專(zhuān)題二平行四邊形常用輔助線(xiàn)的作法精排版

1、. 專(zhuān)題講義+ 幾何輔助線(xiàn)的作法平行四邊形 一、知識(shí)點(diǎn)A 1四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：D ；（1）四邊形的內(nèi)角和等于360CB. 360）四邊形的外角和等于（2 2多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：4AD (n-2)180；1（）n邊形的內(nèi)角和等于321. 3602（）任意多邊形的外角和等于CB 3平行四邊形的性質(zhì)：1（）兩組對(duì)邊分別平行；?）兩組對(duì)邊分別相等；（2? 性質(zhì)? ABCD是平行四邊形 四邊形）兩組對(duì)角分別相等；3（?（4）對(duì)角線(xiàn)互相平分；DC 判定?.（）鄰角互補(bǔ)5?O AB 4、平行四邊形判定方法的選擇 、和平行四邊形有關(guān)的輔助線(xiàn)作法5 ）利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形（1.

2、 OCDE是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形、例1如圖，已知點(diǎn)OABCD . 互相平分: OE與AD 求證 說(shuō)明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求 證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可 .試通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形 ;. . （2）利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形 例2、如圖，在A(yíng)BC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC交BC分別為D，G. 求證: ED+FG=AC. 說(shuō)明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平 行時(shí)，可通過(guò)作平行線(xiàn)構(gòu)造另一組 對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問(wèn) ）利用對(duì)角線(xiàn)互相平分構(gòu)造平行四邊形（3BF=AC. ，且AE=EF.求證于于的中線(xiàn)，、如圖，已

3、知例3AD是ABCBE交ACE，交ADF 說(shuō)明：本題通過(guò)利用對(duì)角線(xiàn)互相平分構(gòu)造平行 四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊 形.當(dāng)已知中點(diǎn)或中線(xiàn)應(yīng)思考這種方法. ;. . 4）連結(jié)對(duì)角線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。（為一,請(qǐng)你以例4、如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上，且FE,CFACABCD?AEF 個(gè)端點(diǎn)，猜想并證明它和圖中已有的某一條線(xiàn)段 和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線(xiàn)段， 相等（只需證明一條線(xiàn)段即可） D CDC F OOE BEBAA1圖2圖 ）平移對(duì)角線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。（5 ，和相交于點(diǎn)O，如果例、如右圖52，在平行四邊形中，對(duì)角線(xiàn)12?ACABCDACB

4、D ），那么的取值范圍是（ ，mm?10?ABBD22?2?m A B、11m?1?DC6?125?m10?m 、 D C、O ABE2圖 6）過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。（DEC 、已知：如圖，四邊形為平行四邊形6例ABCD1D3AP222222 求證： DABDAC?AB?BC?CD2 EFCBB圖3圖 ;. . （7）延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。 交與分別是、的中點(diǎn)，在正方形例7、已知：如右上圖4中，F(xiàn)E,CFCDABCDBEDA 點(diǎn)，求證：于PABAP? 二、課堂練習(xí)：的中點(diǎn)，的邊，是平行四邊形 、如圖，若平行四邊形與相交于點(diǎn)

5、1ACABCDABCDABFEDE1 ）的面積為，則圖中面積為的三角形有（SS2 個(gè)4 D 個(gè)3 C個(gè)2 B個(gè) 1A 2四邊形、順次連接一個(gè)任意四邊形四邊的中點(diǎn)，得到一個(gè) _ ，OABCDBC=8，AD=6，3、如圖，ADBC垂直相交于點(diǎn) 。=_ 則AB+CD的長(zhǎng) 、PEPD PABC4、已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，是ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB，BC，點(diǎn)AC，DPF ，并證明你的PE+PF=_PD上，猜想：、EF分別在 BCACAB 猜想 EDC13 PF 2BA K圖4 ABCD, 5、平行四邊形中，分別是四條邊上的點(diǎn)，且DHE,AEH,F,G?,CFBC?;. . 相互平分試說(shuō)明：與GHEF OOD

6、EFOBACABCDBDO的中點(diǎn)，過(guò)、6、如圖，平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，和分別為交于 任作一直線(xiàn)分HGABCD 、于 別交 EHGF 試說(shuō)明： ABAD E是是7、如圖，已知，B的中點(diǎn)的中點(diǎn)，ACAB? 試說(shuō)明： CE?2CD B D DCABCD 是梯形8、如圖，E的中點(diǎn)腰 E1 試說(shuō)明：S?SABE?ABCD梯形2 ;. . ，試AF=5cm8cm，8cm，AB1206個(gè)內(nèi)角均為，CD2cm，BC9、已知六邊形ABCDEF的 求此六邊形的周長(zhǎng) BC邊上的任一點(diǎn)，且AB=AC，D是10、已知是等腰三角形，ABC?,ABDE? ，F(xiàn)、H、 ，垂足分別為EAB,CH?DFAC 證： 求 CH?DF?

7、DE 的中點(diǎn)；連結(jié)，取；在11、已知：在中，中，ECECADEAB?BCRt?ABCRt?DE?AD ，M 連結(jié)和BMDM 上且與點(diǎn)在邊不重合，如圖，1（）若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)ACBABDE ；且求證：DMBMDMBM?）1的角，如圖，那么（逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于繞點(diǎn)458-2（）如果將圖中的AADE? 中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明;. . B E M C D A 圖 E B M D C A 圖- 答案： 例4、 連結(jié) DE?BFBFAC,DFDB,DB O 交于點(diǎn),設(shè) 證明：連結(jié)ABCDOBDOAO?OC,? 四邊形為平行四邊形 即OFFCOEAE?FC?AO?AE?O

8、C 四邊形為平行四邊形 DEEBFD?BF為平行則有四邊形,沿方向平移，使得,例5、解：將線(xiàn)段CDBEDCCEDB?BEDC?DB, 四邊形 , , 在中 mBD?102AE?2?ACEABAC?12?CE22?2?2mA ，即 故選 解得 11?101?m?1012?2m12?F 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)于點(diǎn)、證明：過(guò)分別作，例6DA,BC?AEBCDF?E22222222BC?BEBC?AC2?AE?CE?ABBE?BC?(?BE)?AB? 22222222CF)?(CF(DFBD?BF?CD?)?BCCF?CD?BC2BC? ;. . 222222 則BEBC?BC?CF?BC?CD?DAAC2?B

9、D?AB2 ,且 四邊形為平行四邊形 BCADAB?CDABCD?CDAB0 90?AEB?DFC?DCF?ABC? CF?DCF?BE?ABE?222222 DABD?AB?BCACCD? 交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)例7、證明：延長(zhǎng)CFKBA 四邊形為正方形 ABCD0 ,且,90?D?BAD?BCD?ADCD?CDCD?ABAB0 , 又90?DAK?DCDF?KAF?AF?DFK?1?11 ADCD,DFCE?DFCE?AB?AK?CD220 90?BCD?D?CDFBCE?2?1?0000 ,則 90KPB90?2?390?CPB?1?3?90 ABAP? 二、課堂練習(xí) 10 4、 C 2、平行

10、31a是平的對(duì)角線(xiàn)，若能說(shuō)明四邊形HEGF與HG為四邊形HEGF5、分析：觀(guān)察圖形，EF 行四邊形，根據(jù) 相互平分。與GH 平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分這一性質(zhì)即可得到EF 是平行EHFGGEHFEH為四邊形的對(duì)邊，若能說(shuō)明四邊形GF6、分析：觀(guān)察圖形，與 四邊形，平行四 EHGF 邊形具有對(duì)邊平行的性質(zhì)可得 ;. . F，使EFCE，連結(jié)AF、至7、分析：延長(zhǎng)CEBF，得四邊形AFBC是平行四邊形，利用平行四邊形 即可。FBC 的性質(zhì)證明DBC 是平，則四邊形ABNM，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于M作MNAB，交BC于N8、分析：過(guò)點(diǎn)E 行四邊形，1 ，接下來(lái)說(shuō)明SSABE 與四邊形ABNM等底等高，所以

11、 ABNMABE平行四邊形2 S即可。 S ABNMABCD平行四邊形梯形 9、 G CH于證明：過(guò)D點(diǎn)作DG10、 H 于E，CHAB 又DEAB于 DG EHDGHE為矩形 DEGH 四邊形GDC B ACB B ABAC 又ACB GDC （公共邊） CDDC又 DGCDFC90 ）（ CDGDCFAAS CG DF;. . GH CG又CH DG（等量代換） CHDF 、11 ;. . 平行四邊形中常用輔助線(xiàn)的添法 平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線(xiàn)都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線(xiàn)方法上也有共同之處，目的都是造就線(xiàn)段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平

12、行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下： （1）連對(duì)角線(xiàn)或平移對(duì)角線(xiàn)： （2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形 （3）連接對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)作一邊的平行線(xiàn)，構(gòu)造線(xiàn)段平行或中位線(xiàn) （4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線(xiàn)段或延長(zhǎng)這條線(xiàn)段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。 （5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，構(gòu)成線(xiàn)段平行或三角形全等. 第一類(lèi)：連結(jié)對(duì)角線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。 例1如左下圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上，且,請(qǐng)你F,ECFAE?ABCDAC以為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線(xiàn)段，猜想并證明它和圖中F已有的某一條

13、線(xiàn)段相等（只需證明一條線(xiàn)段即可） 連結(jié) DEBF?BF證明：連結(jié),設(shè)交于點(diǎn)O ACDB,DB,DF四邊形為平行四邊形 OB?OC,DOAO?ABCD 即 OF?OC?FCAE?FCOE?AO?AE四邊形為平行四邊形 DE?EBFDBFD DCC FOOEBEBAA1圖2圖 第二類(lèi)：平移對(duì)角線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。 例2如右圖2，在平行四邊形中，對(duì)角線(xiàn)和相交于點(diǎn)O，如果， 12ACACABCD?BD;. . ，那么的取值范圍是（ ） mm?ABBD?102?m?2210?m?125?m?6 D C A B 111?m?解：將線(xiàn)段沿方向平移，使得,則有四邊形為平行四CDBEDCDC?DB?CE

14、BEDB邊形,在中, , m?2?2CE?BD?ACE10ABAC?12AE2?2m?22 解得 ，即 故選A 11?m10?1?12?10?2m12?第三類(lèi)：過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。 例3已知：如左下圖3，四邊形為平行四邊形 ABCD222222 求證： DACD?BC?AC?BD?AB 證明：過(guò)分別作于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F DA,BCDFAE?BC?E22222222 BC?2?BCBE?(BC?BE)AC?AE?CE?ABAB?BE22222222 CFBC?BCBC?CF)BD2?DF?BFCD?(CD?CF)?(222222 則BEBC?CF?

15、DA2AC?BD2?ABBC?BC?CD四邊形為平行四邊形 且, BCABCDAD?CDCD?ABAB0 90?DFC?AEB?DCF?ABC? CF?BE?ABE?DCF222222 DABC?AC?BDCD?ABDEC 13DA PF2KAFBCEB4圖3圖 第四類(lèi)：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。 例4：已知：如右上圖4，在正方形中，分別是、的中點(diǎn)，與F,ECFABCDCDBEDA交于點(diǎn)，求證： PABAP?證明：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) CFKBA四邊形為正方形 ABCD090D?BCD?BAD? ,且AD?CDCDCDABAB090?DAK?D, 又 CDF?KAFK1?

16、AF?DF?11CD,?CEDF?AD DFABCD?AK?CE 22;. . 0 90?BCD?DCDF?BCE2?10000 則 , 90?90?CPB?1?3?90KPB?2?3?90 AB?AP 第五類(lèi)：延長(zhǎng)一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線(xiàn)型相似三角形。請(qǐng)你在該圖基礎(chǔ)上，為邊上任一點(diǎn)，在平行四邊形中，點(diǎn)例5如左下圖5CDABCDE 適當(dāng)添加輔助線(xiàn)找出兩對(duì)相似三角形。 ,解：延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于，則有FEC?FEC?BCFABF?AED?AEAED?FAB? ADA DNEOFCEFCB6圖B5圖 第六類(lèi)：把對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線(xiàn)1,中，已知：如右上圖 6，在平