函數(shù)的單調(diào)性與最值講義

1、函數(shù)的單調(diào)性講義知識點一：函數(shù)單調(diào)性(1)相關(guān)概念增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值，當，都有，那么就說在這個區(qū)間上是增函數(shù)，如下圖（1）；用數(shù)學符號表示：是增函數(shù).減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值，當，都有，那么就說在這個區(qū)間上是減函數(shù)，如下圖（2）.用數(shù)學符號表示：是減函數(shù). 單調(diào)性：如果函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性.單調(diào)區(qū)間：函數(shù)在某個區(qū)間上具有單調(diào)性，則這一區(qū)間就叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2） 對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解，要注意以下三點：單調(diào)性是與

2、“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性；單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的具有任意性，不能用特殊值代替.由于定義都是充要性命題，因此由是增（減）函數(shù)，且，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.知識點二：函數(shù)單調(diào)性的判定方法（常用的）（1） 定義法（基本法）；取值：任取，且；作差：；變形：通常是因式分解或配方；定號：即判斷差的正負；下結(jié)論：即指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.例：判斷函數(shù)在（1，+）上的單調(diào)性變式訓練：證明函數(shù)在上是減函數(shù).（2） 利用已知函數(shù)的單調(diào)性；在研究函數(shù)的單調(diào)性時，常需要先將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)化為討論

3、一些熟知的單調(diào)性，因此掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過程. 如果函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間.的單調(diào)性：增函數(shù)，減函數(shù)；的單調(diào)性：減區(qū)間；增區(qū)間；的單調(diào)性：，減區(qū)間，增區(qū)間；，增區(qū)間，減區(qū)間；在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，則時，在上是增（減）函數(shù)；時則相反；若、是區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則在區(qū)間上是增（減）函數(shù)；若且在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，則在上是減（增）函數(shù)，在上是增（減）函數(shù)；軸（與軸垂直）對稱圖形的函數(shù)在它們的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，中心對稱圖形的函數(shù)在它們的對稱區(qū)間上單

4、調(diào)性相同，例如求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：，.（3） 利用函數(shù)的圖像；函數(shù)y|x22x3|的單調(diào)增區(qū)間是_【解析】y|x22x3|(x1)24|，作出該函數(shù)的圖像(如圖)由圖像可知，其增區(qū)間為1,1和3，)（4） 依據(jù)一些常用結(jié)論及復合函數(shù)單調(diào)性的判定方法；兩個增（減）函數(shù)的和仍為增（減）函數(shù)；一個增（減）函數(shù)與一個減（增）函數(shù)的差是增（減）函數(shù)；奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性；互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性；如果在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，那么在區(qū)間的任一子區(qū)間上也是增（減）函數(shù)；如果單調(diào)性相同，那么是增函數(shù)；如果單調(diào)性相反，那么是減函數(shù).對于復合函

5、數(shù)的單調(diào)性，列出下表以助記憶.上述規(guī)律可概括為“同性則增，異性則減”例：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 （ ）A. B. C. D.（5） 求導（以后會學到）.知識點三：函數(shù)單調(diào)性的應用（1） 利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值的大??；例：已知對稱軸為 ，比較、 、 的大小。 （2） 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；例：已知在 上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。變式訓練：函數(shù)yf(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)f(m9)，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，3) B(0，)C(3，) D(，3)(3，)（3） 求某些函數(shù)的值域或最值；直接法：利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；

6、反比例函數(shù)的定義域為x|x0，值域為y|y0；二次函數(shù)的定義域為R，當a0時，值域為；當a0時，值域為。配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：的形式；分式轉(zhuǎn)化法（或改為“分離常數(shù)法”）換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。例1.求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。解：（

7、1）（配方法），的值域為。改題：求函數(shù)，的值域。（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增，當時，原函數(shù)有最小值為；當時，原函數(shù)有最大值為。函數(shù)，的值域為。（2）求復合函數(shù)的值域：設(shè)（），則原函數(shù)可化為。又，故，的值域為。（3）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域為，原函數(shù)的值域為。（法二）分離變量法：，函數(shù)的值域為。（4）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)，則，原函數(shù)可化為，原函數(shù)值域為。注：總結(jié)型值域，變形：或（5）三角換元法：，設(shè)，則，原函數(shù)的值域為。（6）數(shù)形結(jié)合法：，函數(shù)值域為。（7）判別式法：恒成立，函數(shù)的定義域為。由得： 當即時，即，當即時，時方程恒有實根，且，原函數(shù)的值域為。（8），當且僅當時

8、，即時等號成立。，原函數(shù)的值域為。（9）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：，（其中），原函數(shù)的值域為。點評：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，在現(xiàn)行的中學數(shù)學要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復習中要作詳盡的討論。章末練習：一、選擇題1下列說法中，正確的有()若任意x1，x2A，當x10，則yf(x)在A上是增函數(shù)；函數(shù)yx2在R上是增函數(shù)；函數(shù)y在定義域上是增函數(shù)；函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間是(，0)(0，)A0個B1個C2個D3個2下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()Ay|x| By3xCy Dyx243已知四個函數(shù)的圖像如下圖所示，其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是()4函數(shù)yf(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)f(m9)，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，3) B(0，)C(3，) D(，3)(3，)5(2013洛陽高一檢測)函數(shù)f(x)4x2mx5在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則有()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)25二、填空題6已知f(x)則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是_7若函數(shù)f(x)2x2mx3在(，2上為減函數(shù)，在2，)