北京市朝陽區(qū)2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、北京市朝陽區(qū) 20192020 學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高三年級數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題 共 40 分）一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選 出符合題目要求的一項(xiàng)1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) a.b.對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）c. d.【答案】c【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出【詳解】解：復(fù)數(shù) i（2+i）2i1 對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題2.已知， ，則（ ）a.b.c. d.【答案】d【解析】【分析】利用中間量隔開三個值即可. 【詳解】，, ,

2、故選：d【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)大小的比較，考查冪指對函數(shù)的性質(zhì)，屬于常考題型.3.已知雙曲線的離心率為 ，則其漸近線方程為（ ）a.b. c. d.【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意，得雙曲線的漸近線方程為 yx，再由雙曲線離心率為 2，得到 c2a，由定義 知 b a，代入即得此雙曲線的漸近線方程【詳解】解：雙曲線 c 方程為：雙曲線的漸近線方程為 yx 又雙曲線離心率為 2，1（a0，b0）c2a，可得 ba因此，雙曲線的漸近線方程為 yx故選：b【點(diǎn)睛】本題給出雙曲線的離心率，求雙曲線的漸近線方程，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 與基本概念，屬于基礎(chǔ)題中，若 ，4.在a.b.【答案】d【解析】

3、【分析】利用正弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】解：b3，c 由正弦定理，可得，可得：sinb或，cb，可得 b故選：d，c， ，則角 的大小為（ ）c. d.，或點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題5.從 名教師和 名學(xué)生中，選出 人參加“我和我的祖國”快閃活動要求至少有一名教師入【選，且入選教師人數(shù)不多于入選學(xué)生人數(shù)，則不同的選派方案的種數(shù)是（ ）a. b. c. d.【答案】c【解析】【分析】由題意可分成兩類：一名教師和三名學(xué)生，兩名教師和兩名學(xué)生，分別利用組合公式計算即 可.【詳解】由題意可分成兩類：（1） 一名教師和三名學(xué)生，共（2） 兩名教師和兩名學(xué)生

4、，共故不同的選派方案的種數(shù)是；.故選：c【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，是簡單題，注意分類討論、正確計算即可6.已知函數(shù)a. 是奇函數(shù)，且在，則（ ）上單調(diào)遞增b. 是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減c. 是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 d. 是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】c【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義以及單調(diào)性的性質(zhì)判斷即可【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?r，即，是偶函數(shù)，當(dāng)時，在,上單調(diào)遞增，為增函數(shù)，為減函數(shù)，故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性問題，考查推理能力，是一道中檔題7.某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，則該幾何體的體積為 （ ）a.b. c. d.

5、【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意把三棱錐放入棱長為 2 的正方體中，得出三棱錐的形狀，結(jié)合圖形，求出該三棱錐的體積【詳解】解：根據(jù)題意，把三棱錐放入棱長為 2 的正方體中，是如圖所示的三棱錐 pabc，三棱錐 pabc 的體積為： 故選：a，【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求空間幾何體體積的應(yīng)用問題，考查空間想象能力，是基礎(chǔ) 題8.設(shè)函數(shù)a. 充分而不必要條件 c. 充分必要條件【答案】a【解析】【分析】，則“ ”是“有且只有一個零點(diǎn)”的（ ） b. 必要而不充分條件d. 既不充分也不必要條件有且只有一個零點(diǎn)的充要條件為詳解】f（x） ，f（x）3x233（x+1）（x1），,或 ，從而作出判斷

6、.【令 f（x）0，解得：x1 或 x1，令 f（x）0，解得：1x1，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且, ,若有且只有一個零點(diǎn)，則,或“”是“有且只有一個零點(diǎn)”的充分而不必要條件，故選：a【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性，同時考查三次函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查函數(shù)與方程思想， 屬于中檔題.9.已知正方形的邊長為 ，以 為圓心的圓與直線 相切.若點(diǎn) 是圓 上的動點(diǎn)，則的最大值是（ ）a. b.【答案】d【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，圓 的方程為： 弦型函數(shù)的性質(zhì)得到最值.c. d., ，利用正【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則 圓 的方程為： ,， ， ，故選：d時，的最大值是 8，【點(diǎn)睛】本

7、題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查了，考查了正弦型函數(shù)的性 質(zhì)，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題10.笛卡爾、牛頓都研究過方程，關(guān)于這個方程的曲線有下列說法：該曲線關(guān)于 軸對稱； 該曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱； 該曲線不經(jīng)過第三象限； 該曲線 上有且只有三個點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)其中正確的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】以x 代 x，以x 代 x，y 代 y，判斷的正誤，利用方程兩邊的符號判斷的正誤，利 用賦值法判斷的正誤.【詳解】以x 代 x，得到，方程改變，不關(guān)于 軸對稱；以x 代 x，y 代 y，得到，方程改變，不關(guān)于對稱；當(dāng)時，顯然方程不成立，該曲線不經(jīng)過

8、第三象限；令 ,易得 ，即適合題意，同理可得適合題意，該曲線上有且只有三個點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)是錯誤的，2n1 3 43 1 411 1112故選：c【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程，考查曲線的性質(zhì)，考查邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔 題第二部分（非選擇題 共 110 分）二、填空題共 6 小題，每小題 4 分，共 24 分11.【答案】24【解析】【分析】的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_.先求出二項(xiàng)式再令 ，求出展開式通項(xiàng)公式代入運(yùn)算即可得解.，【詳解】解：由二項(xiàng)式令 ，解得展開式通項(xiàng)公式為，即展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ，故答案為 24.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，重點(diǎn)考查了二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.

9、12.已知等差數(shù)列的公差為 ，若 ， ， 成等比數(shù)列，則_；數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值為_【答案】(1).(2).【解析】【分析】運(yùn)用等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)，即可得到 a ，再由等 差數(shù)列的求和公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最小值【詳解】解：等差數(shù)列a 的公差 d 為 2，若 a ，a ，a 成等比數(shù)列，可得 a 2a a ，即有（a +2d）2a （a +3d），化為 a d4d2，解得 a 8，a 8+26；nn 1n數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和 s nan（n1）d8n+n（n1）n29n（n）2，當(dāng) n4 或 5 時，s 取得最小值20故答案為：6，20

10、【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，以及 二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題13.若頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過四個點(diǎn)線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是_ 【答案】或， ， ，中的 2 個點(diǎn)，則該拋物【解析】【分析】分兩類情況，設(shè)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，逐一檢驗(yàn)即可.【詳解】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，不難驗(yàn)證適合，故；設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 故答案為：或，不難驗(yàn)證適合，故 ；【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查待定系數(shù)法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.春天即將來臨，某學(xué)校開展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動已知某種盆栽植物每株成活的概率為 ，各

11、株是否成活相互獨(dú)立該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物 10 株，設(shè) 為其中成活的株數(shù)，若 的方差 _【答案】【解析】【分析】， ，則由題意可知：【詳解】由題意可知： ，且，即，從而可得 值,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力，屬 于中檔題15.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，當(dāng)時， 若存在，使得，則 的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】由 f（x+ ）2f（x），得 f（x）2f（x ），分段求解析式，結(jié)合圖象可得 m 的取值范 圍【詳解】解：，當(dāng)時，當(dāng)當(dāng)當(dāng)時，時，時，作出函數(shù) 圖象：的令，解得：或 ，若存在，使得 ，則 ，故答案為：【點(diǎn)睛】本題

12、考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，訓(xùn)練了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查數(shù)形 結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題16.某學(xué)校數(shù)學(xué)建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度 （每層玻璃的厚度相同）及兩層玻璃間夾空氣層厚度 對保溫效果的影響，利用熱傳導(dǎo)定律得到熱傳導(dǎo)量 滿足關(guān)系式：，其中玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/（厘米度），不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/（厘米度），為室內(nèi)外溫度差 值越小，保溫效果越好現(xiàn)有 4 種型號的雙層玻璃窗戶，具體數(shù)據(jù)如下表：每層玻璃厚度玻璃間夾空氣層厚度型號（單位：厘米）（單位：厘米）a 型b 型c 型d 型則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是_型【答案】【解析】【分析】分別計算 4 種型號

13、的雙層玻璃窗戶的 值，根據(jù) 值越小，保溫效果越好即可作出判斷.【詳解】a 型雙層玻璃窗戶：，b 型雙層玻璃窗戶：c 型雙層玻璃窗戶：d 型雙層玻璃窗戶：，根據(jù)，且 值越小，保溫效果越好故答案為：b【點(diǎn)睛】本題以雙層玻璃窗戶保溫效果為背景，考查學(xué)生學(xué)生分析問題解決問題的能力，考 查計算能力.三、解答題共 6 小題，共 86 分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程 17.已知函數(shù) （1） 求（2） 求的最小正周期；的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）對于任意【答案】（1） ；（2）都有恒成立，求 的取值范圍；（3）【解析】【分析】（1）將函數(shù)進(jìn)行化簡，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式即可求函數(shù) f（x）的最小正周期

14、t； （2）由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求函數(shù) f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）原問題等價于【詳解】（1）因?yàn)樽畲笾敌∮诹?的.，所以的最小正周期 （2）由（1）知又函數(shù)由得的單調(diào)遞增區(qū)間為， ， (z )所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）因?yàn)?，所?所以.所以.當(dāng)，即時，的最大值為，又因?yàn)閷τ谌我夂愠闪?，所以，?所以 的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間和最值問題，關(guān)鍵在正確化簡三角函數(shù)解析式為一個角的一個三角函數(shù)名稱的形式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)解答，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)18.某學(xué)校組織了垃圾分類知識競賽活動設(shè)置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、

15、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取 張，按照自己的判斷，將每張卡片放入對應(yīng)的箱子中按規(guī)則，每正確投放一張卡片得 分，投放錯誤得 分比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得 分，放入其它箱子，得 分從所有參賽選手中隨機(jī)抽取 人，將他們的得分按照圖：， ， ， ，分組，繪成頻率分布直方圖如（1）分別求出所抽取的 人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)；（2）從所抽取的 人中得分落在組的選手中隨機(jī)選取 名選手，以 表示這 名選手中得分不超過 分的人數(shù)，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3） 如果某選手將抽到的 20 張卡片逐一隨機(jī)放入四

16、個箱子，能否認(rèn)為該選手不會得到 100 分？請說明理由【答案】（1）抽取的 人中得分落在組的人數(shù)有 人，得分落在組的人數(shù)有 人；（2）分布列見解析，1.2；（3）答案不唯一，具體見解析.【解析】【分析】（1） 根據(jù)頻率分布直方圖即可得到滿足題意的人數(shù)；（1） 的所有可能取值為 ， ， ，求出相應(yīng)的概率值，即可得到的分布列和數(shù)學(xué)期望； （3）該選手獲得 100 分的概率是 ，結(jié)合此數(shù)據(jù)作出合理的解釋.【詳解】（1）由題意知，所抽取的 人中得分落在組 （人），的人數(shù)有得分落在組的人數(shù)有 （人）所以所抽取的 人中得分落在組（2） 的所有可能取值為 ， ， ，所以 的分布列為的人數(shù)有 人，得分落在組，

17、 的人數(shù)有 人所以 的期望（3）答案不唯一答案示例 1：可以認(rèn)為該選手不會得到 100 分理由如下：該選手獲得 100 分的概率是 ，概率非常小，故可以認(rèn)為該選手不會得到 100 分答案示例 2：不能認(rèn)為該同學(xué)不可能得到 100 分理由如下：該選手獲得 100 分的概率是，雖然概率非常小，但是也可能發(fā)生，故不能認(rèn)為該選手不會得到 100 分【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，概率的理解， 考查分析問題解決問題的能力.19.如圖，在四棱錐， ， 為中，底面的中點(diǎn)是邊長為 的菱形， ，平面 ，（1） 求證： ；（2） 求異面直線 與所成角的余弦值；（3）判斷直線 與

18、平面的位置關(guān)系，請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2） 【解析】【分析】；（3）相交，理由見解析（1）根據(jù)題意先證明平面 ，即可得到答案；（2）以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 為 軸，以 為 軸，以過點(diǎn) 且與 平行的直線為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出 、 的坐標(biāo)，利用公式即可得到結(jié)果；（3）求出平面的一個法向量與向量 ，根據(jù)與零的關(guān)系，作出判斷.【詳解】（1）連結(jié) 因?yàn)榈酌嬗忠驗(yàn)槭橇庑?，所以 平面，平面.，所以.又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)樗云矫?，（2）設(shè) ，因?yàn)榈酌嫠越挥邳c(diǎn) .是菱形 ，又因?yàn)樗云矫妫?如圖，以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 為 軸，以 為 軸，以過點(diǎn) 且與 建立空間直角坐標(biāo)系 ，平行的直

19、線為 軸，則， ， ， ， ， ，.則， ，設(shè)異面直線 與 所成角為 ，則，所以 與 所成角的余弦值為.（3）直線 與平面由（2）可知，相交.證明如下：， ，設(shè)平面的一個法向量為，則即令 ，得 則，所以直線 與平面相交【點(diǎn)睛】本題考查線面的位置關(guān)系，考查異面直線所成角的度量，考查推理能力與計算能力， 屬于中檔題.20.已知橢圓過點(diǎn) ，且橢圓 的一個頂點(diǎn) 的坐標(biāo)為過橢圓 的右焦點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于不同的兩點(diǎn) ， （ ， 不同于點(diǎn) ），直線與直線 ：交于點(diǎn) 連接 ，過點(diǎn) 作 的垂線與直線 交于點(diǎn) （1）求橢圓 的方程，并求點(diǎn) 的坐標(biāo)； （2）求證： ， ， 三點(diǎn)共線【答案】（1）【解析】【分析

20、】， ；（2）證明見解析.（1） 根據(jù)題意列方程組（2） 討論直線 的斜率，利用【詳解】（1） 因?yàn)辄c(diǎn)，即可得到橢圓的方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)；是平行的證明 ， ， 三點(diǎn)共線在橢圓 上，且橢圓 的一個頂點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，所以解得所以橢圓 的方程為所以橢圓 的右焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為（2） 當(dāng)直線 的斜率不存在時，直線 的方程為顯然，或 ， 當(dāng)，時，直線 的方程為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 所以直線 的方程為，點(diǎn) 的坐標(biāo)為則所以， ，所以 ， ， 三點(diǎn)共線同理，當(dāng)，時， ， ， 三點(diǎn)共線 當(dāng)直線 的斜率存在時，設(shè)直線 的方程為 由得且設(shè)， ，則 ，直線 的方程為，點(diǎn) 的坐標(biāo)為所以 直線 的方程為，點(diǎn) 的坐標(biāo)為則所以，

21、所以 與 共線，所以 ， ， 三點(diǎn)共線綜上所述， ， ， 三點(diǎn)共線【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考 查韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題21.已知函數(shù)（1）若.（）求曲線（）求函數(shù)在點(diǎn)在區(qū)間， 處的切線方程；內(nèi)的極大值的個數(shù)（2）若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) 的取值范圍【答案】（1）（） 【解析】【分析】；（）1；（2） （1）（）求出導(dǎo)函數(shù)，得到與 ，利用點(diǎn)斜式得到直線的方程；（）研究函數(shù)在區(qū)間（2）由題可知，內(nèi)單調(diào)性，結(jié)合極值的定義得到答案；，其中 ，分兩類情況：與結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值即可得到實(shí)數(shù) 的取值范圍【詳解】（1）（）因?yàn)?所以又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)化簡得，處的切線方程為 ，（）當(dāng)時，單調(diào)遞增，此時無極大值當(dāng)時，設(shè)，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減又因?yàn)樗栽?，?nèi)存在唯一的，使得 當(dāng) 變化時，的變化如下表0所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，此時有唯一極大值綜上所述，（2） 由題可知在內(nèi)的極大值的個數(shù)為 ，其中 當(dāng)時，故在內(nèi)單調(diào)遞減；下面