初中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總(史上最全)

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一、基本概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax2bx c （a， ，是常數(shù)，a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。b c這里需要 強(qiáng)調(diào) ：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a 0，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù) y ax2 bx c的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)二、基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小。a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐對(duì)稱標(biāo)性質(zhì)軸x 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；

2、 x0 時(shí)， y 隨a 0向上0 ，0y 軸x 的增大而減?。粁0 時(shí)， y 有最小值 0 x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x0 時(shí)， y 隨a0向下0 ，0y 軸x 的增大而增大；x0 時(shí)， y 有最大值 0 2. y ax2 c 的性質(zhì)：（上加下減）a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐對(duì)稱性質(zhì)標(biāo)軸x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x0 時(shí)， y 隨a0向上0 ，cy 軸x 的增大而減?。?x 0 時(shí)， y 有最小值 c x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。?x0 時(shí)， y 隨a0向下0 ，cy 軸x 的增大而增大；x0 時(shí)， y 有最大值 c 第- 1 - 頁(yè) 共31 頁(yè)3. y a

3、x h 2 的性質(zhì)：（左加右減）a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐對(duì)稱標(biāo)性質(zhì)軸x h 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大； xh 時(shí)，y 隨a 0向上h，0x=hx 的增大而減??；xh 時(shí)， y 有最小值 0 xh 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小； xh 時(shí)，y 隨a0向下h，0x=hx 的增大而增大；xh 時(shí)， y 有最大值 0 2k 的性質(zhì)：4. y a x ha 的符號(hào)頂點(diǎn)坐對(duì)稱開(kāi)口方向性質(zhì)標(biāo)軸xh 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大； xh 時(shí)，y 隨a0向上h，kx=hx 的增大而減?。粁h 時(shí)， y 有最小值 k xh 時(shí)，y 隨 x 的增大而減?。?xh 時(shí)，y 隨a0向下h，kx=hx 的增大而增大；

4、xh 時(shí)， y 有最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法 1： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 y a x h2h，k；k ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) 保持拋物線 yax2 的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h ，k 處，具體平移方法如下：向上 ( k0)【或向下 ( k0) 【或左 (h0)【或左 (h0)【或左 ( h0)【或下 (k0)【或下 (k0)】平移 |k|個(gè)單位y=a( x-h)2+k2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 “h 值正右移，負(fù)左移； k 值正上移，負(fù)下移 ”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”第- 2 - 頁(yè) 共31 頁(yè)方法 2： yax 2bxc 沿 y 軸平移 :向上（下

5、）平移 m 個(gè)單位， yax2bxc 變成yax 2bx cm （或 yax 2bx cm ） yax 2bxc 沿軸平移：向左（右）平移m 個(gè)單位， yax 2bxc 變成ya( xm) 2b( xm)c （或 ya( xm) 2b( xm)c ）四、二次函數(shù) yaxh2k與 yax2bxc的比較從解析式上看，yaxh2k 與 yax2bxc 是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到2b2b ，k2前者，即 y a xb4ac，其中 h4ac b2a4a2 a4a五、二次函數(shù) yax 2bxc 圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法： 利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc 化為頂點(diǎn)式 ya(xh) 2k ，確

6、定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖. 一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 y 軸的交點(diǎn)0 ，c 、以及0 ，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h ，c、與 x 軸的交點(diǎn) x1 ，0，x2 ，0（若與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x 軸的交點(diǎn)，與 y 軸的交點(diǎn) .六、二次函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)1.當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為xb ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4ac b22a2a4a當(dāng) xb 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；當(dāng)xb時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)xb時(shí)， y 有2a2a2a最小值 4acb

7、 24a2.當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向下， 對(duì)稱軸為 xb ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4acb2當(dāng) xb 時(shí)， y2a2a4a2a隨 x 的增大而增大；當(dāng)xb時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；當(dāng)xb時(shí)， y 有最大值 4acb 22a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；2. 頂點(diǎn)式： ya( xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0 ）；3. 兩根式： ya( xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） .第- 3 - 頁(yè) 共31 頁(yè)注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成

8、一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與 x 軸有交點(diǎn)，即 b2時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)4ac 0解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù) a二次函數(shù) yax 2bxc 中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，a 的值越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開(kāi)口越大； 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，a 的值越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開(kāi)口越大總結(jié)起來(lái)， a 決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，a 的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a 的大小決定開(kāi)口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) b在二次項(xiàng)系數(shù) a 確定的前提

9、下， b 決定了拋物線的對(duì)稱軸 在 a0 的前提下，當(dāng) b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸在y 軸左側(cè)；2a當(dāng) b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0時(shí)，b0，即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的右側(cè)2a 在 a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng) b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)；2a當(dāng) b0 時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0時(shí)，b0，即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的左側(cè)2a總結(jié)起來(lái)，在 a 確定的前提下， b 決定了拋物線對(duì)稱軸的位置ab 的符號(hào)的判定： 對(duì)稱軸 xb 在 y 軸左邊則 ab 0 ，在 y 軸的右側(cè)則 ab0 ，概括的說(shuō)就2a是“左同右異”總結(jié)：3. 常

10、數(shù)項(xiàng) c 當(dāng) c0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng) c0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ； 當(dāng) c0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來(lái)， c 決定了拋物線與y 軸交點(diǎn)的位置總之，只要 a ，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的第- 4 - 頁(yè) 共31 頁(yè)二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)

11、的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱yax2bxc關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2ya xh2；k 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是k2. 關(guān)于 y 軸對(duì)稱yax2bxc關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2ya xh2k 關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是k ；3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

12、稱yax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2yaxh2k；k 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180）2yax2bxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxcb ；2 aya xh2yaxh2kk 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是5. 關(guān)于點(diǎn)m，n 對(duì)稱22ky a x hk 關(guān)于點(diǎn) m，n 對(duì)稱后，得到的解析式是 y a x h 2m2n根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a 永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線

13、（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式第- 5 - 頁(yè) 共31 頁(yè)十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程ax22bxc 當(dāng)函數(shù)值 y0 時(shí)的特殊情況 .bx c 0 是二次函數(shù) y ax圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)b24ac0 時(shí)，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) a x1 ，0，b x2 ，0( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程 ax2bxc 0 a 0 的兩根這兩點(diǎn)間的距離 ab x2x1b24ac .a 當(dāng)0 時(shí)，圖象與 x 軸只有一個(gè)

14、交點(diǎn)； 當(dāng)0時(shí)，圖象與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn) .1當(dāng) a0時(shí)，圖象落在 x 軸的上方，無(wú)論x 為任何實(shí)數(shù)，都有y 0；2當(dāng) a0時(shí)，圖象落在 x 軸的下方，無(wú)論x 為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 2.拋物線 yax2bxc 的圖象與 y 軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0 ， c) ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc 中 a ， b ， c 的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a ， b ， c 的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)

15、稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)， 求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2bx c( a 0) 本身就是所含字母x 的二次函數(shù)；下面以 a0 時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：0拋物線與 x 軸有二次三項(xiàng)式的值可正、一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根兩個(gè)交點(diǎn)可零、可負(fù)0拋物線與 x 軸只二次三項(xiàng)式的值為非一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有一個(gè)交點(diǎn)負(fù)0拋物線與 x 軸無(wú)二次三項(xiàng)式的值恒為一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根 .交點(diǎn)正第- 6 - 頁(yè) 共31 頁(yè)二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型1 考查二次函數(shù)

16、的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以 x 為自變量的二次函數(shù)y( m2)x 2m2m2 的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則 m 的值是2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)ykxb 的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykx2bx1 的圖像大致是（）yyyy110xo-1 x0x0 -1 xabcd3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(guò)(0,3) ， (4,6) 兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為 x5 ，求這條拋物線的解析式。3

17、4 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：已知拋物線23y axbx c（a 0）與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 1、3，與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 2（ 1）確定拋物線的解析式； （2）用配方法確定拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).5 考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見(jiàn)的作為專項(xiàng)壓軸題?！纠}經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào)例 1 （ 1）二次函數(shù) yax2bx c 的圖像如圖 1，則點(diǎn) m (b, c ) 在（）aa第一象限b第二象限 c 第三象限d 第四象限（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a 0）的圖象如圖2 所示， ?則下列結(jié)論： a、

18、b 同號(hào)；當(dāng)x=1 和 x=3 時(shí)，函數(shù)值相等； 4a+b=0；當(dāng) y=-2 時(shí)， x 的值只能取0. 其中正確的個(gè)數(shù)是（）a 1 個(gè) b 2 個(gè) c 3 個(gè) d 4 個(gè)(1)(2)【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù)a， b，c 之間的關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵例 2. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) (-2 ，o)、(x 1， 0) ，且 1x12，與 y 軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn) (o，2) 的下方下列結(jié)論： abo； 4a+co，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 ( )第- 7 - 頁(yè) 共31 頁(yè)a 1個(gè) b. 2個(gè) c. 3個(gè) d 4 個(gè)答案： d會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例 3

19、. 已知：關(guān)于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一個(gè)根為x=-2 ，且二次函數(shù)y=ax 2+bx+c 的對(duì)稱軸是直線 x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( )a(2， -3)b.(2，1)c(2， 3)d(3 ， 2)答案： c例 4、（ 2006 年煙臺(tái)市）如圖（單位：m），等腰三角形abc以 2 米/ 秒的速度沿直線l 向正方形移動(dòng)，直到 ab與 cd重合設(shè) x 秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2（ 1）寫出 y 與 x 的關(guān)系式；（ 2）當(dāng) x=2， 3.5 時(shí)， y 分別是多少？（ 3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，三角形移動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸 .

20、例 5、已知拋物線 y= 1 x 2+x- 5 2 2（ 1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸（ 2）若該拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 a、 b，求線段 ab 的長(zhǎng)【點(diǎn)評(píng)】本題（ 1）是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（ 2）問(wèn)主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例 6. 已知：二次函數(shù) y=ax2-(b+1)x-3a 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(4， 10) ，交 x 軸于 a( x1 ,0) ， b( x2 ,0) 兩點(diǎn)(x1x2 ) ，交 y 軸負(fù)半軸于 c點(diǎn)，且滿足 3ao=ob(1) 求二次函數(shù)的解析式； (2) 在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)m，使銳角 mcoaco?若存在，請(qǐng)你求出 m點(diǎn)的橫坐

21、標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由(1) 解：如圖拋物線交 x 軸于點(diǎn) a(x 1， 0) ，b(x2 ， o)，則 x1x2=30，又 x1o， x1o， 30a=ob， x2=-3x 1x x =-3x2=-3 x2=1.1112x 0， x =-1 x=3112點(diǎn) a(-1 ，o)，p(4 ，10) 代入解析式得解得 a=2 b=3二次函數(shù)的解析式為y-2x 2-4x-6 (2) 存在點(diǎn) m使 mc0 aco(2) 解：點(diǎn) a 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn) a(1 ，o)，直線 a， c解析式為 y=6x-6 直線 ac 與拋物線交點(diǎn)為(0 ， -6) ，(5 ， 24) 符合題意的x 的范圍

22、為 -1x0 或 ox5當(dāng)點(diǎn) m的橫坐標(biāo)滿足 -1xo 或 ox aco例 7、 “已知函數(shù)y1 x 2 bx c 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) a（c ， 2），2求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字。（ 1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫出求解過(guò)程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（ 2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。第- 8 - 頁(yè) 共31 頁(yè)點(diǎn) ： 于第（ 1）小 ，要根據(jù)已知和 中 有信息求出 中的二次函數(shù)解析式，就要把原來(lái)的 “函數(shù) 象的 稱 是x=

23、3”當(dāng)作已知來(lái)用，再 合條件“ 象 點(diǎn)a（ c， 2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能 求出 中的二次函數(shù)解析式。 于第（2）小 ，只要 出的條件能 使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小 中的解析式就可以了。而從不同的角度考 可以添加出不同的條件，可以考 再 象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐 ，可以 出 點(diǎn)的坐 或與坐 的一個(gè)交點(diǎn)的坐 等。 解答 （ 1）根據(jù)y1 x2 bx c 的 象 點(diǎn)a（ c ， 2 ）， 象的 稱 是x=3 ，得21 c2bcc2,2b3,2 12b3,解得2.c所以所求二次函數(shù)解析式 y1 x 23x2. 象如 所示。（ 2）在解析式中令 y=0，得 1

24、2x 23x20，解得 x135, x2 35.2所以可以填“拋物 與x 的一個(gè)交點(diǎn)的坐 是（ 3+5,0) ”或“拋物 與x 的一個(gè)交點(diǎn)的坐 是 (35,0).令 x=3 代入解析式，得 y5 ,2所以拋物 y1 x 23x2 的 點(diǎn)坐 (3, 5 ),22所以也可以填拋物 的 點(diǎn)坐 (3,5) 等等。2函數(shù)主要關(guān)注：通 不同的途徑（ 象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種 背景理解函數(shù)；將函數(shù) “ 化 程中 量之 關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知 的 系。用二次函數(shù)解決最 例 1 已知 4 的正方形截去一個(gè)角后成 五 形 abcde（如 ），其中 af=2，bf=1

25、在 ab 上求一點(diǎn) p，使矩形 pndm有最大面 【 析】本 是一道代數(shù)幾何 合 ，把相似三角形與二次函數(shù)的知 有機(jī)的 合在一起，能很好考 學(xué)生的 合 用能力同 ，也 學(xué)生探索解 思路留下了思 空 例 2 某 品每件成本 10 元， 段每件 品的 售價(jià) x（元） ?與 品的日 售量 y（件）之 的關(guān)系如下表：x（元）152030y（件）252010若日 售量 y 是 售價(jià) x 的一次函數(shù)第- 9 - 頁(yè) 共31 頁(yè)（1）求出日銷售量 y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？?此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？【解析】（ 1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為

26、y=kx+b則 15kb25,解得 k=-1 ，b=40， ?即一次函數(shù)2kb20表達(dá)式為 y=-x+40 （ 2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為 x 元，所獲銷售利潤(rùn)為 w 元w=（ x-10 ）（ 40-x ） =-x 2+50x-400=- （ x-25 ） 2+225產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25 元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤(rùn)為225 元【點(diǎn)評(píng)】解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最?。?”的設(shè)問(wèn)中， ?“某某”要設(shè)為自變量， “什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）?問(wèn)的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 3. 你知道嗎 ?平

27、時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離 1m、 2 5 m 處繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他們的頭頂已知學(xué)生丙的身高是15 m，則學(xué)生丁的身高為 ( 建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()a15 mb1 625 mc166 md1 67 m分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案： b第 - 10 -頁(yè) 共 31頁(yè)知識(shí)點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系1，平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做 x 軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸

28、叫做 y 軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn) o（即公共的原點(diǎn)）叫做直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被 x 軸和 y 軸分割而成的四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意： x 軸和 y 軸上的點(diǎn)，不屬于任何象限。2、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念點(diǎn)的坐標(biāo)用（ a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開(kāi)，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)ab 時(shí)，（ a，b）和（ b，a）是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。知識(shí)點(diǎn)二、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征1、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn) p(x,y) 在第一象限

29、x0, y0點(diǎn) p(x,y) 在第二象限x0, y0點(diǎn) p(x,y) 在第三象限x0, y0點(diǎn) p(x,y) 在第四象限x0, y02、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征點(diǎn) p(x,y) 在 x 軸上y0， x 為任意實(shí)數(shù)點(diǎn) p(x,y) 在 y 軸上x0，y 為任意實(shí)數(shù)點(diǎn) p(x,y) 既在 x 軸上，又在y 軸上x， y 同時(shí)為零，即點(diǎn)p 坐標(biāo)為（ 0， 0）3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn) p(x,y) 在第一、三象限夾角平分線上x 與 y 相等點(diǎn) p(x,y) 在第二、四象限夾角平分線上x 與 y 互為相反數(shù)4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征位于平行于x 軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。第

30、 - 11 -頁(yè) 共 31頁(yè)位于平行于y 軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。5、關(guān)于 x 軸、 y 軸或遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn) p 與點(diǎn) p關(guān)于 x 軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn) p 與點(diǎn) p關(guān)于 y 軸對(duì)稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn) p 與點(diǎn) p關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離點(diǎn) p(x,y) 到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：（ 1）點(diǎn) p(x,y) 到 x 軸的距離等于y（ 2）點(diǎn) p(x,y) 到 y 軸的距離等于x（ 3）點(diǎn) p(x,y) 到原點(diǎn)的距離等于 x2y2知識(shí)點(diǎn)三、函數(shù)及其相關(guān)概念1、變量與常量在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量 x 與 y，如果對(duì)于 x 的每一個(gè)值， y 都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō) x 是自變量， y 是 x 的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)（ 1）解析法兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做解析法。（ 2）列表法把自變量 x 的一系列值和函數(shù)y 的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函