初一數(shù)學講義第1部分有理數(shù)

1、一從整數(shù)到分數(shù)（一）整數(shù)、整數(shù)的概念1、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10這些數(shù)是整數(shù)，我們最先學的數(shù)就是它們，大概因為這是很自然的事情，把這些數(shù)稱為自然數(shù)。 自然數(shù)的個數(shù)是無限的，沒有最大的自然數(shù)。 想一想：0一定代表沒有嗎？如果不是，請舉幾例：_2、自然數(shù)的意義（1）基數(shù)：用來表示事物_的自然數(shù)叫做基數(shù)。這時，1表示_,5表示_,0表示_。（2）序數(shù)：用來表示事物_的自然數(shù)叫做序數(shù)。這時，1表示_,5表示_,、整數(shù)的運算1、 加法：一個數(shù)與另一個數(shù)合起來，用加法。兩個數(shù)相加經常叫做兩個數(shù)的和。加數(shù)+加數(shù)=和任何兩個自然數(shù)的和仍是自然數(shù)。也就是說，兩個自然數(shù)的加法都可以運算。2、

2、減法：求兩個數(shù)相差多少，用減法。兩個數(shù)相減經常叫做兩個數(shù)的差。被減數(shù)-減數(shù)=差 （1）減法是加法的逆運算。 加數(shù)+加數(shù)=和 和加數(shù)=另一個加數(shù) 被減數(shù)差=減數(shù) 被減數(shù)-減數(shù)=差 減數(shù)+差=被減數(shù) （2）兩個自然數(shù)的減法并不是都可以運算。 兩個自然數(shù)m和n 如果mn，mn可以運算，其差還是自然數(shù)。 如果mn，mn不可以運算。這要等到把數(shù)擴充正負數(shù)3、乘法：相同的數(shù)的加法的快捷方式。兩個數(shù)相乘經常叫做兩個數(shù)的乘積。乘數(shù)乘數(shù)=積 因數(shù)因數(shù)=積任何兩個自然數(shù)的積仍是自然數(shù)。也就是說，兩個自然數(shù)的乘法都可以運算。4、 除法：把一個數(shù)平均分成幾份的運算。被除數(shù)除數(shù)=商 （1）除法是乘法的逆運算。 因數(shù)因數(shù)

3、=積 積因數(shù)=另一個因數(shù) 被除數(shù)商=除數(shù) 被除數(shù)除數(shù)=商 除數(shù)商=被除數(shù) （2）兩個自然數(shù)的除法并不是都可以在自然數(shù)范圍內運算。也就是說，商不一定是自然數(shù)。這說明自然數(shù)不夠用了，需要把數(shù)的范圍擴充，引進分數(shù)、小數(shù)。（二）分數(shù)1. 一個物體，一群物體,一個計量單位，一段時間等都可以看作一個整體,用_來表示。2. 分數(shù)的意義：把單位“1”_，表示這樣的_的數(shù)，叫分數(shù)。3. 分數(shù)的分母不能為_。分母等于_，分數(shù)沒有意義。（一件東西分0份是沒有意義的）4. 分數(shù)的基本性質：_5. 真分數(shù)：_的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)_1。 假分數(shù)：_的分數(shù)，叫做假分數(shù)。假分數(shù)_1 帶分數(shù)：假分數(shù)可以寫成_與_合成的數(shù)，

4、通常叫做帶分數(shù)。 想一想：2x=2x （兩個方框中均填或）6.分數(shù)和整數(shù) 分子是分母的倍數(shù)的假分數(shù)，都可以寫成是整數(shù)。例如 任何一個整數(shù)，都可以寫成分母為1的假分數(shù)。例如：（三）小數(shù)、小數(shù)的意義 把整數(shù)1平均分成_份、_份、_份，得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾,可以用小數(shù)表示。 一個小數(shù)由_部分、_部分和_組成。數(shù)中的圓點叫做_，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做_，小數(shù)點右邊的數(shù)叫做_。、小數(shù)的分類 有限小數(shù) 小數(shù) 無限循環(huán)小數(shù) 無限小數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù)1. 有限小數(shù)：_的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。 例如：_都是有限小數(shù)。 2. 無限小數(shù)：_的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。 例如：_都是無限小數(shù)。3.無限循環(huán)小數(shù)：像_

5、這樣的數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。4.無限不循環(huán)小數(shù)：_叫做無限不循環(huán)小數(shù)。 例如：_ _（四）小數(shù)和分數(shù)1所有的分數(shù)都可以化成小數(shù)。例如：= =2有限小數(shù)都可以化成分數(shù)例如：3.23564=3無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)例如：0.33 0.99=4無限不循環(huán)小數(shù)不能化為分數(shù)。除了無限不循環(huán)小數(shù)外，其他小數(shù)都等同于分數(shù)。有了分數(shù)（包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)），除法運算都能夠進行了。二正數(shù)和負數(shù)（一）相反意義的量1、在日常生活中，常會遇到這樣一些量（事情）：例1：汽車向東行駛3千米和向西行駛2千米。例2：溫度是零上10和零下5。例3：收入500元和支出237元。例4：水位升高1.2米和下降0.7米。例5：買進

6、100輛自行車和賣出20輛自行車。 這些例子中出現(xiàn)的每一對量，有什么共同特點？ _2、還有哪些具有相反意義的量？_（二）正數(shù)和負數(shù) 能用我們已經學過的數(shù)來很好的表示這些相反意義的量嗎？例如，零上5用5來表示，零下5呢？也用5來表示，行嗎？為了表示具有相反意義的量，上面我們引進了一種新數(shù)，叫做負數(shù)。過去學過的那些除零以外的數(shù)，叫做正數(shù)。正數(shù)前面有時也可放一個“+”（讀作“正”），如5可以寫成+5。 具有相反意義的量，一個規(guī)定為_數(shù)，另一個就是_數(shù)。在一個數(shù)前加一個_（也可以不加）,這個數(shù)叫_；在一個數(shù)前加一個_，這個數(shù)叫_。0既不是_，也不是_寫出一些正負數(shù)：正數(shù)_負數(shù)_小結正數(shù)和負數(shù)表示的是一

7、對相反意義的量，哪種意義為正是可以任意規(guī)定的。如果把一種意義規(guī)定為正，則相反意義的量規(guī)定為負。常將“前進、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負。三、有理數(shù)的概念（一）有理數(shù)的定義與分類、 整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。目前學過的數(shù)，除了_外，都是有理數(shù)。 無限不循環(huán)小數(shù)的類型1：:和包含的算式，例如：3，+2 無限不循環(huán)小數(shù)的類型2：2.010010001，0.415115111511115、有理數(shù)的分類：第一種分法：先將有理數(shù)按“整”和“分”的屬性分， 再按每類數(shù)的“正”、“負”的屬性分，第二種分法：先將有理數(shù)按“正”和“負”的屬性分， 再按每類數(shù)的“整”

8、、“分”的屬性分，想一想： “0”是整數(shù)嗎？是正數(shù)嗎？是有理數(shù)嗎？ “2”是整數(shù)嗎？是正數(shù)嗎？是有理數(shù)嗎？ 自然數(shù)就是整數(shù)嗎？是正數(shù)嗎？是有理數(shù)嗎？、把一些數(shù)放在一起，就組成一個數(shù)的集合，簡稱數(shù)集。例如： 所有正數(shù)組成的集合，叫做正數(shù)集合； 所有負數(shù)組成的集合叫做負數(shù)集合； 所有整數(shù)組成的集合叫整數(shù)集合； 所有分數(shù)組成的集合叫分數(shù)集合； 所有有理數(shù)組成的集合叫有理數(shù)集合； 所有正整數(shù)和零組成的集合叫做自然數(shù)集。 非正數(shù)， 非負數(shù)， 非正整數(shù)， 非負整數(shù)（二）數(shù)軸1._叫數(shù)軸。數(shù)軸的方向通常習慣指向_方或上方。2. 整數(shù)與數(shù)軸（1）任何一個整數(shù)都可以用_表示。 0用_表示。 正整數(shù)在_，負整數(shù)在

9、_。 越往右，表示的數(shù)_；越往左，表示的數(shù)_（2）并不是數(shù)軸上的任何一個點都表示一個整數(shù)。3.分數(shù)與數(shù)軸（1）任何一個分數(shù)都可以_表示。 正分數(shù)在_，負分數(shù)在_。 越往_，表示的數(shù)越大;越往_，表示的數(shù)越小。（2） 在之間有多少個有理數(shù)？_。 在1和2之間有多少個有理數(shù)？_；在ef之間有多少個點？_。 在1和之間有多少個有理數(shù)？_；在ne之間有多少個點？_。 在1和之間有多少個有理數(shù)？_。 任何兩個有理數(shù)之間有_個有理數(shù)；在任何兩個點之間有_個點。（3）是不是數(shù)軸上的任何一個點都表示一個有理數(shù)？為什么？_（三）相反數(shù)1.相反數(shù)：只有_不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)。其中任意一個是另一個的_。0的相反

10、數(shù)是_。想一想：1和_互為相反數(shù)。 3的相反數(shù)是_2.在數(shù)軸上,表示互為相反數(shù)的兩個點位于原點的_側，并且到原點的距離_。3. 求一個數(shù)的相反數(shù)，在這個數(shù)的前邊加一個“”就可以了。想一想：4.6的相反數(shù)是_，a的相反數(shù)是_，5.4相反數(shù)是_。4. 一個數(shù)前面有一個“”，可以認為是求這個數(shù)的相反數(shù)。想一想：（+3）= （5）=（四）絕對值：1.數(shù)軸上，表示_叫做這個數(shù)的絕對值。 5的絕對值記作：|5|；2.絕對值法則： 正數(shù)的絕對值是_； 0的絕對值是_； 負數(shù)的絕對值是_。想一想： （五）有理數(shù)的大小比較1.在數(shù)軸上，越在右方的數(shù)_(1) 負數(shù)小于_，0小于_，負數(shù)小于_數(shù)；(2) 兩個正數(shù)，

11、應用已有的方法比較（絕對值大數(shù)大）；(3) 兩個負數(shù)，絕對值大的_.2 有沒有最小的正整數(shù)？_ 有沒有最小的正分數(shù)？_ 有沒有最小的正有理數(shù)？_ 有沒有最小的非負數(shù)？_ 有沒有最大的負整數(shù)？_ 有沒有最大的負分數(shù)？_ 有沒有最小的負有理數(shù)？_ 有沒有最大的非正數(shù)？_四、有理數(shù)的運算（一）有理數(shù)的加法1、兩個正數(shù)相加5+8= +12+3.2= +3.5+(+7)=2、兩個負數(shù)相加 規(guī)定向東走為正。第一次向西走15米，第二次向西走7米，兩次共走多少米？ 15+(7)= 足球比賽中贏球個數(shù)與輸球個數(shù)是相反意義的量若我們規(guī)定贏球為“正”，輸球為“負”，打平為“0”。學校足球隊在一場比賽中：（1）上半場

12、輸了2球，下半場輸了1球，那么全場共輸了幾球(2)+(1)=同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加 (6)+(35)= 7.2+(54)=3、 異號兩數(shù)相加（1）學校足球隊在一場比賽中，上半場贏了3球，下半場輸了4球，那么全場共贏了幾球 (+3)+(4)= （2）上半場輸了3球，下半場贏了4球，那么全場共贏了幾球(3)+(+4)= （3）上半場輸了3球，下半場贏了3球，那么全場共贏了幾球 (3)+(+3)=異號兩個數(shù)相加，如果兩數(shù)的絕對值相等，則和為0 或者說：互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號， 并且用較大的絕對值減去較小的絕對值 150250

13、 (1.15)+(+1.12)= 15（+23） 3+(6)= =4、0和一個數(shù)相加0+2= 8+0= 0+0=一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)總結：（1）有理數(shù)的加法法則 同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加 絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并且用較大的絕對值減去較小的絕對值 互為相反數(shù)的兩數(shù)相加和為0 一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。（2）有理數(shù)加法的運算步驟先判斷屬于法則中的哪種類型；再依法則判斷和的符號；判斷利用絕對值的和還是絕對值的差進行計算上述步驟可以概括為：“一定二求三加減”（3）有理數(shù)加法的運算定律加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變 a+b=b+a

14、加法結合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變 （a+b)+c=a+(b+c)（二）有理數(shù)的減法規(guī)定：向東走為正。甲乙兩人原在同一地點。甲向東走10米，乙向東走8米，甲乙兩人相距多少米？_甲向東走10米，乙原地不動，甲乙兩人相距多少米_甲向東走10米，乙向西走8米，甲乙兩人相距多少米？_甲向西走10米，乙向西走8米，甲乙兩人相距多少米？_ 19 8 0 10 29 d c o a b a、b兩地相距：_；a、o兩地相距：_ a、c兩地相距：_；c、d兩地相距：_所以：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。再看：減法是加法的逆運算，如果a+b=c，那么ca=b 因為8+(3

15、)=5，所以5(3)=8=5+3所以：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。（三）有理數(shù)的乘法1、兩個正數(shù)相乘：規(guī)定：向東為正。23，2看作向東運動2米，3看作向原方向運動3次23=2、異號兩數(shù)相乘： （2）3，2看作向西運動2米，3看作向原方向運動3次（2）3=也可以這樣看：(2)3=(2)(2)(2)=6 2（3），2看作向東運動2米，（3）看作向反方向運動3次2（3）=3、兩個負數(shù)相乘：（2）（3），2看作向西運動2米，（3）看作向反方向運動3次（2）（3）=4、0乘以任何數(shù)、任何數(shù)乘以0 0a，0看作運動0米，a看作向某方向運動次0a= a0，a看作向某方向運動米，0看作運動0次a0=

16、有理數(shù)乘法法則： 同號兩數(shù)相乘得正，并把絕對值相乘。（兩個負數(shù)相乘簡稱：負負得正） 異號兩數(shù)相乘得負，并把絕對值相乘。 0乘以任何數(shù)還得0。多個有理數(shù)連乘， 如果奇數(shù)個負數(shù)，積得負； 如果偶數(shù)個負數(shù)，積得正。（四）有理數(shù)的除法因為：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，所以有理數(shù)除法的商的符號確定的方法和乘法一樣。（五）有理數(shù)的乘方，讀作的平方（或二次方），讀作的立方（或三次方），讀作的四次方一般地，個相同的因數(shù)相乘：記作：讀作的次方，或者讀作的次冪求個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方；乘方的結果叫做冪一個數(shù)可以表示成這個數(shù)本身的一次方，例如，（指數(shù)1通常省略不寫）練一練(1)：= = =練一練(2)，注意括號位置的不同：= = = 練一