差商與Newton插值公式

1、第四節(jié) 差商與Newton插值公式,優(yōu)點: 具有嚴格的規(guī)律性,便于記憶. 缺點: 不具有承襲性,即每當增加一個節(jié)點時,不僅要增加求和的項數,而且以前的各項也必須重新計算. 為了克服這一缺點,本講將建立具有承襲性的插值公式Newton插值公式. 本講主要內容: 差商的定義及性質 Newton插值多項式的構造,Lagrange插值多項式：,且,同樣,承襲性：,為實數,而且有：,這樣：,2.4.1 差商及其基本性質,定義1 稱,為 f (x)在x0、x1點的一階差商.,稱為函數f (x)在x0、x1 、xk 點的二階差商.,一階差商的差商,一般地，k-1階差商的差商,稱為f (x)在x0 , x1

2、, , xk點的 k階差商,一般f(xi) 稱為f(x) 在xi點的零階差商，記作fxi。,fxi,xj,xk是指,fxi , xj , xk=,fxi , xk- fxi , xj,xk- xj,一般的,可定義區(qū)間xi, xi+1 , xi+n上的n階差商為,它表明差商與節(jié)點的排列次序無關，即,fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0 ,性質1 差商可以表示為函數值的線性組合，即,稱之為差商的對稱性（也稱為對稱性質）。,性質2 由性質1立刻得到,性質3 若f(x)在a,b上存在n階導數, 且節(jié)點

3、x0 , x1 , xna,b ,則至少存在一點 a, b 滿足下式,例1 f (x)=6x8+7x510, 求f 1,2, ,9及f 1,2, ,10.,解 f 1,2, ,9=-6,f 1,2, ,10=0.,差商表,計算原則：,任意一個k(k=1)階差商的數值等于一個分式的值，分子為該數左側的數減去左上側的數之差，分母為同行最左側的插值節(jié)點值減去這一行往上數第k個插值節(jié)點值之差。,2.4.2 牛頓插值公式,英1642-1727,構造差商表,利用差商表的最外一行，構造Newton插值多項式,且有如下遞推形式,設x是a，b上一點，由一階差商定義得,同理，由二階差商定義,如此繼續(xù)下去，可得一系列等式,得,得,牛頓插值公式推導二：,依次把后式代入前式，最后得,Rn(x)稱為牛頓型插值余項。,由插值多項式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項式 是等價的,即 Ln(x) Nn(x),由此即得性質1。,余項公式,由此即得性質3。,例2 已知f(x)=shx的數表,求4次牛頓插值多項式,并由 此計算f(0.596)的近似值。,解 由上表可得過前5點的4次牛頓插值多項式為,1.11600,1.51533,1.18600,1.27573,1.38410,0.43348,0.52493,0.28000,0.35893,0.2