材料力學(xué)靜不定

1、第十一章 靜不定結(jié)構(gòu),概 述,已有的基礎(chǔ)： 什么是超靜定； 求解超靜定問題的基本方法； 超靜定結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。,現(xiàn)在的問題是：,怎樣利用對稱性和反對稱性減少未知力的個數(shù)？,能量原理如何應(yīng)用: -用于寫變形協(xié)調(diào)方程，求方程中的位移量？,能量原理在求解 超靜定問題上的應(yīng)用,11-1 超靜定問題的解法,靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程即可解出全部未知力，這類問題稱為靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱靜定結(jié)構(gòu)。,靜定與超靜定的概念,超靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程便無法確定全部未知力，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題.

2、,引例: 在日常生活中乃至在工程中我們常常遇到僅靠靜力平衡方程無法求得約束反力的例子?！皟蓚€和尚抬水吃，三個和尚沒水吃”，恐怕是最早說到超靜定問題的例子了。,多余約束：在靜定結(jié)構(gòu)上加上的一個或幾個約束，對于維持平衡來說是不必要的約束（但對于特定地工程要求是必要的）稱多余約束。對應(yīng)的約束力稱多余約束反力（B固端約束）,由于超靜定結(jié)構(gòu)能有效降低結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形，在工程上（如橋梁等）應(yīng)用非常廣泛。,超靜定次數(shù)：未知力個數(shù)與平衡方程數(shù)之差，也等于多余約束數(shù),相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)。,根據(jù)結(jié)構(gòu)及其約束的特點(diǎn)，超靜定結(jié)構(gòu)分為三類：,二、超靜定問題分類,、外力超靜定結(jié)構(gòu)外部約束存在多余約束。 如

3、：,為一次外力超靜定,3、內(nèi)、 外超靜定結(jié)構(gòu),、內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)僅在內(nèi)部存在多余約束。 如：封閉剛架在一般的橫截面上有三種 內(nèi)部約束力N、Q及M。,內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu),三、 拉（壓）桿超靜定問題的解法：,1. 比較變形法,把超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題解，但必須滿足原結(jié)構(gòu)的變形約束條件。,解：,例1. 桿上段為銅，下段為鋼桿，,桿的兩端為固支,求兩段的軸力。,（3）比較兩次計算的變形量，其值應(yīng)該滿足變形相容條件，建立方程求解。,（2）求靜定基僅在原有外力作用下以及僅在代替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移,解: (1) 畫A結(jié)點(diǎn)受力圖，建立平衡方程,未知力個數(shù)2個，平衡方程數(shù)1個，故為一次超靜定。,

4、2. 幾何分析法,例2. 結(jié)構(gòu)如圖，,解超靜定問題的關(guān)鍵是找出求解所有未知約束反力所缺少的補(bǔ)充方程。結(jié)構(gòu)變形后各部分間必須象原來一樣完整、連續(xù)、滿足約束條件-即滿足變形相容條件。,(3)代入物理關(guān)系，建立補(bǔ)充方程,(2)如圖三桿鉸結(jié)，畫A節(jié)點(diǎn)位移圖,列出變形相容條件。要注意所設(shè)的變形性質(zhì)必須和受力分析所中設(shè)定的力的性質(zhì)一致。由對稱性知,(4)聯(lián)立、求解：,三. 拉（壓）桿超靜定問題解法的討論,1、解拉（壓）超靜定問題必須正確地畫出結(jié)構(gòu) 的變形圖， 2、然后分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找出結(jié)構(gòu)變形前后的不 變量或者等量關(guān)系， 3、再用數(shù)學(xué)方法刻畫它,從而給出補(bǔ)充方程。,觀察問題的角度不同所采用的方法也會有很大

5、差異。同一題，不同的解法難、易、繁、簡也相去甚遠(yuǎn)。我們必須仔細(xì)分析找出最恰當(dāng)?shù)霓k法來。,1.比較變形法,常用于結(jié)構(gòu)較為簡單，一些特定節(jié)點(diǎn)位移已知且 計算也較為簡單的問題。,2. 幾何法分析變形,是求解超靜定桿系的基本方法，常用于各桿的變 形關(guān)系較為簡單，超靜定次數(shù)較低的桿系的求解。,但是，一般情況下分析變形尋找等量關(guān)系較為困難。,112 用力法解靜不定系統(tǒng),力法是一種直接求解未知反力的方法。,基本思想: 是以未知約束反力X（反力偶M）為未知數(shù)建立 變形方程。,變形比較法:,是一種求解靜不定梁的直接通過幾何關(guān)系建立補(bǔ)充方程的方法。,1、對于彈性體，變形量與外力成正比 2、未知力產(chǎn)生的變形量，是單

6、位力產(chǎn)生變形量的X （M）倍。 3、而單位力產(chǎn)生的變形量可用莫爾積分法求解。,通過計算這些變形量，最終求解出未知約束反力。,基本原理：,簡支梁中點(diǎn)有支撐并受均布載荷作用的力法分析。,例：,一 取基本結(jié)構(gòu)（去多余約束，補(bǔ)多余反力）,在基本結(jié)構(gòu)中，C點(diǎn)的撓度由q及X1載荷產(chǎn)生。,用疊加法：,二 求C點(diǎn)的總變形,1）由外載荷q作用引起的沿X1方向的位移1 P,符號中：第1個下腳標(biāo)“1”表示該位移在X1 作用點(diǎn)處沿著X1方向發(fā)生；第2個下腳標(biāo)“P”表示該位移是由實(shí)際載荷P引起的。,2）由多余約束反力X1作用引起的沿X1方向的位移1 X1,C點(diǎn)的總位移：1 P1 X1,1 X1需要尋找新算法。,符號中：

7、第1個下腳標(biāo)“1”表示該位移在X1 作用點(diǎn)處沿著X1方向發(fā)生；第2個下腳標(biāo)“X1”表示該位移是由多余約束反力X1引起的。,若以1表示基本結(jié)構(gòu)在外力(q)及多余約束反力(X1)的共同作用下C點(diǎn)沿X1方向的位移。,則C點(diǎn)的總位移： 1 1 P1 X1,1 ,又由于C點(diǎn)是絞支座，則1沿X1方向的實(shí)際位移為零：,即： 1 1 P1 X10,由于實(shí)際載荷P已知，故1 P可用單位力法求出；,而多余約束反力X1未知，故1 X1需要考慮如何計算。,三 計算1 X1(X1引起的沿X1方向的位移),直接計算1 X1較困難。,先在X1作用處沿X1方向假想施加一個單位力，求出僅在該單位力作用下的變形11。,即：1 X

8、1 = 11 X1,由：1 P1 X1 =0,式中，11 及1 P均可用單位力法求出，則X1可求得。, 1 P11 X1 =0,約束反力X1是單位力的X1 倍。,可根據(jù)“彈性體的變形與力成正比”這一特點(diǎn)考慮。,根據(jù)“彈性體的變形與力成正比”這一特點(diǎn)：,單位力的X1 倍的約束反力X1產(chǎn)生的變形 1 X1也是11 的X1倍。,1）1P（僅在外載荷作用下，中點(diǎn)的撓度）：,2）11 （僅在單位力作用下，中點(diǎn)的撓度）,1P5qL4/（384EI）,1 P11 X1 =0,單位力的方向取與X1方向相同。,1 P11 X1 =0,力法的基本思想是： 以未知約束反力X（反力偶M）為未知數(shù)建立 變形方程。,對于

9、彈性體，變形量與外力成正比，未知力產(chǎn)生的變形量，是單位力產(chǎn)生變形量的X（M）倍。而單位力產(chǎn)生的變形量可用莫爾積分法求解。,通過計算這些變形量，最終求解出未知約束反力。,力法可以寫成標(biāo)準(zhǔn)形式的正則方程：,11 X1 +1 P=0,當(dāng)未知力較多時，可以寫成一個線性代數(shù)方程組，而解線性方程組的算法有很多，計算很容易。,所以： 力法適合于解未知力較多的靜不定結(jié)構(gòu)。 特別適合于計算機(jī)求解,參考例題：,三次靜不定剛架,一、取基本結(jié)構(gòu),二、分別計算載荷作用下的變形,三、變形計算,1 =11 X1 12 X213 X3 1 P0,2=21 X1 22 X223 X3 2 P0,3=31 X1 32 X233

10、X3 3 P0,X1 方向的變形：,X2 方向的變形：,X3 方向的變形：,11 X1 12 X213 X3 1 P0,21 X1 22 X223 X3 2 P0,31 X1 32 X233 X3 3 P0,成為三階線性方程組：,寫為矩陣形式：,由位移互等定理：ijji,系數(shù)矩陣中只有六個獨(dú)立的系數(shù)，且是關(guān)于主對角線的對稱矩陣。,先分別計算出系數(shù)矩陣及非齊次項(xiàng)的列向量。即可求出未知量列向量X。,計算1 P：,計算11 ：,類推出其它系數(shù)。,系數(shù)矩陣已知，非齊次項(xiàng)已知，未知量矩陣可得：,將,等計算量代入矩陣：,超靜定問題 力法正則方程,例題懸臂梁AB如圖所示，A、B端固支。,問題為三次超靜定。除

11、掉A 端固支，得到包含未知反力的靜定結(jié)構(gòu)，稱為靜定基。 利用疊加原理，分別畫出外載荷（圖b); 支反力X1和X2（圖b和圖c)單獨(dú)作用圖。,按照歸一化要求，改寫,利用莫爾積分，正則方程中的柔度系數(shù)寫為,提問 ：對二次靜不定問題要作幾個彎矩圖，用莫爾圖乘法，要作幾次圖乘？三次靜不定問題呢?,提問 ：運(yùn)用前面的知識，證明柔度系數(shù)具有對稱性 dij=dji,例題懸臂梁AB如圖所示，A、B端固支。求支反力。,解：畫靜定基（圖a),分別畫彎矩圖b-d;,代入力法正則方程，得,解聯(lián)立方程組得，,例題 內(nèi)力為一次靜不定桁架如圖6-15(a)所示，設(shè)各桿EI相同，求 兩種情況下的各桿軸力：(1) 在力P的作用

12、下；(2) P = 0，但桿5升溫T，已知材料膨脹系數(shù)。,解：(1) 斷開桿5，加一對約束內(nèi)力X1即得靜定基如圖6-15(b)所示。,(2) 僅有桿5升溫，正則方程為 11 X1+ 1T = 0 1T = l5T是因桿5升溫而引起的相對位移,由表中數(shù)據(jù)計算，得到,代入正則方程 11 X1+ 1P = 0 得,，其余各桿的內(nèi)力請讀者自行算之。,提問：在既受到外載荷作用，又有溫度變化時，如何求解此問題？,二、用卡氏定理解超靜定問題的方法：,（）解除多余約束，代之以多余未知力 X1，X2，Xm。,（）將應(yīng)變能U表示為原載荷P1，P2Pn;及多余未知力的函數(shù)U=U(P1,P2,Pn;X1,X2,Xm)

13、。,（）利用多余約束處的位移條件及卡氏定理得：,（Ci為Xi方向的廣義位移，i=1,2,m）,三、有時，利用對稱、反對稱性可以簡化超靜定問題的 計算。,結(jié)論：,對對稱結(jié)構(gòu)（幾何圖形對稱、約束對稱、剛度對稱）而言：,、若受對稱載荷作用（指按對稱軸對折后重合） 則在對稱截面上只有對稱的內(nèi)力，即只可能有 M、N,而Q0,Mt0,、若受反對稱荷載作用，則在對稱截面上只有反 對稱內(nèi)力，即只可能有Q和Mt， 而N0，M0。,、有時還可將問題分解成對稱、反對稱問題求解，如： aM M N N 2P a 分解為P P a 對稱 Q Q P P 反對稱,五、內(nèi)力超靜定系統(tǒng)的解法特點(diǎn)相對位移為0。 例四：用能量法

14、求圖示剛架A、B、C三處的約束力。 已知各桿的EI相同(不計N、Q的影響） 解：此為對稱結(jié)構(gòu)受反對稱 荷載，因此在對稱截面 C處只有反對稱內(nèi)力Qc， 如圖（b）,P,A,B,L,L,L,L,L,L,P,C,各段彎矩如下： L CF段： Qc FD段： DA段： 由 得： 解得：,P,A,對圖(b)易求出A處的反力。再由圖(a)的反對稱性易求處B的反力(略）,F,D,M=QCL,M=QCL - Px,C,如系非對稱問題要注意轉(zhuǎn)化為對稱與反對稱問題。,=,+,3.解析法分析變形,對于變形較為復(fù)雜，幾何分析較為困難的問題可以把結(jié)構(gòu)放到坐標(biāo)系中，給出變形后各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)約束條件，就重要節(jié)點(diǎn)的共線、共面、共圓以及直線和圓的共點(diǎn)等特征，用解析幾何的方法刻畫變形相容關(guān)系。,（1）變形相容方程：,（2）三角形的