網(wǎng)絡(luò)教育《數(shù)值分析》作業(yè)及答案

1、 第 1 頁(yè) 共 11 頁(yè) 在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！ 數(shù)值分析作業(yè) 一選擇題 1. 設(shè)2)(5?xxf，等距結(jié)點(diǎn),2),2,1,0(2?hihixi步長(zhǎng)?，則差分?06f_A_。 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 26 2. 設(shè)線(xiàn)性方程組bAx?，其Seidel迭代矩陣B2 , 如果Seidel迭代法收斂，則_B _. (A) 1|22?B (B) 1)(2?B? (C) A 是正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 (D) 0lim?kkA 3. 2m+1個(gè)結(jié)點(diǎn)的插值求積公式的代數(shù)精確度至少為_(kāi)B_，至多為_(kāi). (A) 2m+1 ，4m+1 (B)

2、 2m ，4m+1 (C) 2m+1，4m -1 (D) 2m ， 2m+1 4在計(jì)算機(jī)數(shù)系中，_D_。 (A) 四則運(yùn)算封閉 (B) 結(jié)合律和交換律成立 (C) 不包含零 (D) 均是有理數(shù) 51,5.00?x，由迭代公式)(1kkxgx?構(gòu)造的序列kx收斂于方程0123?xx在該區(qū)間上的根，則?)(xg_C_。 (A) 112?x (B) 31x? (C) 11?x (D) 13?xx 6設(shè)P為n階正交陣，則2|P與)(2Pcond的關(guān)系_D_ 。 (A) 相等，但不一定等于1 (B) 大于 (C) 小于 (D) 相等，且等于1 7設(shè)數(shù)值計(jì)算公式)()()(prhochahFrp?，其理查

3、遜外推公式為_(kāi)C_. (A) 12)()2/()(?phFhFhF . (B) 12)()2/()(?phFhFhF (C) 12)()2/()2/(?phFhFhF .(D) 12)()2/()2/(?phFhFhF 8A為非奇異矩陣，且A=LLT，其中L為下三角矩陣,則_B_. (A) L的主對(duì)角線(xiàn)元素),2,1(0nilii? . (B) A正定對(duì)稱(chēng) (C) A的主對(duì)角線(xiàn)元素不全大于零 . (D) A半正定對(duì)稱(chēng) 9設(shè)10維向量TTYX)10,2,1(,)5,3,4(?，則?|TXY_D_. (A) 50 (B) 85 (C) 110 (D) 275 10設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)非奇異矩陣，?是A

4、的特征值，則_C_。 (A) |1?A? (B) |1?A? (C) |11?A? (D) |11?A? 11已知n階矩陣A可由簡(jiǎn)單消去法得到LU分解，則_B_ 。 (A) A非奇異 (B) A的1階到n-1階順序主子式0? 第 2 頁(yè) 共 11 頁(yè) 在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！ (C) 0?nnu (D) ),2,1(0niuii? 12設(shè)P為n階置換矩陣，A為n階任意矩陣，則2|A與2|PA的關(guān)系_A_ ，?|A與?|PA的關(guān)系_。 (A) 相等，相等 (B) 相等，不一定相等 (C) 不一定相等，相等 (D) 不一定相等，不一定相等

5、13設(shè)),1,0()(njxlj?是以nxxx,10?為結(jié)點(diǎn)的Lagrange基本插值多項(xiàng)式，則)(xlj的次數(shù)為_(kāi)A_。 (A) n (B) 小于n (C) j (D) n+1 14設(shè)s(x)是a,b上的三次樣條插值函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是_C_。 （A）s(x)連續(xù)但不可導(dǎo) （B）s(x)的一階導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù) （C）s(x)的二階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù) （D）s(x)的二階導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù) 15 利用切線(xiàn)法計(jì)算)0(?cc時(shí)，迭代公式為_(kāi)A_。 (A) )(211nnnxcxx? (B) cxxnn?21 (C) 111?nnnnnxxcxxx (D) )(211nnnxcxx? 16設(shè)為)

6、(A?矩陣A的譜半徑，則?)(A?_B_ 。 (A) |sup|A? (B) |inf|A? (C) 22|A (D) 22|AAT 17設(shè)A奇異矩陣，A的1階至n-1階順序主子式不為零，則A有LU分解,且有_D_。 (A) ),1(0niuii? (B) 0?nnu (C) ),1(0niuii? (D) 0?nnu 18設(shè)過(guò)a,b上結(jié)點(diǎn)nxxx,10?的Gauss求積公式?baniiixfwdxxf0)()(，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是_A_ . (A) 該Gauss求積公式是代數(shù)精確度為2n+1的N-C公式 (B) 結(jié)點(diǎn)nxxx,10?是a,b上正交多項(xiàng)式的根 (C) abdxxlbainiin

7、i?)(00? (D) 0)(2?baiidxxl? 19設(shè)線(xiàn)性方程組AX=b可以化成迭代方程組X=BX+g且TBB?，則簡(jiǎn)單迭代法和塞德?tīng)柕ň諗康某湟獥l件是 D 第 3 頁(yè) 共 11 頁(yè) 在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！ a) 1)(?A? b) 11?B c) 1?B d) 12?B 20已知方程xxf?)(，則切線(xiàn)法解此方程的迭代公式為 C a) 01?nx b) )()(1nnnnxfxfxx? c) 1)()(1?nnnnnxfxxfxx d) )()(1nnnnxfxfxx? 21. 設(shè)矩陣TAA?，且AX=b的消元過(guò)程可以進(jìn)

8、行到底，TLDLA?（L為單位下三角陣，D為對(duì)角陣）則應(yīng)滿(mǎn)足條件 A a) 1,2,10?nidii? b) A為正定對(duì)稱(chēng)陣 c) 1,2,10?nidii? d) A為非奇異矩陣 22. 設(shè)A為n 階實(shí)方陣P為n階正交陣，則2PA為 D a) 1A b) ?A c) )(A? d) 2A 23. 將區(qū)間1,1?2等分，用拋物線(xiàn)公式計(jì)算dxx?11211的近似值，則將近似值)(hp= C a) 2/3 b) 10/3 c) 5/3 d) 1 24. 設(shè)m?n階矩陣A的各列線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且AABT?，則 C a) B是半正定對(duì)稱(chēng)陣 b) A的逆矩陣存在 c) B的特征值大于零 d) A是奇異矩陣 二

9、填空題 1 設(shè)?2112A，則?1|A_3_ ，?2|A_3_，譜半徑?)(A?_3_。 2已知函數(shù))(xf在結(jié)點(diǎn)處的值如下， ix -1 21? 0 21 1 )(ixf 1 2 3 -2 -3 利用復(fù)合梯形公式計(jì)算?dxxf11)(_1_ ，再使用一次理查遜外推法，可得?dxxf11)(_2/3_ 。 第 4 頁(yè) 共 11 頁(yè) 在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！ )()(102010nxxxxxx? ?xxxxxgsin1cos)(?3設(shè)2)(100?xxf，等距結(jié)點(diǎn),2),2,1,0(2?hihixi步長(zhǎng)?，則差分?0100f_100!_，

10、?0101f_2100_。 4設(shè)?aaaA020000，且0lim?kkA，則a的取值范圍_ (-1 ,1)_。 5設(shè)),1,0()(njxlj?是以nxxx,10?為結(jié)點(diǎn)的Lagrange基本插值多項(xiàng)式，則)(0xl的差商 ?,100nxxxl?_ _。 6利用newton法求方程xxcos?的根，迭代公式為_(kāi) _ , 收斂階數(shù)至少為_(kāi)2_。 7設(shè)?aaaA020000，且0lim?kkA，則a的取值范圍_ (-1, 1)_。 8設(shè))1(),1,0()(?nnjxlj?是以nxxx,10?為結(jié)點(diǎn)的Lagrange基本插值多項(xiàng)式，則?njjjxlx0)(_x_ 。 9已知2)1(,1)21(,

11、4)0(?fff，利用這5個(gè)結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，由復(fù)合梯形公式計(jì)算?dxxf11)(_4_ ，再由理查遜外推一次得?dxxf11)(_，誤差階數(shù)提高為_(kāi) 。 10過(guò)5個(gè)節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes求積公式的代數(shù)精確度至少為_(kāi)5_，過(guò)5個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss 求積公式的代數(shù)精確度為_(kāi)9_。 11 利用切線(xiàn)法計(jì)算)0(?cc時(shí)，迭代公式為_(kāi) _, 收斂階數(shù)至少為_(kāi)2_ 。 12設(shè)4)1(,3)1(,1)0()0(?pppp，則滿(mǎn)足以上條件的次數(shù)小于或等于3的插值多項(xiàng)式?)(xp_31xx?_。 13 過(guò)三個(gè)結(jié)點(diǎn)1,0,1?，用Romberg積分法計(jì)算?113 1 1dxxx_10/9_，誤差階數(shù)為_(kāi)4_。

12、14設(shè)10維向量TTYX)10,2,1(,)1,9,10(?， 則 ? ? | |X_10_, ?1|Y_55_, )(2 11nnnxcxx?3abb? 第 5 頁(yè) 共 11 頁(yè) 在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！ ?|TXY_550_。 15設(shè)bAaA?1000,使用理查遜外推法外推一步得?11A 。 16設(shè)方程0132?xx在區(qū)間1,1?上的等價(jià)方程為)(xgx?，且)(xg為1,1?上的壓縮映象，則)(xg= 。 17設(shè)?12/112/3A，則?)(2B? 。 18若,0813?則它的三個(gè)根分別為 。 19滿(mǎn)足條件3)1(,1)0(,0)

13、0(?ppp的插值多項(xiàng)式為 。 20設(shè)aAbA?1000,使用理查遜外推法外推一步得?11A 。 三 1.設(shè)1,1?上的函數(shù)22)1)(1()(xxxxf?， 1選取等距結(jié)點(diǎn)1,0,1?，求)(xf的插值多項(xiàng)式. 2 選取等距結(jié)點(diǎn)1,21,0,21,1?，求)(xf的插值多項(xiàng)式. 3四等分區(qū)間1,1?，用拋物線(xiàn)公式近似計(jì)算?11)(dxxf 解：1. 12)(2?xxxp 2. )()(xfxp? 3. 1229 2. 確定常數(shù)A、B、C及a ，使得求積公式：?22)()0()()(aCfBfaAfdxxf 有盡可能高的代數(shù)精確度，并指出其代數(shù)精確度。 解：512,916,910?aBCA,

14、代數(shù)精確度為5 3. 設(shè)A是n階非奇異矩陣， 試證：222)()(AcondAAcondT? 證明：|)(|)(1?AAAAAAcond 設(shè)max的特征值的模AA?，)max(11的特征值的模?AA?，則 上式=2212)(|AcondAA? 312?x3 1431,431,21ii?xx?2 23baa? 第 6 頁(yè) 共 11 頁(yè) 在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！ 4. 設(shè)線(xiàn)性方程組 ?12022 1- 0 0 1- 2 1- 0 0 1- 2 1-0 0 1- 4321xxxx (1)求系數(shù)矩陣A的LU分解和方程組的解. (2)判斷Seid

15、el迭代法是否收斂，并給出Seidel迭代格式的分量形式. 解：1. (12分)?1111433221L ,?4534231112U ,?0101X 2. (8分)Seidel收斂，因?yàn)锳 實(shí)正定對(duì)稱(chēng)陣. 迭代格式 ?2/)1(2/)2(2/)(2/)2()1(3)1(4)(4)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1kkkkkkkkkkxxxxxxxxxx 5. 用插值法求在00?x點(diǎn)與cosx 相切，在21?x點(diǎn)與cosx相交的二次多項(xiàng)式)(2xp ，并在區(qū)間2,0?上估計(jì)余項(xiàng)大小。 解：14)(22?xxp? ，余項(xiàng)6*54|)2(|61)(cos322?xxxpx6. 6.

16、設(shè)A是n階實(shí)矩陣，X、Y是n 維列向量，試證：220,02|sup|YXAXYATYX? 證明： 當(dāng)0?A時(shí)，結(jié)論顯然成立； 當(dāng)0?A時(shí)，因222|XAYAXYT?，故 2220,0|supAYXAXYTYX?； 又AAT是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故存在正交陣),(21npppP? 第 7 頁(yè) 共 11 頁(yè) 在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！ 使得?nTTDAPAP?1， iP是特征值i?對(duì)應(yīng)的特征向量。 不妨設(shè)maxik?， 則 22|AAPAPkkTTk?，令kkAPYpX?,，則 22222222220,0|supAPAAAPAPPAPAPYXAXYk

17、TTTYX? 由上，結(jié)論成立。 7. 設(shè)線(xiàn)性方程組bAX?的系數(shù)矩陣為?1101101aaA 其中a為實(shí)常數(shù)，討論簡(jiǎn)單迭代法和Seidel迭代法收斂的收斂性。 解：簡(jiǎn)單迭代法:不收斂 ?01010001aaB, 1)(1?B? Seildel迭代法:不收斂 ?101000222aaaB，1)(2?B? 8. 函數(shù)),1,0()(njxlj?是過(guò)區(qū)間a,b上的結(jié)點(diǎn)nxxx,10?的基本Lagrange插值多項(xiàng)式，試證： abdxxlnjbaj?0)( 證明：abdxdxxldxxlbabajnjnjbaj?1)()(00 9. 設(shè)A是n階矩陣，X、Y是n維列向量，試證： |max|1|,1|22

18、2AXYATYX? 證明：當(dāng)0?A時(shí)，結(jié)論顯然成立； 當(dāng)0?A時(shí)，因222|XAYAXYT?，故 21|,1|max22AAXYTYX? ； 又AAT是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故存在正交陣),(21npppP? 第 8 頁(yè) 共 11 頁(yè) 在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！ 使得?nTTDAPAP?1， iP是特征值i?對(duì)應(yīng)的特征向量。 不妨設(shè)maxik?， 則 22|AAPAPkkTTk?， 令2|,kkkAPAPYPX?，則1|?YX 22222221|,1|max22APAAAPAPAPAPAXYkkkkkTTkTYX? 由上，結(jié)論成立。 10. 設(shè)線(xiàn)性

19、方?202642442222321xxx 1求系數(shù)矩陣A的LU分解和方程組的解 2求A的條件數(shù))(Acond? 3判斷Seidel迭代法是否收斂，并給出Seidel迭代格式的分量形式。 解：1. ?1110111L, TLU?2222222, ?111X 2. ?212121212110101A, 24)(?Acond 3. A正定，收斂，迭代格式?6/)422(4/)42(2/)222()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx 11. 設(shè)1,1? 上的函數(shù))21)(1()(2?xxxxf， 1、選取等距結(jié)點(diǎn)1,21,0，求)(xf

20、的插值多項(xiàng)式。 2、選取結(jié)點(diǎn)1,43,21,0，求)(xf的插值多項(xiàng)式。 3、在0, 1區(qū)間上任取5個(gè)結(jié)點(diǎn)，求)(xf的插值多項(xiàng)式。 第 9 頁(yè) 共 11 頁(yè) 在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！ 解：1. 過(guò)等距結(jié)點(diǎn)1,21,0的)(xf的插值多項(xiàng)式()0px? 2 過(guò)等距結(jié)點(diǎn)1,43,21,0的)(xf的插值多項(xiàng)式 71713()()()()162424pxxxxxx? 3 ()()pxfx? 12. 設(shè))(xf在區(qū)間,hh?上三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，證明：,hh? 使得 )(6)0()()(212?fhfhfhfh? 證明： 由冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，),(,21

21、hh? ，使得 )(6)0(2)0()0()(132?fhfhfhfhf?， )(6)0(2)0()0()(232?fhfhfhfhf?， 相減，得 )()(216)0()()(21212?ffhfhfhfh? ?)(6)0(2?fhf? ),(hh?. 四、1. 設(shè)矩陣A=?3231532223522121 用緊湊格式法求A的LU分解。L=?,U=? det(A)=? 解：1.?1011122121L ?3332112121U det(A)=9 2. 設(shè)矩陣A=?1097591086781075675 用緊湊格式法求A的LU分解。L=?,U=? det(A)=? 第 10 頁(yè) 共 11 頁(yè) 在您完成作業(yè)過(guò)程中，如有疑難，請(qǐng)登錄學(xué)院網(wǎng)站“輔導(dǎo)答疑”欄目，與老師進(jìn)行交流討論！ 解2. ?12/301125/615/71L ?2/13205/25/15675U det(A)=1 五、1.設(shè))(xf在區(qū)間hh,?上有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明在,hh?，使下式成立 )(6)0()()(212?fhfhfhfh? 解：利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式可知存在