誤差傳播定律

1、第五章 測(cè)量誤差的基本知識(shí),測(cè)量誤差概述 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn) 誤差傳播定律及其應(yīng)用 等精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值及精度評(píng)定,5-1 測(cè)量誤差概述,誤差的概念及來(lái)源 誤差：對(duì)于某一個(gè)客觀存在的量，盡管采用了比較精密的儀器和合理的觀測(cè)方法，測(cè)量人員工作的態(tài)度也很認(rèn)真負(fù)責(zé)，但多次測(cè)量的結(jié)果觀測(cè)值與觀測(cè)值之間，或觀測(cè)值與理論值（真值）之間總是存在差異，這種不可避免的差異叫做誤差， 。 儀器誤差：由于儀器設(shè)計(jì)、制作不完善，或經(jīng)檢驗(yàn)校正還存在殘余誤差，給觀測(cè)值帶來(lái)的誤差。 人為誤差：由于人的感覺(jué)器官鑒別能力的限制，技術(shù)水平的高低和工作態(tài)度的好壞，給觀測(cè)值帶來(lái)的誤差。 外界條件的影響：由于測(cè)量時(shí)外界自然條件如溫度、

2、濕度、風(fēng)力等的變化，給觀測(cè)值帶來(lái)的誤差。 觀測(cè)條件 等精度觀測(cè)與非等精度觀測(cè),誤差的分類,系統(tǒng)誤差 在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和大小具有確定性的規(guī)律，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差具有累積性?？梢栽谟^測(cè)前采取有效的預(yù)防措施、觀測(cè)時(shí)采用合理的方法，觀測(cè)后對(duì)觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行必要的計(jì)算改正，來(lái)盡量消除或減小系統(tǒng)誤差的影響。 偶然誤差 在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果單個(gè)誤差出現(xiàn)的符號(hào)和大小都表現(xiàn)出偶然性，但多次觀測(cè)的誤差總體上具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。 任何觀測(cè)值都會(huì)包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差，有時(shí)還包含粗差（錯(cuò)誤）。 當(dāng)觀測(cè)值中的粗差被剔除，系統(tǒng)誤差

3、被消除或削弱到最小限度，可以認(rèn)為觀測(cè)值中僅含偶然誤差，從而把觀測(cè)值和偶然誤差都當(dāng)作隨機(jī)變量，用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)研究。,偶然誤差的分布,一定的觀測(cè)條件，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的誤差分布。 偶然誤差服從數(shù)學(xué)期望為0的正態(tài)分布，即 。,偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性,在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值超過(guò)一定限度的概率為0； 絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大； 絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等； 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。,5-2 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn),中誤差：在測(cè)量工作中，用來(lái)反映誤差分布的密集程度的量，其大小為該組觀測(cè)值所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值。 由真誤差計(jì)算中誤差的公式 容許

4、誤差：測(cè)量中規(guī)定的誤差的限值，通常取中誤差的三倍或兩倍作為限差。 相對(duì)誤差：中誤差與觀測(cè)值的比值，并將分子化作1。,5-3 誤差傳播定律及其應(yīng)用,誤差傳播定律 解決如何根據(jù)觀測(cè)值的中誤差，求得觀測(cè)值函數(shù)的中誤差。 線性函數(shù)的誤差傳播定律 非線性函數(shù)的誤差傳播定律 誤差傳播定律在測(cè)量上應(yīng)用舉例 水準(zhǔn)測(cè)量的精度 距離測(cè)量的精度 水平角測(cè)量的精度 根據(jù)實(shí)際要求確定觀測(cè)精度和觀測(cè)方法,誤差傳播定律（線性函數(shù)）,設(shè)t個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值的線性函數(shù) 則有 假若對(duì)該組觀測(cè)值進(jìn)行n次觀測(cè)，有 將上列n個(gè)式子平方后求和，得 其中 有,誤差傳播定律（線性函數(shù)）,兩種特殊情況 （1）設(shè)Z是一組同精度獨(dú)立觀測(cè)值的代數(shù)和，該組

5、觀測(cè)值的中誤差均為m，即 則 （2）對(duì)某量同精度觀測(cè)n次，算術(shù)平均值為 設(shè)一次觀測(cè)的中誤差為m, 則,誤差傳播定律（非線性函數(shù)）,設(shè)t個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值的非線性函數(shù) 對(duì)該式求全微分，并用真誤差代替微分量，有 再利用線性函數(shù)的誤差傳播定律公式，可得,誤差傳播定律（非線性函數(shù)）,設(shè)沿傾斜面上A、B兩點(diǎn)間量得距離 ，并測(cè)得兩點(diǎn)之間的高差 。 試求水平距離 及其中誤差 。 解： 對(duì) 求全微分，得 于是 即 。,誤差傳播定律（非線性函數(shù)）,設(shè)對(duì)下圖中的三角形測(cè)得 ， ； 試求 邊的長(zhǎng)度及其中誤差 。 解： 為便于對(duì) 求全微分，先對(duì)其取自然對(duì)數(shù)，得 ，然后對(duì)上式求全微分，有 統(tǒng)一單位后 ，則有 即 。,運(yùn)用誤差

6、傳播定律的方法,（1）建立函數(shù) （2）對(duì)于獨(dú)立觀測(cè)值的線性函數(shù)，可直接應(yīng)用誤差傳播定律公式；若自變量中有非獨(dú)立觀測(cè)值，應(yīng)變換成獨(dú)立觀測(cè)值的線性函數(shù)后，才能應(yīng)用誤差傳播定律。 （3）對(duì)非線性函數(shù)，必須先求其全微分化成線性形式。 （4）連乘連除的非線性函數(shù)，可先取對(duì)數(shù)，再求全微分。 （5）注意統(tǒng)一單位。,誤差傳播定律在測(cè)量上應(yīng)用舉例,（1）水準(zhǔn)測(cè)量的精度 設(shè)A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差h施測(cè)了n個(gè)測(cè)站，則 若各測(cè)站觀測(cè)的精度相同，其中誤差均為 ，則 。 設(shè)各測(cè)站的S大致相等，A、B間的距離為L(zhǎng)，則測(cè)站數(shù) 如果L、S均以千米為單位，則 為一千米觀測(cè)高差的中誤差，令 則有,誤差傳播定律在測(cè)量上應(yīng)用舉例,（2

7、）距離丈量的精度 若用長(zhǎng)度為l的鋼尺量距，連續(xù)丈量n個(gè)尺段，設(shè)全長(zhǎng)為D，則 設(shè)每尺段的量距中誤差為 則 其中 是定值，為單位長(zhǎng)度的量距中誤差。 即,誤差傳播定律在測(cè)量上應(yīng)用舉例,(3)水平角測(cè)量的精度 J6級(jí)經(jīng)緯儀一測(cè)回方向中誤差為 角值是兩個(gè)方向值之差，故一測(cè)回角值中誤差為 設(shè)n邊形各內(nèi)角均觀測(cè)一測(cè)回，其閉合差為 n邊形閉合差的中誤差為 取三倍中誤差為容許誤差，則多邊形閉合差的容許誤差為 一般取 或 。,誤差傳播定律在測(cè)量上應(yīng)用舉例,（4）根據(jù)實(shí)際要求確定觀測(cè)精度和觀測(cè)方法 設(shè)對(duì)某三角形觀測(cè)了 及 ，若 角以3的精度觀測(cè)，為使 角的中誤差 5，問(wèn) 應(yīng)以怎樣的精度進(jìn)行觀測(cè)？若使用J6級(jí)經(jīng)緯儀應(yīng)

8、測(cè)幾測(cè)回？ 解： 根據(jù)誤差傳播定律，有 所以 J6級(jí)經(jīng)緯儀一測(cè)回測(cè)角中誤差為8.5， 若觀測(cè)n個(gè)測(cè)回， 角平均值的中誤差為 則有 即 角應(yīng)測(cè)5測(cè)回。,5-4 等精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其精度評(píng)定,算術(shù)平均值 算術(shù)平均值的中誤差 觀測(cè)值的中誤差 由觀測(cè)值的真誤差計(jì)算中誤差 改正數(shù)的概念 由觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算中誤差 實(shí)例,算術(shù)平均值及其中誤差,算術(shù)平均值 設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)，則觀測(cè)值的真誤差為 。 將上式求和后除以n，得 ， 即 其中， 稱為觀測(cè)值的算術(shù)平均值。 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n趨近于無(wú)窮大時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值的極限就是該量的真值。所以，算術(shù)平均值又叫做最或然值或最可靠值。 算術(shù)平均值的中誤差,觀測(cè)值的中誤差,由觀測(cè)值的真誤差計(jì)算中誤差 （1） 其中 （2） 改正數(shù)的概念 （3） 由觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算中誤差 （2）+（3），得 令算術(shù)平均值的真誤差為 （4） 則有