2015高考數(shù)學(文)真題分類匯編：專題09+圓錐曲線

1、1.【 2015 高考新課標 1，文 5】已知橢圓 E 的中心為坐標原點，離心率為1 ，E 的右焦點與2拋物線 C : y28x 的焦點重合，A, B 是 C 的準線與 E 的兩個交點，則AB( )（A） 3（B） 6（C） 9（D）12【答案】 B【解析】拋物線 C : y28x 的焦點為（2,0），準線方程為x 2 ，橢圓 E 的右焦點為（2,0），橢圓 E 的焦點在 x 軸上，設(shè)方程為x2y21(ab 0) ， c=2，a2b2 ec1 ， a 4 ， b2a2c212 ，橢圓 E 方程為 x2y21，a21612將 x2 代入橢圓 E 的方程解得 A （-2,3）， B（ -2， -3

2、）， |AB|=6 ，故選 B.【考點定位】拋物線性質(zhì)；橢圓標準方程與性質(zhì)【名師點睛】 本題是拋物線與橢圓結(jié)合的基礎(chǔ)題目，解此類問題的關(guān)鍵是要熟悉拋物線的定義、標準方程與性質(zhì)、橢圓的定義、標準方程與性質(zhì)，先由已知曲線與待確定曲線的關(guān)系結(jié)合已知曲線方程求出待確定曲線中的量，寫出待確定曲線的方程或求出其相關(guān)性質(zhì).222.【 2015高考重慶，文 9】設(shè)雙曲線x2 -y2 = 1(a 0,b 0) 的右焦點是 F，ab左、右頂點分別是 A 1, A 2 ,過 F 做 A 1 A 2 的垂線與雙曲線交于B，C 兩點，若A 1BA 2 C ,則雙曲線的漸近線的斜率為（）(A)1(B) 2(C)122(D

3、) 2【答案】 C【解析】由已知得右焦點 F (c,0)(其中 c2a2b 2 ,c0) ，A1 ( a,0), A2(a,0) ， B(c, b 2),C( c, b2) ，aa1從而 A1B (ca, b2), A2 C (c a, b2) ，又因為 A1BA2C，aa所以 A1B A2C0 ，即 (c a) (c a) ( b2 ) ( b2 )0，aa化簡得到 b21b1 ，即雙曲線的漸近線的斜率為1，a2a故選 C.【考點定位】雙曲線的幾何性質(zhì)與向量數(shù)量積.【名師點睛】 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，利用向量垂直的條件來轉(zhuǎn)化兩直線垂直的條件而得到 a 與 b 的關(guān)系式來求解 .本題屬

4、于中檔題，注意運算的準確性.3.【2015 高考四川， 文 7】過雙曲線 x2y21的右焦點且與x 軸垂直的直線交該雙曲線的3兩條漸近線于A、B 兩點，則 |AB| ()43(B)2 3(C)6(D)4 3(A)3【答案】 D【解析】由題意，a 1，b3 ，故 c 2，漸近線方程為y 3 x將 x 2 代入漸近線方程，得y1， 2 23故|AB|4 3 ，選 D【考點定位】本題考查雙曲線的概念、雙曲線漸近線方程、直線與直線的交點、線段長等基礎(chǔ)知識，考查簡單的運算能力.【名師點睛】 本題跳出直線與圓錐曲線位置關(guān)系的?？键c，進而考查直線與雙曲線漸近線交點問題，考生在解題中要注意識別.本題需要首先求

5、出雙曲線的漸近線方程，然后聯(lián)立方程組，接觸線段AB 的端點坐標，即可求得|AB |的值 .屬于中檔題 .4. 【 2015 高考陜西，文3】已知拋物線y22 px( p0) 的準線經(jīng)過點( 1,1) ，則拋物線焦點坐標為（）A (1,0)B (1,0)C (0,1)D (0,1)2【答案】 B【解析】 由拋物線 y22 px( p 0) 得準線 xp ，因為準線經(jīng)過點( 1,1)，所以 p2 ，2所以拋物線焦點坐標為(1,0) ，故答案選B【考點定位】拋物線方程和性質(zhì) .【名師點睛】 1.本題考查拋物線方程和性質(zhì)，采用待定系數(shù)法求出p 的值 .本題屬于基礎(chǔ)題，注意運算的準確性.2.給出拋物線方

6、程要求我們能夠找出焦點坐標和直線方程，往往這個是解題的關(guān)鍵 .5.【2015 高考新課標 1，文 16】已知 F 是雙曲線 C : x2 y21 的右焦點， P 是 C 左支上一8點， A 0,66 ，當APF 周長最小時，該三角形的面積為【答案】 126【考點定位】雙曲線的定義；直線與雙曲線的位置關(guān)系；最值問題【名師點睛】 解決解析幾何問題，先通過已知條件和幾何性質(zhì)確定圓錐曲線的方程，再通過方程研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解析幾何中的計算比較復(fù)雜，解決此類問題的關(guān)鍵要熟記圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的常見思路.36. 【 2015 高考廣東，文8】已知橢圓 x

7、2y21（ m0 ）的左焦點為 F14,0 ，則 m25m2（）A 9B 4C 3D 2【答案】 C【解析】由題意得：m22542 9 ，因為 m 0 ，所以 m 3 ，故選 C【考點定位】橢圓的簡單幾何性質(zhì)【名師點晴】 本題主要考查的是橢圓的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題 解題時要注意橢圓的焦點落在哪個軸上，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點是橢圓的簡單幾何性質(zhì)，即橢圓 x2y21（ ab0 ）的左焦點 F1c,0，右焦點 F2c,0，其中 a2b2c2 a2b27.【 2015 高考天津，文5】已知雙曲線x2y2= 1(a 0,b 0) 的一個焦點為 F (2,0),且雙a2-2b(x -

8、2+ y 2 = 3 相切 ,則雙曲線的方程為（曲線的漸近線與圓2)）x2y2= 1(B)x2y2=1(C)x2- y2= 1(D)(A)-93913132x2 -y=1【答案】 D222b【解析】由雙曲線的漸近線bxay 0 與圓 (x - 2)+ y= 3相切得223 , 由abca2b22 ,解得 a1,b3 ,故選 D.【考點定位】圓與雙曲線的性質(zhì)及運算能力.【名師點睛】 本題是圓與雙曲線的交匯題,雖有一定的綜合性,但方法容易想到,仍屬于基礎(chǔ)題.不過要注意解析幾何問題中最容易出現(xiàn)運算錯誤,所以解題時一定要注意運算的準確性與技巧性 ,基礎(chǔ)題失分過多是相當一部分學生數(shù)學考不好的主要原因.8

9、.【 2015 高考湖南，文x2y21的一條漸近線經(jīng)過點（3，-4），則此雙曲線6】若雙曲線b2a2的離心率為 ()4A 、7B、 5C、 4D 、 53433【答案】 D【解析】因為雙曲線x2y21的一條漸近線經(jīng)過點（3， -4），a2b23b4a， （9 c2a2） 16a2， ec = 5故選 D.a3【考點定位】雙曲線的簡單性質(zhì)【名師點睛】 漸近線是雙曲線獨特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口 . 與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：(1)與雙曲線x2y21 共漸近線的可設(shè)22ab22b22為 xy(0) ； (2) 若漸近線方程為yy(0) ；(3) 雙x ，

10、則可設(shè)為 xa2b2aa2b 222曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長b ；(4)xya2b21(a 0.b0) 的一條漸近線的斜率為 bc2a2e21 . 可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口aa2的大小另外解決不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是確定極端或極限位置.9.【 2015 高考安徽，文6】下列雙曲線中，漸近線方程為y2x 的是（）（A） x2y21（ B） x2y2144（C） x2y21（D） x2y2122【答案】 A【解析】由雙曲線的漸進線的公式可行選項A 的漸進線方程為 y2x ，故選 A.【考點定位】本題主要考查雙曲線的漸近線公式.【名師點睛】

11、在求雙曲線的漸近線方程時，考生一定要注意觀察雙曲線的交點是在x 軸，還是在 y 軸，選用各自對應(yīng)的公式，切不可混淆.10.【2015 高考湖北，文 9】將離心率為 e1的雙曲線 C1 的實半軸長 a 和虛半軸長 b ( a b) 同時增加 m ( m 0)個單位長度，得到離心率為e2 的雙曲線 C2，則（）A 對任意的a, b ， e1e2B當 ab 時，e1e2；當 ab 時，e1e2C對任意的a, b ， e1e2D當 ab 時，e1e2；當 ab 時，e1e25【答案】 D .【解析】不妨設(shè)雙曲線C1 的焦點在 x 軸上，即其方程為：x2y21，則雙曲線 C2的方程a2b2為：x2y21

12、，所以e1a 2b21b2(a m)2(b m) 2aa 2 ，(am)2(bm)2(bm)2e21，當 ab 時，am(am)2bm b(bm) ab(am)(ab) mbm22b ，所以b，所以a m a(a m)a0 ，所以 b ma ma(a m) aa m ae2e1 ；當 abmb(bm)a b( am)(ab)m0，所以 bmb ，所以b 時，( a m)a(a m)aa m aa m ab2b2m，所以 e2e1 ；故應(yīng)選 D .ama【考點定位】 本題考查雙曲線的定義及其簡單的幾何性質(zhì)，考察雙曲線的離心率的基本計算，涉及不等式及不等關(guān)系 .【名師點睛】 將雙曲線的離心率的計算

13、與初中學習的溶液濃度問題聯(lián)系在一起，突顯了數(shù)學在實際問題中實用性和重要性，充分體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法在解題中的應(yīng)用，能較好的考查學生思維的嚴密性和縝密性.11.【 2015 高考福建，文11】已知橢圓 E : x2y 21(ab0) 的右焦點為F 短軸的一a2b2個端點為 M ，直線 l : 3x4 y0交橢圓 E 于 A, B 兩點若 AFBF4，點 M 到直線l 的距離不小于4 ，則橢圓 E 的離心率的取值范圍是（）5A (0,3 B (0, 3C 3 ,1)D 3,1)2424【答案】 A【解析】設(shè)左焦點為 F ，連接 AF1 ，BF1 則四邊形 BF1 AF 是平行四邊形， 故

14、AF1BF ，所以AFAF142a ，所以 a2 ，設(shè) M (0, b) ，則 4b4 ，故 b 1，從而 a2 c2 1 ，5560c23，0c3 ，所以橢圓 E 的離心率的取值范圍是(0,3 ，故選 A2【考點定位】1、橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)；2、點到直線距離公式【名師點睛】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，將 AFBF 4轉(zhuǎn)化為AFAF1 42a ，進而確定 a的值， 是本題關(guān)鍵所在， 體現(xiàn)了橢圓的對稱性和橢圓概念的重要性， 屬于難題 求離心率取值范圍就是利用代數(shù)方法或平面幾何知識尋找橢圓中基本量 a, b,c 滿足的不等量關(guān)系，以確定c 的取值范圍a12【 2015 高考浙江，文 15】橢

15、圓 x2y2（ ab0 ）的右焦點 F c,0關(guān)于直線yba2b21xc的對稱點 Q 在橢圓上，則橢圓的離心率是【答案】22nb1F c,0bmc c【解析】設(shè)關(guān)于直線x 的對稱點為 Q (m, n)，則有，解得ynb m2c2c2mc32b2, nbc22bcc32b2bc22bc)在橢圓上，即有a2a2，所以Q(a2,a2(c32b2 )2(bc22bc)21 ，解得 a22c2，所以離心率 ec2.a4a2b2a2【考點定位】1.點關(guān)于直線對稱； 2.橢圓的離心率 .【名師點睛】本題主要考查橢圓的離心率.利用點關(guān)于直線對稱的關(guān)系，計算得到右焦點的對稱點，通過該點在橢圓上，代入方程，轉(zhuǎn)化得

16、到關(guān)于a,c 的方程，由此計算離心率.本題屬于中等題。主要考查學生基本的運算能力.13. 【 2015高考北京，文12】已知2,0是雙曲線 x2y21 （ b0 ）的一個焦點，則b2b7【答案】3【解析】由題意知c2, a1， b2c2a23 ，所以 b3 .【考點定位】雙曲線的焦點.【名師點晴】 本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題 解題時要注意雙曲線的焦點落在哪個軸上，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，即雙曲線x2y21（ a0 ， b0）的左焦點 F1c,0 ，右焦點 F2c,0 ，其中a2b2c2b2a2 【2015高考上海，文7】拋物線y22

17、px p0)上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，(則 p.【答案】 2【解析】依題意，點Q 為坐標原點，所以p1，即 p 2.2【考點定位】拋物線的性質(zhì)，最值.【名師點睛】 由于拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等，所以拋物線的頂點到焦點的距離最小 .【2015高考上海， 文 12】已知雙曲線 C1 、 C2 的頂點重合， C1 的方程為 x2y21，若 C24的一條漸近線的斜率是 C1 的一條漸近線的斜率的2 倍，則 C2 的方程為.【答案】 x2y 2144【解析】因為C1 的方程為x2y2，所以C1 的一條漸近線的斜率k1141，所以 C2 的一2條漸近線的斜率k21，因為雙曲線

18、C1 、 C2 的頂點重合，即焦點都在x 軸上，設(shè) C2 的方程為x2y21(a0,b0) ，a2b2所以 ab 2，所以 C2 的方程為x2y 21 .448【考點定位】雙曲線的性質(zhì)，直線的斜率.【名師點睛】 在雙曲線的幾何性質(zhì)中，應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程同時要熟練掌握以下三方面內(nèi)容：(1) 已知雙曲線方程，求它的漸近線；(2)求已知漸近線的222c a雙曲線的方程；(3) 漸近線的斜率與離心率的關(guān)系，如k bc21aaa2e 1.14.【 2015 高考山東，文x2y 21（ a0, b0）的右焦點作一條與其漸15】過雙曲線 C： 22aa近線平行的直線，交C 于點 P

19、.若點 P 的橫坐標為2a ,則 C 的離心率為.【答案】 23【解析】雙曲線 x2y21的右焦點為(c,0) .不妨設(shè)所作直線與雙曲線的漸近線yb x 平a2a2a行，其方程為 yb (xc) ，代入 x2y21求得點P的橫坐標為 xa2c2，由aa2a22ca2c22a ，得 ( c )24 c10 ，解之得 c23 ， c23 （舍去，因為離心2caaaa率 c1），故雙曲線的離心率為23 .a【考點定位】1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線方程 .【名師點睛】 本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及直線方程，解答本題的關(guān)鍵， 首先是將問題進一步具體化，即確定所作直線與哪一條漸近線平行，事實上，由雙曲線

20、的對稱性可知，兩種情況下結(jié)果相同； 其次就是能對所得數(shù)學式子準確地變形，利用函數(shù)方程思想， 求得離心率 .本題屬于小綜合題，也是一道能力題，在較全面考查直線、雙曲線等基礎(chǔ)知識的同時，考查考生的計算能力及函數(shù)方程思想 .15.【 2015 高考安徽，文x2y21(ab 0), 點 O 為坐標原點，20】設(shè)橢圓 E 的方程為b2a2點 A 的坐標為 (a,0) ,點 B 的坐標為（ 0， b） ,點 M 在線段 AB 上，滿足 BM2 MA ,直線5OM 的斜率為.10（）求 E 的離心率e;9（）設(shè)點C 的坐標為（ 0， -b） ,N 為線段 AC 的中點，證明：MNAB.【答案】（） 25（）

21、詳見解析.5【解析】（）解：由題設(shè)條件知，點M ( 2 a, 1 b) ，又 kOM5從而 b5.33102a10進而 a5b,ca 2b22b ，故 ec25.a5（）證：由 N 是 AC 的中點知，點N 的坐標為a ,b ，可得 NMa ,5b.2266又 ABa,b ，從而有 ABNM1 a 25 b 21 5b 2a2666由（）得計算結(jié)果可知a25 2,所以AB NM0，故MNAB.b【考點定位】本題主要考查橢圓的離心率，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識.【名師點睛】本題主要將橢圓的性質(zhì)與求橢圓的離心率相結(jié)合，同時考查了中點坐標公式，以及解析幾何中直線與直線垂直的常用方法，本題考查了考

22、生的基本運算能力和綜合分析能力.16【 2015 高考北京，文 20】（本小題滿分14 分）已知橢圓 C: x23y 23 ，過點 D 1,0且不過點2,1的直線與橢圓 C 交于，兩點，直線與直線 x 3 交于點（ I ）求橢圓 C 的離心率；（ II）若垂直于 x 軸，求直線的斜率；（ III）試判斷直線與直線 D 的位置關(guān)系，并說明理由【答案】（ I ）6 ；（ II ） 1；（ III）直線與直線 D平行 .3【解析】試題分析： 本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)、直線的斜率、 兩直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力. （ I ）先將橢圓方程

23、化為標準方程，得到a ， b ， c 的值，再利用ec的特殊位計算離心率；（ II ）由直線a1011置，設(shè)出，點坐標，設(shè)出直線的方程，由于直線與 x3 相交于點，所以得到點坐標，利用點、點的坐標，求直線的斜率；（ III ）分直線的斜率存在和不存在兩種情況進行討論，第一種情況， 直接分析即可得出結(jié)論，第二種情況，先設(shè)出直線和直線的方程，將橢圓方程與直線的方程聯(lián)立， 消參，得到 xx和 x x，1212代入到 kBM1中，只需計算出等于0 即可證明 kBMkDE ，即兩直線平行 .試題解析：（）橢圓 C 的標準方程為 x2y21.3所以a3，2.b 1 c所以橢圓 C 的離心率 ec6.a3（

24、）因為過點 D (1,0) 且垂直于 x 軸，所以可設(shè)A(1, y1) ， B(1,y1 ) .直線的方程為 y 1(1y1)( x 2) .令 x 3，得 M (3,2 y1 ) .所以直線的斜率 kBM2y1y11.31（）直線與直線 D平行 . 證明如下：當直線的斜率不存在時，由（）可知kBM1 .又因為直線 D的斜率 kDE101，所以 BM / /DE .21當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為yk (x1)(k1) .設(shè) A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，則直線的方程為 y 1y11 ( x 2) .x12令 x 3，得點 M (3, y1 x13) .x12由

25、x23y23 ，得 (1 3k 2 ) x26k2 x 3k 23 0.yk( x1)所以 x1x26k23k 23.1， x1 x213k 23k2y1x13x1y2直線的斜率 kBM23.x2因為 kBM1k( x1 1) x13 k( x1 1)( x12) (3 x2 )( x1 2)(3 x2 )( x12)(k 1) x1x22( x1x2 ) 3)(3 x2 )( x12)(k 1)3k2312k23)13k 213k 2(3x2 )( x12)0 ，所以 kBM1kDE .所以 BM /DE.綜上可知，直線與直線 D平行.考點：橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)、直線的斜率、兩直線的位

26、置關(guān)系.【名師點晴】 本題主要考查的是橢圓的標準方程、橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線的斜率和兩條直線的位置關(guān)系，屬于中檔題 解題時一定要注意直線的斜率是否存在，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點是橢圓的離心率，直線的兩點斜率公式和兩條直線的位置關(guān)系，即橢圓 x2y21（ ab 0 ）的離心率 ec ，過1x1, y1， 2x2, y2 的直線斜率a2b2aky2y1 （ x1x2 ），若兩條直線 l1 : y k1xb1 ， l 2 : yk2xb2 斜率都存在，則x2x1l1/l2k1k2且 b1b2 17.2015高考福建，文19】已知點 F 為拋物線E : y22 px( p0)的焦點，

27、點A(2, m)在【拋物線 E 上，且 AF3 （）求拋物線E 的方程；（）已知點 G ( 1,0) ，延長 AF 交拋物線 E 于點 B ，證明：以點 F 為圓心且與直線GA 相切的圓，必與直線GB 相切12【答案】（） y24x ；（）詳見解析【解析】解法一： （ I）由拋物線的定義得F 2p2因為F3，即 2p3，解得 p2 ，所以拋物線的方程為 y24x 2（II ）因為點2,m 在拋物線: y24x 上，所以 m22，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)2,22由 2,22， F 1,0 可得直線F 的方程為 y22x 1 y22x1，得 2x25x20 ，由y24x解得 x2 或 x1 ，從而

28、1 ,222又G 1,0 ，所以 kG2 20 2 2 ， kG2 02 2 ，2131312所以 kGkG0 ，從而GFGF ，這表明點 F 到直線 G， G的距離相等，故以 F 為圓心且與直線 G相切的圓必與直線 G相切解法二：（ I ）同解法一（II ）設(shè)以點 F 為圓心且與直線 G相切的圓的半徑為 r 13因為點2,m在拋物線:y24x 上，所以 m22 ，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)2,22由 2,22， F1,0 可得直線F 的方程為 y22x 1 y22x1，得 2x25x20 ，由4xy2解得 x2 或 x1，從而1 ,222又 G1,0，故直線 G的方程為22x3 y 220 ，從而 r222242 8917又直線 G的方程為 2 2x3 y220，所以點F到直線 G的距離 d222242r8917這表明以點 F 為圓心且與直線G相切的圓必與直線G相切【考點定位】 1、拋物線標準方程；2、直線和圓的位置關(guān)系【名師點睛】 利用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點距離和到準線距離進行轉(zhuǎn)化，從而簡化問題的求解過程，在解拋物線問題的同