哈工大大學(xué)物理2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)習(xí)題課

1、1,剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),學(xué)習(xí)要求： 1 . 掌握描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移、角速度、角加速度等物理量及角量和線量的關(guān)系.能借助于直角坐標(biāo)系熟練應(yīng)用勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。 2 . 理解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義。掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律并能結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體與質(zhì)點(diǎn)組合系統(tǒng)的有關(guān)問(wèn)題。 3 . 會(huì)計(jì)算力矩的功，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和剛體的重力勢(shì)能。能在含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及重力場(chǎng)的剛體問(wèn)題中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。 4 . 熟練計(jì)算剛體對(duì)固定軸的角動(dòng)量，掌握角動(dòng)量定理，并能對(duì)含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在內(nèi)的系統(tǒng)正確應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律。,2,重點(diǎn)： 1.理解和掌握有關(guān)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的基本概念力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、角動(dòng)

2、量等。 2.理解和掌握有關(guān)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本規(guī)律，特別是轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用。,難點(diǎn)： 角動(dòng)量定理，轉(zhuǎn)動(dòng)定律，角動(dòng)量守恒定律在綜合性力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。,3,1 . 描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式,角位置 ,角運(yùn)動(dòng)方程 = (t),角位移 ,角速度,角加速度,角量與線量的關(guān)系,基本概念和規(guī)律：,4,2 .力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,(1)力矩,(2)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,當(dāng)剛體質(zhì)量連續(xù)分布,組合體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,5,3 .剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律,4. 力矩的功,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理,機(jī)械能守恒定律:只有重力做功時(shí),6,5. 角動(dòng)量和沖量矩,剛體的角動(dòng)量,恒力矩的沖量,變力矩的沖量,6. 角動(dòng)量定理和

3、角動(dòng)量守恒定律,角動(dòng)量定理,角動(dòng)量守恒定律:當(dāng)合外力矩為零或遠(yuǎn)小于內(nèi)力矩時(shí),7,7 .質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)和剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物理量對(duì)比,8,答：（5）,9,10,如圖，長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過(guò)桿的端點(diǎn)O并與桿垂直的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿的另一端連接一個(gè)質(zhì)量為m的小球。桿從水平位置由靜止開(kāi)始自由下擺，忽略軸處的摩擦，當(dāng)桿轉(zhuǎn)到與豎直方向成角時(shí)，小球與桿的角速度為,注意角速度定義,11,解：碰撞前瞬時(shí)，桿對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為,碰撞后瞬時(shí)，桿對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為,碰撞前后角動(dòng)量守恒，有,（平行軸定理）,12,力矩的計(jì)算,一般情況下，剛體對(duì)某轉(zhuǎn)軸的力矩可以用公式M=Frsin計(jì)算，有時(shí)剛體上各點(diǎn)所受的力大小不等、

4、或者方向不同、或者力臂不同，則需要用積分方法計(jì)算。,例、唱機(jī)的轉(zhuǎn)盤(pán)繞著通過(guò)盤(pán)心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，唱片放上去后將受轉(zhuǎn)盤(pán)的摩擦力作用而隨盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)唱片可以看成半徑為R的均勻圓盤(pán)，質(zhì)量為m，唱片與轉(zhuǎn)盤(pán)之間的摩擦系數(shù)為，轉(zhuǎn)盤(pán)原來(lái)以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，唱片放上去時(shí)受到的摩擦力矩為多大？唱片達(dá)到角速度需要多長(zhǎng)時(shí)間？在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤(pán)保持角速度不變，則驅(qū)動(dòng)力做功多少？摩擦力矩做了多少功？唱片獲得了多大動(dòng)能？,13,分析：唱片上的摩擦力不是作用在一點(diǎn)，而是分布在整個(gè)唱片和轉(zhuǎn)盤(pán)的接觸面上。各部分的摩擦力方向都是不同的，垂直與它的徑向。因?yàn)槌鞑糠炙苣Σ亮Φ牧Ρ鄄煌阅Σ亮赜梅e分方法。積分時(shí)，面元的選取很關(guān)

5、鍵。,解法1：在唱片上取面元如圖。,面元的面積為：,質(zhì)量為：,14,面元質(zhì)量為：,此面元受到轉(zhuǎn)盤(pán)的摩擦力為：,摩擦力矩：,所以，整個(gè)唱片所受的摩擦力矩為：,15,解法二、把唱片分成許多同心圓環(huán)，任取半徑r-r+dr的圓環(huán)作為面元，其上各點(diǎn)所受的摩擦力沿著圓環(huán)的切線方向。如圖。對(duì)轉(zhuǎn)軸的力臂都相同。因此圓環(huán)所受的摩擦力矩為：,其中,代入得到：,所以整個(gè)唱片受到的摩擦力矩為：,16,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知，唱片在此摩擦力矩作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為：,其中，唱片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：,代入可以得到：,所以，唱片的角速度從零增加到所需要的時(shí)間為：,17,在這段時(shí)間內(nèi)，摩擦力矩做功：,唱片獲得的動(dòng)能：,所

6、以唱機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩做功為：,18,轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用,這類(lèi)問(wèn)題多見(jiàn)于含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體和可視為質(zhì)點(diǎn)的物體組成的系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題。處理這類(lèi)問(wèn)題的方法和處理質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問(wèn)題相同，即先選取研究對(duì)象，分析各隔離體所受的力或者力矩，畫(huà)出示力圖，判斷各隔離體的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律或者轉(zhuǎn)動(dòng)定律分別列出運(yùn)動(dòng)方程，還要加上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的聯(lián)系，比如線量與角量之間的關(guān)系。,例、電風(fēng)扇的功率恒定為P，風(fēng)葉轉(zhuǎn)子的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，設(shè)風(fēng)葉受到空氣的阻力矩與風(fēng)葉的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度成正比（比例系數(shù)為k）。求：（1）電扇通電后t秒時(shí)的角速度；（2）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速；（3）若在電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)后斷開(kāi)電源，則風(fēng)扇還能繼續(xù)轉(zhuǎn)過(guò)多少角度？,19,分析

7、：電扇的恒定功率為P，轉(zhuǎn)速為時(shí)，則其電動(dòng)力矩為M=P/，電扇在此力矩與阻力矩作用下運(yùn)動(dòng)。當(dāng)斷開(kāi)電源后，只受到阻力矩的作用，電扇將做減速轉(zhuǎn)動(dòng)，最后停止，由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可以算出電扇轉(zhuǎn)過(guò)的角度。,解：（1）由于阻力矩Mf正比與，則有：,K為比例系數(shù)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有：,即：,20,分離變量后積分：,積分得到：,（2）當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，電扇達(dá)到穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速：,（3）電源斷開(kāi)，只有受到阻力矩作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得到：,21,分離變量后積分：,由此得到：,則電扇轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：,22,剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用,這兩條規(guī)律的地位與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律相當(dāng)。 應(yīng)用角動(dòng)量定理時(shí)，必須隔離剛體，

8、分析受力情況，確定各隔離體在過(guò)程中所受的外力矩以及作用前后的角動(dòng)量，列出關(guān)系式。 應(yīng)用角動(dòng)量守恒，必須分析是否符合守恒的條件（系統(tǒng)所受的合外力矩為零）。還必須注意，系統(tǒng)的角動(dòng)量是對(duì)同一個(gè)轉(zhuǎn)軸而言的，且角速度必須對(duì)慣性系而言的。,23,例、質(zhì)量為M，半徑為R的轉(zhuǎn)臺(tái)，可以繞通過(guò)中心的豎直軸無(wú)摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m的人，站在離中心r處（rR），開(kāi)始時(shí)，人和臺(tái)處于靜止?fàn)顟B(tài)，如果這個(gè)人沿著半徑為r的圓周勻速走一圈，設(shè)他相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度為u，如圖。求轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)角速度和相對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度。,分析：以人和轉(zhuǎn)臺(tái)為系統(tǒng)，該系統(tǒng)沒(méi)有受到外力矩的作用，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律時(shí)，其中的角速度和速度都

9、是相對(duì)慣性系（地面）而言的。因此人在轉(zhuǎn)臺(tái)上走動(dòng)時(shí)，必須考慮人相對(duì)于地面的速度。,24,解：對(duì)于人和轉(zhuǎn)臺(tái)的系統(tǒng)，當(dāng)人走動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)沒(méi)有受到對(duì)豎直軸的外力矩，系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。設(shè)人相對(duì)于地面的速度為 v，轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于地面的轉(zhuǎn)速為，于是有：,而：,代入得：,25,式中負(fù)號(hào)代表轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向和人在轉(zhuǎn)臺(tái)上走動(dòng)的方向相反。根據(jù)題意，u是常量，所以也是常量，即轉(zhuǎn)臺(tái)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。,設(shè)在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，則：,而u/r. t是人相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，由題設(shè)：,因此，在此過(guò)程中轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：,26,角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的綜合應(yīng)用,角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律適用的條件不同，

10、在應(yīng)用時(shí)必須根據(jù)條件而有所選擇。 例、長(zhǎng)為 質(zhì)量為m1的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過(guò)O點(diǎn)垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，令桿自水平位置靜止擺下，在鉛直位置處與質(zhì)量為m2的物體發(fā)生完全非彈性碰撞，如圖，碰后物體沿摩擦系數(shù)為的水平面滑動(dòng)，求此物體滑過(guò)的距離以及桿上升的角度。,27,分析：可以分成三個(gè)過(guò)程。（1）桿從水平位置擺到豎直位置，只有重力做功，所以機(jī)械能守恒；（2）桿與物體發(fā)生碰撞。把桿和物體作為一個(gè)系統(tǒng)，沒(méi)有受到外力矩的作用，所以系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒。（桿受到軸力的外力作用）；（3）物體和桿分別運(yùn)動(dòng)。物體滑動(dòng)，摩擦力做功，可以由功能原理求距離，桿上升過(guò)程，機(jī)械能守恒。,解：桿自水平位置擺到鉛直位置時(shí)

11、，設(shè)桿在鉛直位置時(shí)角速度為，并以地面為勢(shì)能的零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律可以得到：,由此二式可以得到：,28,桿與物體發(fā)生完全非彈性碰撞時(shí)，他們將擁有共同的速度v，由于系統(tǒng)沒(méi)有受到外力矩的作用，所以角動(dòng)量守恒，設(shè)碰撞后的角速度為，有：,解以上兩式，并且代入的值，得到：,29,設(shè)物體在地面上滑過(guò)的距離為s，由功能原理得到：,由此可以得到：,設(shè)擺上升的角度為，由機(jī)械能守恒定律得到：,最后得到：,30,分析：對(duì)于環(huán)和桿所組成的系統(tǒng)，僅受到重力和軸力的作用，所以系統(tǒng)對(duì)A點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。而且這些外力不做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。由這兩個(gè)定律就可以求出桿的旋轉(zhuǎn)角速度和環(huán)的運(yùn)動(dòng)速度。,例. 質(zhì)量為m的小圓環(huán)套在一長(zhǎng)為 質(zhì)量為M 的光滑均勻桿AB上,桿可以繞過(guò)其A端的固定軸在水平面上自由旋轉(zhuǎn)。開(kāi)始時(shí)桿旋轉(zhuǎn)的角速