五年級上冊奧數(shù)第五講奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用 通用版例題含答案

1、第五講 奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用一、基本概念和知識1. 奇數(shù)和偶數(shù) 整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類 .能被 2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通常可以用 2k（ k 為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用 2k+1（k 為整數(shù)） 表示。特別注意，因為 0能被 2整除，所以 0是偶數(shù)。2.奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)性質(zhì) 1：偶數(shù)偶數(shù) =偶數(shù)，奇數(shù)奇數(shù) =偶數(shù)。性質(zhì) 2：偶數(shù)奇數(shù) =奇數(shù)。性質(zhì) 3：偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì) 4：奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì)5:偶數(shù)X奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)二奇數(shù)。二、例題利用奇數(shù)與偶數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以巧妙地解決許多實際問題 .例1 1+2+3+1993的和是奇數(shù)？

2、還是偶數(shù)？分析 此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數(shù)，還是偶 數(shù). 但是如果從加數(shù)的奇、偶個數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)，同樣可以判 斷和的奇偶性 . 此題可以有兩種解法。解法 1：t 1+2+3+1993又 997和1993是奇數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)，原式的和是奇數(shù)。解法 2：v 1993-2=9961, 11993的自然數(shù)中，有996個偶數(shù)，有997個奇數(shù)。 996個偶數(shù)之和一定是偶數(shù)，又奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)， 997個奇數(shù)之和是奇數(shù)。因為，偶數(shù) +奇數(shù)=奇數(shù)， 所以原式之和一定是奇數(shù)。例2 一個數(shù)分別與另外兩個相鄰奇數(shù)相乘， 所得的兩個積相差 150，這個 數(shù)是多少？解法1：v相

3、鄰兩個奇數(shù)相差2, 150是這個要求數(shù)的2倍。這個數(shù)是150-2=75。解法2：設(shè)這個數(shù)為x,設(shè)相鄰的兩個奇數(shù)為2a+1, 2a-1 (a 1). 則有(2a+1) x-(2a-1) x=150,2ax+x-2ax+x=1 50 ,2x=150,x=75。這個要求的數(shù)是 75。例3 元旦前夕, 同學(xué)們相互送賀年卡 .每人只要接到對方賀年卡就一定回 贈賀年卡,那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù),還是偶數(shù)？為什么？ 分析 此題初看似乎缺總?cè)藬?shù) . 但解決問題的實質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇 偶性上,因此與總?cè)藬?shù)無關(guān)。解：由于是兩人互送賀年卡,給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一次 . 那么 賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被 2

4、整除,所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。送賀年卡的人可以分為兩種： 一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數(shù)。 另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù) =所有人 送出的賀年卡總數(shù) -所有送出了偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù) =偶 數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)。他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù),才使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù)。 所以,送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。例 4 已知 a、b、c 中有一個是 5，一個是 6，一個是 7. 求證 a-1 ，b-2 ， c-3 的乘積一定是偶數(shù)。證明： a、b、c中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，a、c中至少有一個是奇數(shù)，a-1 , c-3中至少有一個是偶數(shù)。又偶

5、數(shù)x整數(shù)=偶數(shù)， ( a-1 )x( b-2 )x( c-3 )是偶數(shù)。例 5 任意改變某一個三位數(shù)的各位數(shù)字的順序得到一個新數(shù) . 試證新數(shù) 與原數(shù)之和不能等于 999。則有a+a =b+b =c+c =9,因為9不會是進位后得到的又因為a、b、c是a、b、c調(diào)換順序得到的，所以 a+b+c=a +b +c。因此，又有( a+a) +( b+b) +( c+c) =9+9+9，即 2( a+b+c) =3x 9?？梢姡旱仁阶筮吺桥紨?shù)，等式的右邊(3X9=27)是奇數(shù).偶數(shù)工奇數(shù).因此，等式不成立 . 所以，此假設(shè)“原數(shù)與新數(shù)之和為 999”是錯誤的， 命題得證。這個證明過程教給我們一種思考問

6、題和解決問題的方法 . 先假設(shè)某種 說法正確， 再利用假設(shè)說法和其他性質(zhì)進行分析推理， 最后得到一個不可 能成立的結(jié)論，從而說明假設(shè)的說法不成立 . 這種思考證明的方法在數(shù)學(xué) 上叫“反證法”。例 6 用代表整數(shù)的字母 a、 b、 c、 d 寫成等式組：ax bx cx d-a=1991ax bx cx d-b=1993ax bx cx d-c=2019ax bx cx d-d=2019試說明：符合條件的整數(shù) a、 b、 c、 d 是否存在。解：由原題等式組可知：a(bcd-1 ) =1991， b(acd-1 ) =1993，c（abd-1）=2019，d（abc-1）=2019。 1991、

7、1993、2019、2019 均為奇數(shù)，且只有奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù)，a、b、c、d分別為奇數(shù)。ax bx cx d=奇數(shù)。 a、 b、 c、 d 的乘積分別減去 a、 b、 c、 d 后，一定為偶數(shù) . 這與原 題等式組矛盾。.不存在滿足題設(shè)等式組的整數(shù) a、 b、 c、 d。例7 桌上有 9只杯子，全部口朝上，每次將其中 6只同時“翻轉(zhuǎn)” .請說 明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)” .要使 9只杯子 口全朝下，必須經(jīng)過 9 個奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)” . 即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇 數(shù).但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn) 6 只杯子，無論經(jīng)過

8、多少次“翻轉(zhuǎn)”，翻轉(zhuǎn)的 總次數(shù)只能是偶數(shù)次 .因此無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)”，都不能使 9只杯子 全部口朝下。例8假設(shè)n盞有拉線開關(guān)的燈亮著，規(guī)定每次拉動（n-1 ）個開關(guān)，能否 把所有的燈都關(guān)上？請證明此結(jié)論，或給出一種關(guān)燈的辦法。證明：當(dāng) n 為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有的燈關(guān)上。因為要關(guān)上一盞燈，必須經(jīng)過奇數(shù)次拉動它的開關(guān)。由于 n 是奇數(shù)，所以 n 個奇數(shù)的和 =奇數(shù)，因此要把所有的燈（n盞）都關(guān)上，拉動拉線開關(guān)的總次數(shù)一定是奇 數(shù)。但因為規(guī)定每次拉動 n-1 個開關(guān)，且 n-1 是偶數(shù)， 故按規(guī)定拉動開關(guān)的總次數(shù)一定是偶數(shù)。奇數(shù)工偶數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有燈都關(guān)上。當(dāng) n 為偶數(shù)

9、時，能按規(guī)定將所有燈關(guān)上 . 關(guān)燈的辦法如下：設(shè)燈的編號為1, 2, 3, 4,，n.做如下操作：第一次， 1 號燈不動，拉動其余開關(guān)；第二次， 2號燈不動，拉動其余開關(guān)；第三次， 3 號燈不動，拉動其余開關(guān)；第n次，n號燈不動，拉動其余開關(guān).這時所有的燈都關(guān)上了。例9 在圓周上有 1987個珠子，給每一珠子染兩次顏色，或兩次全紅，或 兩次全藍(lán)，或一次紅、一次藍(lán) .最后統(tǒng)計有 1987次染紅， 1987次染藍(lán).求 證至少有一珠子被染上過紅、藍(lán)兩種顏色。證明：假設(shè)沒有一個珠子被染上過紅、 藍(lán)兩種顏色， 即所有珠子都是 兩次染同色.設(shè)第一次染m個珠子為紅色，第二次必然還僅染這 m個珠子 為紅色.則

10、染紅色次數(shù)為2m次。 2m 1987 （偶數(shù)工奇數(shù)）假設(shè)不成立。.至少有一個珠子被染上紅、藍(lán)兩種顏色。例10 如下圖，從起點始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護樹木”的 小牌分別掛在三棵樹上， 那么不管怎樣掛， 至少有兩棵掛牌的樹， 它們之 間的距離是偶數(shù)（以米為單位），這是為什么？解：任意挑選三棵樹掛上小牌， 假設(shè)第一棵掛牌的樹與第二棵掛牌的 樹之間相距a米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間相距 b米，那么 第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的距離 c=a+b （米）（如下圖）， 如果 a、 b 中有一個是偶數(shù)，題目已得證；如果 a、 b 都是奇數(shù)，因為奇數(shù) +奇數(shù)= 偶數(shù)，所以c必為偶數(shù)

11、，那么題目也得證。例 11 某校六年級學(xué)生參加區(qū)數(shù)學(xué)競賽，試題共 40 道，評分標(biāo)準(zhǔn)是：答 對一題給 3 分，答錯一題倒扣 1 分. 某題不答給 1 分，請說明該校六年級 參賽學(xué)生得分總和一定是偶數(shù)。解：對每個學(xué)生來說， 40道題都答對共得 120分，是個偶數(shù).如果答 錯一道，相當(dāng)于從 120分中扣 4分.不論答錯多少道，扣分的總數(shù)應(yīng)是 4 的倍數(shù)，即扣偶數(shù)分 .從120里減去偶數(shù).差仍是偶數(shù).同樣，如果有某題 不答，應(yīng)從 120里減去（ 3-1 ）分.不論有多少道題沒答，扣分的總數(shù)是 2 的倍數(shù)，也是偶數(shù).所以從 120里減去偶數(shù)， 差仍是偶數(shù).因此，每個學(xué)生 得分?jǐn)?shù)是偶數(shù)，那么全年級參賽學(xué)

12、生得分總和也一定是偶數(shù) .例12 某學(xué)校一年級一班共有 25名同學(xué)，教室座位恰好排成 5行，每行 5 個座位. 把每一個座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的鄰位 . 問：讓 這 25 個學(xué)生都離開原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？ 分析 為了便于分析，我們可借助于下圖，且用黑白染色幫助分析 .我們把每一個黑、白格看作是一個座位 . 從圖中可知，已在黑格“座 位”上的同學(xué)要換到鄰座，必須坐到白格上；已在白格“座位”上的同學(xué) 要換到鄰座，又必須全坐到黑格“座位”上 . 因此，要使每人換為鄰座位， 必須黑、白格數(shù)相等。解：從上圖可知：黑色座位有13個，白色座位有12個，13工12,因 此，不可能使

13、每個座位的人換為鄰座位。例 12 的解法，采用了黑白兩色間隔染（著）色的辦法 . 因為整數(shù)按奇偶 分類只有兩類， 所以將這類問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹诎變缮g隔著色， 可以幫助我們 較直觀地理解和處理問題 . 讓我們再看一道例題，再體會一下奇偶性與染 色的關(guān)系。例 13 在中國象棋盤任意取定的一個位置上放置著一顆棋子“馬”，按中 國象棋的走法，當(dāng)棋盤上沒有其他棋子時，這只“馬”跳了若干步后回到 原處，問：“馬”所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：在中國象棋中， “馬”走“日”字，如果將棋盤上的各點按黑白 二色間隔著色（如圖），可以看出， “馬”走任何一步都是從黑色點走到 白色點，或從白色點走到黑色點 . 因此，“

14、馬”從一色點跳到另一同色點， 必定要跳偶數(shù)步 .因此，不論開始時“馬”在棋盤的哪個位置上，而且不論“馬”跳多 少次，要跳回原處，必定要跳偶數(shù)步。例14線段AB有兩個端點，一個端點染紅色，另一個端點染藍(lán)色.在這個 AB線段中間插入n個交點，或染紅色，或染藍(lán)色，得到n+ 1條小線段（不 重疊的線段） . 試證：兩個端點不同色的小線段的條數(shù)一定是奇數(shù)。證明：當(dāng)在AB中插入第一點時，無論紅或藍(lán)色，兩端色不同的線段 仍是一條。插入第二點時有三種情況： 插入點在兩端不同色的線段中，則兩端不同色線段條數(shù)不變。 插入點在兩端同色的線段中，且插入點顏色與線段端點顏色相同， 則兩端不同色線段條數(shù)不變。 插入點在兩

15、端同色的線段中，但插入點顏色與線段端點顏色不同， 則兩端不同色線段條數(shù)增加兩條。因此插入第二個點時端點不同色的線段數(shù)比插入第一個點時端點不同色的線段數(shù)（ =1）多 0 或 2，因此是奇數(shù)（ 1 或 3）。同樣，每增加一個點， 端點不同色的線段增加偶數(shù) （0或 2）條.因此， 無論 n 是什么數(shù)，端點不同色的線段總是奇數(shù)條。第 8 頁習(xí)題五1. 有 100個自然數(shù)，它們的和是偶數(shù) .在這 100個自然數(shù)中，奇數(shù)的 個數(shù)比偶數(shù)的個數(shù)多 . 問：這些數(shù)中至多有多少個偶數(shù)？2. 有一串?dāng)?shù)，最前面的四個數(shù)依次是 1、9、8、7. 從第五個數(shù)起，每 一個數(shù)都是它前面相鄰四個數(shù)之和的個位數(shù)字 . 問：在這一串?dāng)?shù)中，會依 次出現(xiàn) 1、9、8、8 這四個數(shù)嗎？3. 求證：四個連續(xù)奇數(shù)的和一定是 8 的倍數(shù)。4. 把任意 6 個整數(shù)分別填入右圖中的 6 個小方格內(nèi)，試說明一定有一 個矩形，它的四個角上四個小方格中的四個數(shù)之和為偶數(shù)。5. 如果兩個人通一次電話，每人都記通話一次，在 24 小時以內(nèi)，全 世界通話次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總數(shù)為 。(A)必為奇數(shù)，(B)必為偶數(shù)，(C)可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)。6. 一次宴會上，客人們相互握手 . 問握手次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總?cè)?數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。7. 有12張卡片，其中有 3張上面寫著