【數(shù)學】山東省濟南市2017屆高考一模試卷(理)(解析版)

1、2+x山東省濟南市 2017 屆高考數(shù)學一模試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分）1（5 分）設集合 a=x|0，b=x|4x1，則 ab=（ ）a3，1b4，2c2，1 d（3，12（5 分）若復數(shù) z 滿足（+i）z=4i，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z=（ ）a1i bi c+i d1+ i3（5 分）中國詩詞大會的播出引發(fā)了全民的讀書熱，某小學語文老師在班里開展了一次詩詞默寫比賽，班里 40 名學生得分數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示若規(guī)定得分不小于 85 分的學生得到“詩詞達人”的稱號，小于 85 分且不小于 70 分的學生得到“詩詞能手”的稱號，其他學生得

2、到“詩詞愛好者”的稱號，根據(jù)該次比賽的成就按照稱號的不同進行分層抽樣抽選 10 名學生， 則抽選的學生中獲得“詩詞能手”稱號的人數(shù)為（ ）a2 b4 c5 d64（5 分）在abc 中，ac=，bc=1，b=60，則abc 的面積為（ ）ab2c2 d35（5 分）若變量 x，y 滿足約束條件則 z=的最小值等于（ ）a4 b2 cd06（5 分）設 xr，若“|xa|1（ar）”是“x 20”的充分不必要條件，則 a 的取值 范圍是（ ）a（，32，+） c（3，2）b（，3）（2，+） d3，27（5 分）我國古代數(shù)學家劉徽（如圖 1）在學術研究中，不迷信古人，堅持實事求是，他對九章算術中

3、“開立圓術”給出的公式產生質疑，為了證實自己的猜測，他引入了一種新的幾何體“牟盒方蓋”：一正方體相鄰的兩個側面為底座兩次內切圓柱切割，然后剔除外部，3 33 3 2剩下的內核部分（如圖 2）如果“牟盒方蓋”的主視圖和左視圖都是圓，則其俯視圖形狀為 下列幾幅圖中的（ ）abcd8（5分）若 0，有四個不等式：a b ；log 3log 3；a+2 b+1a +b 2ab ，則下列組合中全部正確的為（ ） ；abcd9（5 分）已知 o 為坐標原點，f 是雙曲線 c：=1（a0，b0）的左焦點，a，b 分別為左、右頂點，過點f 做 x 軸的垂線交雙曲線于點 p，q，連接 pb 交 y 軸于點 e，

4、連 結 ae 交 qf 于點 m，若 m 是線段 qf 的中點，則雙曲線 c 的離心率為（ ）a2 b10（5 分）設函數(shù) f（x）=則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） a（ ， ）c3 d當 x ， 時，恒有 f（x+a）f（x），b（1， ）n*22c（ ，0）d（ ， 二、填空題（本小題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分）11（5 分）函數(shù) f（x）= +的定義域為 12（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當輸入的 x 為 2017 時，輸出的 y=13（5 分）已知（12x） （nn ）的展開式中第 3 項與第 8 項的二項式系數(shù)相等，則展 開式中所有項的系數(shù)和為 14（5 分）在平

5、面直角坐標系內任取一個點 p（x，y）滿足y= 與直線 x=2，y=2 圍成的陰影區(qū)域（如圖所示）內的概率為 ，則點 p 落在曲線15（5 分）如圖，正方形 abcd 的邊長為 8，點 e，f 分別在邊 ad，bc 上，且 ae=3ed，cf=fb，如果對于常數(shù) m，在正方形 abc 的四條邊上有且只有 6 個不同的點 p，使得 =m 成立，那么 m 的取值范圍是 三、解答題（本題共 6 小題，共 75 分）16（12 分）已知函數(shù) f（x）=（sin +cos ） 2 cos +（1）求 f（x）的單調區(qū)間；（2）求 f（x）在0，上的值域17（12 分）如圖，正四棱臺 abcda b c

6、d 的高為 2，下底面中心為 o，上、下底面邊1 1 1 1長分別為 2 和 4（1）證明：直線 oc 平面 add a ；1 1 1（2）求二面角 bcc o 的余弦值118（12 分）已知a 是公差不為零的等差數(shù)列，s 為其前 n 項和，s =9，并且 a ，a ，an n 3 2 5 14成等比數(shù)列，數(shù)列b 的前 n 項和為 t =n n（1）求數(shù)列a ，b 的通項公式；n n（2）若 c = n，求數(shù)列c 的前 n 項和 m n19（12 分）2017 年 1 月 25 日智能共享單車項目摩拜單車正式登陸濟南，兩種車型采用分段計費的方式，mobike lite 型（lite 版）每 3

7、0 分鐘收 0.5 元（不足 30 分鐘的部分按 30分鐘計算）有甲、乙、丙三人相互對立的到租車點租車騎行（各租一車一次）設甲、乙、丙不超過 30 分鐘還車的概率分別為 ， ， ，三人租車時間都不會超過 60 分鐘，甲、乙 均租用 lite 版單車，丙租用經(jīng)典版單車（1） 求甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率；（2） 設甲、乙、丙三人所付費用之和為隨機變量 ，求 的分布列和數(shù)學期望20（13 分）已知函數(shù) f（x）= ax2（a+1）x+lnx，其中 ar （1） 當 a0 時，討論函數(shù) f（x）的單調性；（2） 當 a=0 時，設 g（x）=xf（x）+2，是否存在區(qū)間m，n （

8、1，+）使得函數(shù) g（x）在區(qū)間m，n上的值域為k（m+2），k（n+2）？若存在，求實數(shù) k 的取值范圍；若不存在， 請說明理由22221（14 分）設橢圓 c：+ =1（ab0），定義橢圓的“伴隨圓”方程為 x +y=a2+b2；若拋物線 x =4y 的焦點與橢圓 c 的一個短軸重合，且橢圓 c 的離心率為 （1）求橢圓 c 的方程和“伴隨圓”e 的方程；（2）過“伴隨圓”e 上任意一點 p 作橢圓 c 的兩條切線 pa，pb，a，b 為切點，延長 pa 與“伴 隨圓”e 交于點 q，o 為坐標原點1 證明：papb；2 若直線 op，oq 的斜率存在，設其分別為 k ，k ，試判斷 k

9、k 是否為定值，若是，求出1 2 1 2該值；若不是，請說明理由2 2 22abc一、選擇題1d【解析】集合 a=x|參考答案0=x|3x2，b=x|4x1，ab=x|3x1=（3，1 故選：d2d【解析】（+i）z=4i，故選：d3a【解析】由莖葉圖可得，獲”詩詞達人”的稱號有 8 人，據(jù)該次比賽的成就按照稱號的不同進行分層抽樣抽選 10 名學生，則抽選的學生中獲得“詩詞能手”稱號的人數(shù)為 故選：a4a【解析】ac=，bc=1，b=60，=，解得 n=2 人，由余弦定理可得：ac =ab +bc 2abbcsinb，即：13=ab +1ab， 解得：ab=4 或3（舍去）， = abbcsi

10、nb= 故選：a5b=【解析】由約束條件作出可行域如圖，2+x2+x3 3聯(lián)立z=z=，解得 a（2，2），的幾何意義為可行域內的點與定點 p（3，0）連線的斜率 ，的最小值等于2故選：b6a【解析】由|xa|1（ar），解得：a1xa+1由 x 20，解得 x1 或 x2又“|xa|1（ar）”是“x 20”的充分不必要條件，1a1，或 a+12a2，或 a3故選：a7d【解析】由題意，“牟盒方蓋”的主視圖和左視圖都是圓，則其俯視圖形狀為故選 d8b【解析】若 0，則 ba0，1 a b ，正確；2 令 b=2，a=1，則 log 3=log 3；故錯誤；a+2 b+1由 ，2222223

11、3 2 22 2 2得：b+a2ba，故 a，故 ab，成立，故正確；ba0，a 2ab+b 0，a ab+b ab（*）而 a，b 均為正數(shù)，a+b0，（a+b）（a ab+b ）ab（a+b），a +b a b+ab 成立而 2ab a b+ab ，故不一定成立，故錯誤；故選：b9c【解析】由題意可得 p（c， ），b（a，0），可得 bp 的方程為：y= （xa），x=0 時，y=，e（0， ），a（a，0），則 ae 的方程為：y=m 是線段 qf 的中點，可得：2=即 2c2a=a+c， 可得 e=3故選：c，（x+a），則 m（c， ），10c2【解析】a=0 時，顯然不符題意；當

12、 x ， 時，恒有 f（x+a）f（x），即為 f（x）的圖象恒在 f（x+a）的圖象之上， 則 a0，即 f（x）的圖象右移故 a，b 錯；畫出函數(shù) f（x）=（a0）的圖象，當 x= 時，f（ ）=a ；而 f（x+a）=，則 x= 時，由a（ +a） +a =a ，解得 a=（舍去），隨著 f（x+a）的圖象左移至 f（x）的過程中，均有 f（x）的圖象恒在 f（x+a）的圖象上，則 a 的范圍是（故選：c，0），二、填空題11 x|x1【解析】由題意得：解得：x1，故答案為：x|x1 124，n*992【解析】模擬程序的運行，可得x=2017，x=2015，滿足條件 x0，x=2013

13、滿足條件 x0，x=2011滿足條件 x0，x=1不滿足條件 x0，退出循環(huán)，y=4輸出 y 的值為 4故答案為：4131【解析】（12x） （nn ）的展開式中第 3 項與第 8 項的二項式系數(shù)相等，=，n=2+7=9（12x） 的展開式中所有項的系數(shù)和為： （121） =1故答案為：114【解析】s =2（2 ） 陰影s =4，正方形dx=3lnx| =3（ln2ln ）=3ln4則點 p 落在曲線 y= 與直線 x=2，y=2 圍成的陰影區(qū)域（如圖所示）內的概率為 故答案為：15（1，8）【解析】以 ab 所在直線為 x 軸，以 ad 所在直線為 y 軸建立平面直角坐標系， 如圖，則 e

14、（0，6），f（8，4）（1）若 p 在 ab 上，設 p（x，0），0x8，=（x，6），=（8x，4）=x 8x+24，x0，8，824222當 m=8 時有一解，當 8m16 時有兩解（2）若 p 在 ad 上，設 p（0，y），0y8=（0，6y），=（8，4y）=（6y）（4y）=y 10y+24，0y8，124當 m=1 或 8m24，有一解，當1m8 時有兩解 （3）若 p 在 dc 上，設 p（x，8），0x8=（x，2），=（8x，4）=x 8x+8，0x88 4當 m=8 或 m=8 時有一解，當8m8 時有兩解 （4）若 p 在 bc 上，設 p（8，y），0y8，=（8

15、，6y），=（0，4y）=（6y）（4y）=y 10y+24，0y8，124當 m=1 或 8m24 時有一解，當1m8 時有兩解綜上，在正方形 abc 的四條邊上有且只有 6 個不同的點 p，使得 那么 m 的取值范圍是（1，8）故答案為：（1，8）=m 成立，22三、解答題16解：（1）函數(shù) f（x）=（sin +cos ） 2cos +化簡可得：f（x）=1+sinx 由cosx+得=sinxxcosx+1=2sin（x，）+1，f（x）的單調增區(qū)間為 由，得，kzx+2k，f（x）的單調減區(qū)間為，kz（2）由（1）可知 f（x）=2sin（x x0，上，）+1，x當 x當 x=，時，函

16、數(shù) f（x）取得最小值為時，函數(shù) f（x）取得最大值為 12+1=3=1故得函數(shù) f（x）在0，上的值域為，317證明：（1）證法一：正四棱臺 abcda b c d 的高為 2，1 1 1 1下底面中心為 o，上、下底面邊長分別為 2 和 4ao a c ，四邊形 aoc a 是平行四邊形，1 1 1 1aa oc ，1 1aa 平面 add 1a ，oc 平面 add a ， 1 1 1 1 1直線 oc 平面 add a 1 1 1證法二：設上底面中心為 o ，以 o 為原點，oa 為 x 軸，ob 為 y 軸，oo 為 z 軸，1 1建立空間直角坐標系，o（0，0，0），c （1d（

17、，0，2），a （1，0，2），a（2），0，0），=（0，2），=（2， ，0），=（ ，0，2），設平面 add a 的法向量 =（x，y，z）， 1 1則 ，取 x=2+2=0oc 平面 add a ，1 1 1直線 oc 平面 add a 1 1 1解：（2）b（0， ，0），c（2，得 =（ ，2，0，0），1），=（2， ，0），=（ ，2），設平面 bcc 的法向量 =（x，y，z），1則 ，取 x=1，得 =（1，2，平面 cc o 的法向量 =（1，0，0），1設二面角 bcc o 的平面角為 ，1），則 cos= = =二面角 bcc o 的余弦值為 118解：（1）設a

18、的公差為 d，ns =9，并且 a ，a ，a 成等比數(shù)列， 3 2 5 14a =1+2（n1）=2n1 n，解得 a =1，d=21nn+1n+1 nn n+1t = = （3 1），t = （3 1）， n n+1b =t t = （3 3 ）=33 =3 n+1 n+1 nb =3nn（2）c = = = = n，m = + + n m = + + + n，得： m =1+ + + +n=1+= ，m = n19解：（1）甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用必然是：甲、乙兩人半小時內還車，而丙超過 30 分鐘還車其概率 p= （2） 的取值可能為 1.5，2，2.5，3p（=1.5

19、）= = ，p（=2）=（1 ） + （1 ） + （1 ）=，p（=2.5）=（1 ）（1 ） + （1 ）（1 ）+（1 ） （ 1 ）=，p（=3）=（1 ）（1 ）（1 ）= 的分布列為：p1.52 2.5 3e=1.5 +2+2.5+3=2220解：（1）f（x）的定義域是（0，+），f（x）=ax（a+1）+ =，（a0），令 f（x）=0 得：x= 或 x=1；若 0a1，則 x（0，1）時，f（x）0，x（1， ）時，f（x）0，x（ ，+）時，f（x）0，函數(shù) f（x）在（0，1），（ ，+）遞增，在（1， ）上遞減；a=1 時，則 x（0，+）時，f（x）0，當且僅當 x=

20、1 時，f（x）=0，故函數(shù) f（x）在（0，+）遞增；若 a1 時，則 x（0， ）時，f（x）0，x（ ，1）時，f（x）0，x（1，+）時，f（x）0，故函數(shù) z 在（0， ），（1，+）遞增，在（ ，1）遞減，綜上，0a1 時，f（x）在（0，1），（ ，+）遞增，在（1， ）遞減；a=1 時，f（x）在（0，+）遞增，無遞減區(qū)間；a1 時，f（x）在（0， ），（1，+）遞增，在（ ，1）遞減；（2）a=0 時，f（x）=lnxx，g（x）=x xlnx+2，g（x）=2xlnx1，令 （x）=g（x），則 （x）=2 0，x（1，+），g（x）在（1，+）遞增，x（1，+），有 g

21、（x）g（1）=10，即函數(shù) g（x）在區(qū)間（1，+）遞增，假設存在區(qū)間m，n（1，+），使得函數(shù) g（x）在區(qū)間m，n上的值域是k（m+2），k（n+2），則 ，問題轉化為關于 x 的方程 x xlnx+2=k（x+2）在區(qū)間（1，+）上是否存在兩個不相等實 根，222222 22 222 2222 222222 2即方程 k=在區(qū)間（1，+）上是否存在兩個不相等實根，令 h（x）=，x（1，+），h（x）=，令 p（x）=x +3x2lnx4，x（1，+），則 p（x）=0，x（1，+），故 p（x）在（1，+）遞增，故x（1，+），p（x）p（1）=0，即 h（x）0， 故 h（x）在區(qū)間（1，+）遞增，故方程 k=在區(qū)間（1，+）上不存在