,y代入函數(shù)關系式，如果滿足函數(shù)關系式，那么這個點就在函數(shù)的圖像上，如果不滿足函數(shù)關系式，那么，這個點就不在

5、函數(shù)的圖像上。 四一次函數(shù) （一） 一次函數(shù)的定義 1定義:含有自變量的式子為一次整式，即形如式子ykx+b(其中k和b為常數(shù)，k0)叫做一次函數(shù)。 正比例函數(shù)：在一次函數(shù)y=kx+b中如果b=0即變?yōu)閥=kx(其中k0)，這樣的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。 2注意： （1）由一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義可知; 函數(shù)是一次函數(shù)解析式為ykx+b的形式。 的形式。y=kx函數(shù)是正比例函數(shù)解析式為（2）一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b的結構特征： k0 x的次數(shù)是1 常數(shù)b為任意實數(shù) （3）正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx的結構特征 k0 x的次數(shù)是1 常數(shù)b=0 3說明：在y=kx+b中若k=0則y=bb為常數(shù)這樣的函

6、數(shù)叫做常數(shù)函數(shù)，它不是一次函數(shù)。 4正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關系： 正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。 一次函數(shù)y=kx+b，當b=0時為正比例函數(shù) 一次函數(shù)y=kx+b，當b0時一般的一次函數(shù) （二） 一次函數(shù)的圖像 1一次函數(shù)圖像的形狀： 一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，通常稱為直線y=kx+b 正比例函數(shù)y=kx的圖像也是一條直線，稱為直線y=kx 2一次函數(shù)圖像的主要特點: 一次函數(shù)y=kx+b的圖像經過點0，b的直線，正比例函數(shù)y=kx+b的圖像是經過原點0，0的直線 注意：點0，b是直線y=kx+b與y軸的交點。 當b0時，此時交點在y軸的正半軸上， 當b0時

7、，此時交點在y軸的負半軸上， 當b=0時，此時交點在原點，這時的一次函數(shù)就是正比例函數(shù)。 3一次函數(shù)圖像的畫法： 根據(jù)兩點能畫一條直線并且只能畫一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖像時，只要先描出兩點，在連成直線即可。 那么，先描出哪兩點比較好呢？ 選兩點應以計算和描點簡單為原則，一般來說，當b0時，一般的一次函數(shù)y=kx+bb,0；當-b=0時，畫正比例函數(shù)與的圖像，應選取它與兩個坐標軸的交點0，b ky=kx的圖像，通常取0，0與1，k兩點，個別情況下可以做些變通，例如畫函數(shù)22x的圖像，可以取0，0與1，兩點，也可以取0，0y=與3，2兩點。 33 與坐標軸的交點y=kx+b

8、直線4（1） 令x=0,則y=b所以直線y=kx+b與y軸的交點坐標為0，b b 所以x=-kx+b=0 令y=0,則（2） kb,0注意：此時直線y=kx+b與x軸，所以直線y=kx+b與x軸的交點坐標為-y軸圍成 k1b-S=的三角形面積b 2k5兩直線在直角坐標系內的位置關系: （1）兩直線的解析式中當k相同時，其位置關系是平行，其中一條直線可以看作是另一條平移得到的，平移規(guī)律是“左減右加，上加下減” （2）兩直線的解析式中當b相同時，其位置關系是相交，交點坐標為0，b. （三）一次函數(shù)的性質 1正比例函數(shù)的性質 （1）當k0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大，直線y=kx從左

9、到右上升。 （2）當k0時，圖像經過第二、四象限，y隨x的增大而減小，直線y=kx從左到右下降。 2一次函數(shù)y=kx+b的性質 （1）當k0時，直線y=kx+b從左到右上升，此時y隨x的增大而增大。 （2）當k0時，直線y=kx+b從左到右下降，此時y隨x的增大而減小。 （3）當b0時，直線y=kx+b與y軸正半軸相交。 （4）當b0時，直線y=kx+b與y軸負半軸相交。 3直線y=kx+b的位置與k、b的符號之間的關系 直線y=kx+b的位置是由k與b的符號決定的，其中k決定直線從左到右呈上升趨勢還是下降趨勢，b決定直線與y軸交點的位置是在y軸的正半軸，還是負半軸，還是原點。k和b綜合起來決

10、定直線y=kx+b在直角坐標系中的位置共有六種情況： 當k0，b0時，直線經過第一、二、三象限，不經過第四象限； 當k0，b0時，直線經過第一、三、四象限，不經過第二象限； 當k0， b0時，直線經過第一、二、四象限，不經過第三象限； 當k0，b0時，直線經過第二、三、四象限，不經過第一象限； 當k0，b=0時，直線經過第一、三象限； 當k0，b=0時，直線經過第二、四象限。 （四）正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式的確定 確定一個k;中的常數(shù)0ky=kx確定一個正比例函數(shù)就是要確定正比例函數(shù)解析式1一次函數(shù)需要確定一次函數(shù)解析式一般形式y(tǒng)=kx+bk0中的常數(shù)k和b,解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法

11、。 2待定系數(shù)法： 先設出待求函數(shù)關系式其中含有未知的系數(shù)，再根據(jù)已知條件列出方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數(shù)法。其中的未知系數(shù)也稱待定系數(shù)，如正比例函數(shù)y=kx中的k，一次函數(shù)y=kx+b中的k和b都是待確定的系數(shù)。 3用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟： （1）設出含有待定系數(shù)的解析式； （2）把已知條件自變量與函數(shù)的對應值代入解析式，得到關于待定系數(shù)的方程或方程組； （3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)； （4）將求得的待定系數(shù)的值代回所設的解析式。 注意：通常正比例函數(shù)解析式設y=kx，只有一個待定系數(shù)k，一般只需一對x與y的對應值即可；一次函數(shù)解析式設y

12、=kx+b，其中有兩個待定系數(shù)k和b，因而需要兩對x與y的對應值，才能求出k和b的值。 五反比例函數(shù) （一）反比例函數(shù)定義 kk是常數(shù)，ky=1一般的，函數(shù)0叫做反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式也可以 x-1的形式，其中k叫做比例系數(shù)。 寫成y=kx2反比例函數(shù)解析式的主要特征： （1）等號左邊是函數(shù)y,右邊是一個分式，分子是不為零的常數(shù)k,分母中含有自變量x,-1的形式，則x的指數(shù)是-1。1且x的指數(shù)是，若寫成y=kx （2）比例系數(shù)“k0”是反比例函數(shù)定義的重要組成部分。 （3）自變量x的取值范圍是x0的一切實數(shù)。 （二）反比例函數(shù)的圖像 反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分

13、別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關于原點成中心對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以它的圖像與x軸和y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交。 （三）反比例函數(shù)的性質1當k0時，圖像在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左到右下降，也就是在每個象限內y隨x的增大而減小。 2當k0時，圖像在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左到右上升，也就是在每個象限內y隨x的增大而增大。 （四）反比例函數(shù)解析式的確定 k中只有一個待定系數(shù)，因此只需確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)y= x要一對x與y的對應值或圖像上一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定

14、其解析式。 （五）“反比例關系”與“反比例函數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系 反比例關系是小學學過的概念：如果xy=kk是常數(shù)k0，那么x與y這兩個量成反比例關系，這里x與y既可以代表單獨的一個字母也可以代表多項式或單項式，例如y+3與kk,y與x2成反比例，則y=,成反比例關系不一定是反比例函數(shù)，x成反比例則有y+3= 2xxk中的兩個變量必定成反比例關系。y= 但是反比例函數(shù) xk（六）反比例函數(shù)y=k0中的比例系數(shù)k的幾何意義 x1如圖，過雙曲線上一點作x軸、y軸的垂線PM、PN,所得矩形PMON面積為|k|。 11SS矩形=|k|則。POM= 連結2PO, 22六 函數(shù)的應用 1利用圖像比較兩個函數(shù)值的大小 在同一直角坐標系中的兩個函數(shù)圖像，如果其中一個函數(shù)的圖像在另一個函數(shù)圖像的上方，則該函數(shù)值就比另一個函數(shù)值大，若在下方，則該函數(shù)值就比另一個函數(shù)值小，而其交點的橫坐標就是分界點。 2兩個一次函數(shù)圖像的交點與二元一次方程組的關系 如果兩個一次函數(shù)的圖像相交，則交點坐標必定同時滿足兩個函數(shù)解析式，故交點坐標是有兩個函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解。 3一次函數(shù)與方程、不等式的關系 （1）一次函