高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題-函數(shù)與基本初等函數(shù)-專題整合2

1、成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 高考總復(fù)習(xí),函數(shù)與基本初等函數(shù),第二章,一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助于函數(shù)的圖像直觀解決，簡單明了,數(shù)形結(jié)合思想,(一)函數(shù)中的思想與方法,函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組 )來使問題獲解有時(shí)，還通過函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的,函數(shù)與方程的思想方法,設(shè)不等式 2x1m(x21)對滿足|m|2的一切實(shí)數(shù)m的取值

2、都成立求x的取值范圍,分類討論思想在本板塊中有突出的體現(xiàn)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)中對底數(shù)a的討論尤其是重點(diǎn)，而在冪函數(shù)中對冪指數(shù)的正負(fù)的討論也常有應(yīng)用,分類討論思想,是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)loga(ax2x)在區(qū)間 2,4上是增函數(shù)，若存在，說明a可取哪些值；若不存在，說明理由,轉(zhuǎn)化與化歸思想是中學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想，如把對數(shù)式與指數(shù)式進(jìn)行必要的轉(zhuǎn)化，把指數(shù)或?qū)?shù)問題通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或二次方程的問題等，其作用就是能將復(fù)雜的問題進(jìn)行分解、化歸為簡單易求的問題,轉(zhuǎn)化與化歸思想,當(dāng)x1,1時(shí)，若22x10)恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍 思路分析如果直接求解，則需要討論a與2的大小關(guān)系，而這里x

3、又是區(qū)間1,1上的變量，因此，討論將變得復(fù)雜；如若能借助指數(shù)式與對數(shù)式之間的關(guān)系，則會(huì)將問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，問題便迎刃而解,要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件：對于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)相等,待定系數(shù)法在求解函數(shù)解析式中的應(yīng)用,待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的

4、數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解,思路分析本題的突破在于設(shè)出二次函數(shù)的一般式，根據(jù)已知條件列出關(guān)于參數(shù)a，b，c的方程或其他關(guān)系式來求解,若題目中給出了抽象函數(shù)滿足的關(guān)系式，在處理這類抽象函數(shù)的問題時(shí)，一般地，應(yīng)將所給的關(guān)系式看作給定的運(yùn)算法則，對某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，并且變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)對某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段,抽象函數(shù)問題,函數(shù)

5、f(x)對任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)1，并且x0時(shí)，f(x)1. (1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)； (2)若不等式f(a2a5)2的解集為a|3a2，求f(2 015)的值 思路分析對于抽象函數(shù)問題，特殊值的代入是問題的突破口，利用題目中所給關(guān)系式是問題的著手點(diǎn),規(guī)范解答(1)證明：設(shè)x10，f(x2x1)1. f(x2)f(x2x1)x1 f(x1)f(x2x1)1f(x1) 函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),(2)f(a2a5)2，設(shè)f(m)2， f(a2a5)f(m)， f(x)在R上是增函數(shù)， a2a5m0，又其解集為3a2， 325m，m1，即f(1)2. 令xn(nN

6、)，y1. f(n1)f(n)f(1)1f(n)1. 數(shù)列f(n)是以f(1)2為首項(xiàng)，公差d1的等差數(shù)列 f(2 015)f(1)(2 0151)12 016.,(二)抽象函數(shù)周期性問題的研究 抽象函數(shù)已逐漸成為近年高考熱點(diǎn)，確定函數(shù)的周期是一大難點(diǎn)，須充分運(yùn)用題目條件，尋找問題的切入點(diǎn)，本專題談?wù)劥_定抽象函數(shù)周期的幾種類型重點(diǎn)談以下幾類問題：對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域中的任意x，(1)函數(shù)值之和等于零型；(2)函數(shù)圖像有xa，xb兩條對稱軸型；(3)函數(shù)值互為倒數(shù)或負(fù)倒數(shù)型；(4)分式遞推型.,即函數(shù)f(x)滿足f(xa)f(xb)0(ab) 對于定義域中任意x滿足f(xa)f(xb

7、)0(ab)，即f(xa)f(xb)，則f(x2a)f(xa)a)f(xa)b)f(xb)a)f(xb)b)，即f(x2a)f(x2b)f(x2a)2b2a)，等價(jià)于f(x2b2a)f(x)，故函數(shù)f(x)的周期T2(ba),函數(shù)值之和等于零型,函數(shù)圖像有xa，xb兩條對稱軸，即f(xa)f(ax)，f(xb)f(bx)，改寫為f(xa)f(ax)f(b(xab)f(b(xab)f(x2ba)，即f(xa)f(xa)2b2a)，等價(jià)于f(x2b2a)f(x)，周期T2(ba),函數(shù)圖像有xa，xb(ab)兩條對稱軸型,函數(shù)f(x)在(，)上滿足關(guān)系式f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，

8、且在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0. (1)判斷函數(shù)yf(x)的奇偶性； (2)求方程f(x)0在閉區(qū)間2 015,2 015上根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論,則f(x)的圖像有x2，x7兩條對稱軸，f(x)在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0， 而f(0)0，f(7)0，故函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)； 由對稱性知由f(1)f(3)0得 f(11)f(13)0，且f(7)f(9)0， 由f(7)0而f(7)0可得函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)； 因此函數(shù)yf(x)是非奇非偶函數(shù),(2)由(*)式還可以表示為f(x)f(4x)， f(x)f(14x)， 由f(4x)f(14x)可知函數(shù)f(x)的周期T10(或直接利用上面的結(jié)論a2，b7，T2(ba)10)f(x)在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0， f(11)f(13)0，f(7)f(9)0，且周期T10， 故方程f(x)0在閉區(qū)間0,10和10,0上都有兩個(gè)解(分別為1,3和7，9)， 從而方程f(x)0在閉區(qū)間0,2 01