梯形問題的解題策路與方法

1、梯形問題的解題策路與方法解決梯形問題經(jīng)常要根據(jù)條件添加輔助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的三角形或平行四邊形問題解決，使一些分散的條件適當(dāng)集中，再進(jìn)行解答。一、延長(zhǎng)兩腰延長(zhǎng)梯形的兩腰，使它們交于一點(diǎn)，可得到兩個(gè)相似三角形。例1如圖，在梯形ABCD中，AD / BC，EF / BC，梯形AEFD的面積與梯形EBCF2 2 2的面積相等。求證：AD BC 2EF。分析：條件是兩個(gè)梯形的面積相等，而結(jié)論是三線段長(zhǎng)的平方關(guān)系，如果延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)，就可得到三個(gè)相似的三角形，再利用相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系變形就可得 出結(jié)論。證明：延長(zhǎng)BA、CD使它們相交于 0點(diǎn),/ AD/EF ,OADS OEF2

2、ADEFOEFOADS OEFEF2 AD2EF2S梯形 AEFDS DEF S OADEF2 AD2EF2S OEF同理,S梯形AEFDBC2 EF2EFS OEF故得 EF2 AD2 BC2 EF22 2 2 AD BC 2EF評(píng)注：面積與線段的平方關(guān)系可借助相似三角形來解決。此題添加輔助線后得到若干個(gè)相似三角形，把條件都集中在三角形中，有助于問題的解決。二、平移對(duì)角錢平移對(duì)角錢，一般是過小底的一個(gè)端點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，與另一底的延長(zhǎng)線相交,得到一個(gè)平行四邊形和三角形，把梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形問題解決。在解題中，平移一條對(duì)角線后得到一個(gè)直角三角形，并且所有條件在聚集在這個(gè)三角

3、形中，使問題易于解決。三、作梯形的高從梯形小底的兩端向大底引垂線，可以得到一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形。例3如圖，梯形ABCD中，AD/BC，AC、BD為對(duì)角線，求證：AC2 BD2 AB2 CD2 2BC AD分析：由結(jié)論聯(lián)想到勾股定理，因此，分別過A、D作BC的垂線，垂足為 E、F，得到Rt AEC和Rt DFB，分別用勾段定理，然后化簡(jiǎn)就可得到結(jié)論。證明：過點(diǎn)A作AE BC，垂足為E ,過點(diǎn)D作DF BC，垂足為F ,則AE/ DF。AC2 AE2 CE22 2 2 2AB BE CE AB BE CE CE BEAB2 BC CE BE AB2 BC BC BE BEAB2BC22BCBE

4、同理BD2 CD2 22 BC2 2BCCFAC2BD2AB2CD22BC22BC BE CFAB2CD22BCBC BECFAB2CD22BCEF ,又 AD / BC , EF ADAC2BD2AB2CD22BCAD評(píng)注：證明平方關(guān)系，往往要構(gòu)造直角三角形，使問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形。四、平移梯形的腰平移梯形一腰或兩腰，把梯形的腰、兩底角等轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中，同時(shí)還得到平行四邊形。例3是如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，若B C 90。AD 7，BC 15，求 EF。B M F N C分析：由條件 B C 90，我們通過平移AB、DC ；構(gòu)造直角三角形MEN，

5、 使EF恰好是 MEN的中線。解：過 E 作 EM / AB , EN / DC，分別交 BC 于 M、N B C 90 ,EMN ENM 90MEN是直角三角形， AD 7 , BC 15 ,MN 8。/ E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),1EF -MN 4 F為MN的中點(diǎn)，2評(píng)注：這里平移樣形的兩腰解題，而過一腰的端點(diǎn)作另一腰的平行線也是常用的輔助線。五、過梯形一腰的中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形取一腰的中點(diǎn)，連結(jié)頂點(diǎn)和這個(gè)中點(diǎn)并延長(zhǎng)與對(duì)邊的延長(zhǎng)線相交，可得兩個(gè)全等三角形。例4如圖，梯形ABCD中，AB/DC，CE、BE分別平分 C和 B，E為AD中點(diǎn)，求證：AB DC BC。分析：要證明 AB DC B

6、C，可以利用E為AD中點(diǎn)，延長(zhǎng)CE與BA的延長(zhǎng)線交于F , DCE竺 AFE，得到CD FA，再證明BC BF即可。證明：延長(zhǎng)CE、BA交于點(diǎn)F F,顯然DCF _ AFE o CD FA , CE FE。又BCDCBA 180DCEECBCBEEBACBEBCE 90 . CEB90 BE是線段CF的垂直平分線。BC BF BA AF BC BA CD。評(píng)注：添加輔助線后，溝通了 BC、BA與CD的聯(lián)系，由線段垂直平分線性質(zhì)得出BC BF，從而問題獲得解決。六、將梯形補(bǔ)成平行四邊形；例5如圖，梯形ABCD中，AB/CD，M為腰BC的中點(diǎn)，求證:S AMDS梯形ABCD2A BE DC分析：AMD與梯形ABCD勺面積關(guān)系不明顯，如果利用梯形助特點(diǎn)把它補(bǔ)成如圖7的平行四邊形，它們之間的關(guān)系就清晰了。證明：延長(zhǎng)BA，使AF CD，延長(zhǎng)CD，使DE AB ；則BFgCE ,則四邊形BCEF是平行四邊形。 P為EF的中點(diǎn)，連結(jié)PM , PM與AD交于點(diǎn)N。連結(jié)AP、PD，則111S APMS平行四邊形BFPM 二S平行四邊形BCEFS梯形ABCD242。/ MN/AB , M 是 BC 中點(diǎn)，.N為AD中點(diǎn)且是PM中點(diǎn)。.四邊形AMDP是平行四邊形,1. S AMDS APNSaMD2S梯形ABCD評(píng)注：梯形補(bǔ)成平行四邊形，各種關(guān)系明顯、直觀，