線性代數(shù)教材第一章第二節(jié)行化簡(jiǎn)與階梯形矩陣解的存在性與唯一性

1、第二節(jié),行化簡(jiǎn)與階梯形矩陣 解的存在性與唯一性,階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形,至少包含一個(gè)非零元素的行或者列，稱為矩陣的非零行或者非零列。,非零行中最左邊的非零元素，稱為該行的非零首元或者首項(xiàng)元素。,若矩陣滿足下列兩條性質(zhì)，就稱該矩陣為階梯矩陣：,1. 所有非零行都在元素全部為零的行之上；,2. 每一行非零首元所在的列，都在上一行非零首元所在的列的右邊，即非零首元所在的列數(shù)隨著行數(shù)的增大而增大。,則稱為行最簡(jiǎn)形矩陣或Jordan(約當(dāng))階梯型矩陣。,3. 非零行中的非零首元均為1；,4. 每個(gè)非零首元1所在列的其余元素均為0。,如果一個(gè)階梯矩陣還滿足以下兩個(gè)條件：,(證明略),命題 任何一個(gè)非零矩陣都

2、可經(jīng)初等行變換化為階梯矩陣，更進(jìn)一步可化為行最簡(jiǎn)形。,注意：使用不同順序的初等行變換，化出來的階梯矩陣一般是不同的。但是從一個(gè)矩陣出發(fā)，通過不同順序的初等行變換化簡(jiǎn)，得到的行最簡(jiǎn)形是唯一的。,思考：為什么行最簡(jiǎn)形是唯一的？,矩陣的階梯形中，非零首元對(duì)應(yīng)的位置稱為主元位置，位于主元位置的元素稱為主元，主元所在列稱為主元列。,例 化下列矩陣為階梯形，行最簡(jiǎn)形，并求主元列。,解:,矩陣的主元列分別是第一、三、四列。,容易觀察到，不同的初等行變換化出的階梯形不同，但是主元位置是相同的，且行最簡(jiǎn)形是唯一的。,行最簡(jiǎn)形,階梯矩陣,用初等行變換化矩陣為階梯形(行最簡(jiǎn)形)的一般步驟：,1. 從矩陣最左邊的非零

3、列開始，主元位置在該列的第一行；若該,位置元素為零，則用對(duì)換變換將其變?yōu)榉橇阍?，就得到一主元?2. 用初等行變換中的倍加變換將主元下方的元化為零。,3. 蓋住或忽略含有主元位置的行和它上面的所有行。對(duì)余下的子,矩陣應(yīng)用第一步到第三步，就可以得到階梯形矩陣。,4. 若進(jìn)一步要得到行最簡(jiǎn)形，在進(jìn)行第二步時(shí)，要運(yùn)用倍加變換,將主元列中主元以外的所有元化為零，并用數(shù)乘變換將主元化為1.,用化矩陣為階梯形的方法求解線性方程組：,首先對(duì)方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣(或化為行最簡(jiǎn)形),例 求解線性方程組,解:,寫出行最簡(jiǎn)形對(duì)應(yīng)的方程組,方程組有無(wú)窮多解，,通解,注意 此例中，自由變量的出現(xiàn)是因

4、為線性方程組的主元列數(shù)(即基本變量的個(gè)數(shù))少于總未知量個(gè)數(shù)。,主元列數(shù)為3列，即基本變量為3個(gè)，對(duì)應(yīng)于3個(gè)方程，而總的未知量個(gè)數(shù)為5，故剩下的2個(gè)變量就成為了自由變量。,方程組有解時(shí)，自由變量個(gè)數(shù)=總未知量個(gè)數(shù) 主元列數(shù),首先對(duì)方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣(或化為行最簡(jiǎn)形),例 求解線性方程組,解:,由此階梯矩陣可寫出與原方程組同解的方程組,矛盾方程,因此原方程組無(wú)解。,矛盾方程的出現(xiàn)實(shí)際上是因?yàn)榉匠探M的系數(shù)矩陣的主元列數(shù)少于增廣矩陣的主元列數(shù)。,定理1 一個(gè)線性方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)增廣矩陣的最右邊一列不為主元列，即增廣矩陣的階梯形式?jīng)]有如下形式的行：,在有解時(shí)，如果主元列數(shù)等于未知

5、量個(gè)數(shù)，則方程組有唯一解；如果主元列數(shù)少于未知量個(gè)數(shù)，則方程組有無(wú)窮多解。,定理2 一個(gè)線性方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的主元列。,推論1 齊次線性方程組一定有解。,推論2,常數(shù)項(xiàng)全部為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，反之，則稱為非齊次線性方程組。,使用初等行變換求解線性方程組的步驟,1.寫出線性方程組的增廣矩陣。,2.用初等行變換將增廣矩陣化為階梯形，用主元列數(shù)判斷方程組是否有解。若無(wú)解，則停止；否則，進(jìn)行下一步。,3.繼續(xù)進(jìn)行初等行變換化簡(jiǎn)，得到行最簡(jiǎn)形。,4.寫出行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組。,5.改寫第四步得到的每個(gè)非零方程，將其中的基本變量用顯式表示出來，得到方程組的解。,練習(xí)1 設(shè)線性方程組的增廣矩陣可經(jīng)過一系列的初等行變換化為如下階梯矩陣,求解該線性方程組。,解：由于系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的主元列，所以方程組有解。,又由于主元列數(shù)是2，未知量個(gè)數(shù)是3，即主元列數(shù)少于未知量個(gè)數(shù)，所以方程組有無(wú)窮多解。,寫出行最簡(jiǎn)形對(duì)應(yīng)的方程組,再將增