合工大微機原理總復(fù)習(xí)-[高教課堂]

1、計算方法總復(fù)習(xí),胡 敏 合肥工業(yè)大學(xué) 計算機與信息學(xué)院 ,1,藤蔓課堂,考試范圍,課堂中重點講述內(nèi)容 課堂例題 作業(yè)習(xí)題,第0章 緒論,關(guān)于有效數(shù)字的位數(shù)問題,若近似值x 的誤差限是某一數(shù)位的半個單位，該位到 x 的第一位非零數(shù)字共有n位，則,稱x 有n 位有效數(shù)字,定義,證明：,有4 位有效數(shù)字，,精確到小數(shù)點后第 3 位。,類似題目： 作業(yè)中習(xí)題一的一、二 題。,第1章 插值與擬合,拉格朗日插值 N次拉格朗日插值多項式公式 余項 牛頓插值 Hermit 插值 二次曲線擬合,一、考核知識點 插值函數(shù)，插值多項式； 拉格朗日插值多項式;插值基函數(shù)； 牛頓插值多項式；差商表; 分段線性插值、線性

2、插值基函數(shù) (二) 復(fù)習(xí)要求 1. 了解插值函數(shù)，插值節(jié)點等概念。 2. 熟練掌握拉格朗日插值多項式的公式， 知道拉格朗日插值多項式余項。 3. 掌握牛頓插值多項式的公式， 掌握差商表的計算，知道牛頓插值多項式的余項。 4. 掌握分段線性插值的方法和線性插值基函數(shù)的構(gòu)造。 5. 了解曲線擬合最小二乘法的意義和推導(dǎo)過程，,一、 n次拉格朗日插值,n,i,y,x,L,i,i,n,.,0,),(,=,=,求 n 次插值多項式 使得,已知: f(xi)=yi (i=0,1,n),k = 0, 1 , n .,結(jié)論:,n次拉格朗日插值多項式,n次拉格朗日插值基函數(shù),設(shè)節(jié)點 , f(x) 在 a,b 上具

3、有 n+1階導(dǎo)數(shù)，Ln(x)是其n次Lagrange插值多項式， 則對,其中,Lagrange插值余項定理,解利用三點二次Lagrange插值.記 則f(x)的二次Lagrange插值多項式為,插值法計算 ，并估計誤差。,例1：已知,誤差估計,差商的計算-差商表,二、 牛頓插值多項式,例 已知x=0, 2, 3, 5對應(yīng)的函數(shù)值為y=1, 3, 2, 5，作三次Newton插值多項式.如再增加x=6時的函數(shù)數(shù)值為6，作四次Newton插值多項式.,解 首先構(gòu)造差商表 xi f(xi) 一階差商 二階差商 三階差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 三

4、次Newton插值多項式為,增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi) 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 6 6 1 -1/6 -1/4 -11/120 四次Newton插值多項為,三、 Hermit插值,已知：,構(gòu)造一個次數(shù)3的多項式H3(x) ，滿足插值條件：,（*）,兩點三次Hermit插值,已知：,構(gòu)造一個次數(shù)3的多項式H3(x) ，滿足插值條件：,（*）,兩點三次Hermit插值（續(xù)1）,直接設(shè),待定系數(shù)將使計算復(fù)雜，且不易推廣到高次?；貞汱agrange插值基函數(shù)的方法，引入四個基函數(shù),

5、使之滿足,5,兩點三次Hermit插值（續(xù)2）,其中,都是次數(shù)為3的多項式,則H3(x)是一個次數(shù)3的多項式且滿足插值條件（*）,基函數(shù)求法：,求,3,同理,設(shè) 由0(x0)=1 ，得 , 于是 同理有,四、擬合,23,藤蔓課堂,(2),12,24,藤蔓課堂,例題,例 設(shè)函數(shù)y=f(x)的離散數(shù)據(jù)如下表所示 試用二次多項式擬合上述數(shù)據(jù).,25,藤蔓課堂,解方程組得 所以二次擬合多項式為,解：設(shè)所求的二次擬合多項式為,則有如下方程組,26,藤蔓課堂,第2章、數(shù)值積分與數(shù)值微分,27,藤蔓課堂,一、等距節(jié)點求積公式,梯形公式,Simpson公式,四、代數(shù)精度的概念,定義2：若一個求積公式對f(x)

6、=1, x, x2 , x m均 精確成立，而對f(x)=x m+1不精確成立,則稱此求積 公式具有m次代數(shù)精度.,驗證: 梯形公式 1次代數(shù)精度 辛甫生公式 3 次代數(shù)精度,定理: 求積公式 至少有n次代數(shù)精度的充要條件是它是插值型求積公式。,換言之，n+1個節(jié)點的插值型求積公式 至少具有 n 次代數(shù)精度,例 設(shè)有求積公式 求A0，A1，A2，使其代數(shù)精度盡量高，并問此時求積公式的代數(shù)精度 解：（3個未知系數(shù)需三個方程） 令求積公式分別對f(x) = 1、x、x2精確成立。即 解之得A0 = A2 = 1/3，A1 = 4/3，,二、復(fù)合求積法,復(fù)合梯形公式,復(fù)合Simpson公式,例：利用

7、函數(shù)表分別利用復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson 公式計算積分 的近似值，,將區(qū)間 8等分，用復(fù)合梯形公式, 得到,解：,將區(qū)間 4等分，用復(fù)合Simpson公式, 得到,三、龍貝格算法,通過上述3個積分值序列求積分近似值的方法， 稱之為Romberg算法。,4個積分值序列：,梯形值序列,Simpson值序列,Romberg值序列,Cotes值序列,圖3.3.1,計算停止準則:同一行或同一列相鄰兩數(shù)之差的 絕對值不超過預(yù)先給定的誤差.,Romberg 算法：,例：用Romberg算法求解定積分：,誤差限：1.0e-5,解：,（要求兩分三次，保留5位有效數(shù)字）,解：按Romberg公式的求積步驟進

8、行計算，結(jié)果如下：,四、數(shù)值微分,第3章、常微分方程的數(shù)值解法,43,藤蔓課堂,歐拉法及改進歐拉法,一、歐拉公式,三 改進歐拉公式,例：用改進歐拉公式求解初值問題,要求取步長h=0.2，計算y(1.2)及y(1.4)的近似 值，小數(shù)點后至少保留5位. 解 設(shè)f(x,y)=-y-y2sinx , x0=1,y0=1, xi=x0+ih=1+0.2i, 改進歐拉公式為,于是有 由y0=1計算得,第4章、方程求根的迭代法,49,藤蔓課堂,一、簡單迭代法,收斂定理局部收斂定理,例設(shè)F(x)=x+c(x2-3)，應(yīng)如何選取c才能使迭xk+1=F(xk)代具有局部收斂性？,解: 方程x=F(x)的根為 ，函數(shù)F(x)在根附近具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，又 F (x)=1+2cx, ，解 得 解 得 從而要使迭代xk+1=F(xk) 具有局部收斂性， 則 .,例 已知迭代公式 收斂于 證明該迭代公式平方收斂。 證: 迭代公式相應(yīng)的迭代函數(shù)為,將 代入，,故迭代公式平方收斂。,二、牛頓迭代法,第5章、 線性方程組的數(shù)值解法,57,藤蔓課堂,直接求解： 高斯消去法 高斯列主元消去法 矩陣的三角分解法： Doolittle 分解法 迭代法 雅克比迭代法 高斯-賽德爾