高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)運(yùn)動(dòng)定律運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、運(yùn)動(dòng)定律3.1牛頓定律311、牛頓第一定律任何物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直到其他物體所作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。這是牛頓第一定律的內(nèi)容。牛頓第一定律是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。物體保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)稱為慣性。牛頓第一定律又稱為慣性定律，慣性定律是物體的固有屬性，可用質(zhì)量來量度。無論是靜止還是勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其速度都是不變的。速度不變的運(yùn)動(dòng)也就是沒有加速度的運(yùn)動(dòng)，所以物體如果不受到其他物體的作用，就作沒有加速度的運(yùn)動(dòng)，牛頓第一定律指出了力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。牛頓第一定律只在一類特殊的參照系中成立，此參照系稱為慣性參照系。簡稱慣性系。相對(duì)某一慣性系作勻速運(yùn)動(dòng)的參照

2、系必定也是慣性系，牛頓第一定律不成立的參照系稱為非慣性參照系，簡稱非慣性系，非慣性系相對(duì)慣性系必作變速運(yùn)動(dòng)，地球是較好的慣性系，太陽是精度更高的慣性系。312牛頓第二定律(1)定律內(nèi)容：物體的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同(2)數(shù)學(xué)表達(dá)式：(3)理解要點(diǎn)牛頓第二定律不僅揭示了物體的加速度跟它所受的合外力之間的數(shù)量關(guān)系，而且揭示了加速度方向總與合外力的方向一致的矢量關(guān)系。在應(yīng)用該定律處理物體在二維平面或三維空間中運(yùn)動(dòng)的問題，往往需要選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把它寫成分量形式牛頓第二定律反映了力的瞬時(shí)作用規(guī)律。物體的加速度與它所受的合外力是時(shí)刻對(duì)應(yīng)的，即物

3、體所受合外力不論在大小還是方向上一旦發(fā)生變化，其加速度也一定同時(shí)發(fā)生相應(yīng)的變化。f1f2圖3-1-1當(dāng)物體受到幾個(gè)力的作用時(shí)，每個(gè)力各自獨(dú)立地使物體產(chǎn)生一個(gè)加速度，就如同其他力不存在樣；物體受幾個(gè)力共同作用時(shí)，產(chǎn)生的加速度等于每個(gè)力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的加速度的矢量和，如圖3-1-1示。這個(gè)結(jié)論稱為力的獨(dú)立作用原理。牛頓第二定律闡述了物體的質(zhì)量是慣性大小的量度，公式反映了對(duì)同物體，其所受合外跟它的加速度之比值是個(gè)常數(shù)，而對(duì)不同物體其比值不同，這個(gè)比值的大小就是物體的質(zhì)量，它是物體慣性大小量度，當(dāng)合外力不變時(shí)，物體加速度跟其質(zhì)量成反比，即質(zhì)量越大，物體加速度越小，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越難改變，慣性也就越大。牛頓第

4、二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式定義了力的基本單位；牛頓（n）。因?yàn)?，故，?dāng)定義使質(zhì)量為1kg的物體產(chǎn)生加速度的作用力為1n時(shí)，即1n=時(shí)，k=1。由于力的單位1n的規(guī)定使牛頓第二定律公式中的k=1，由此所產(chǎn)生的單位制即我們最常用的國際單位制。在慣性參考系中，公式中的ma不是一個(gè)單獨(dú)的力，更不能稱它是什么“加速力”，它是一個(gè)效果力，只是在數(shù)值上等于物體所受的合外力。f圖3-2-1對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系而言，同樣可以應(yīng)用牛頓第二定律。如果這個(gè)質(zhì)量系在任意的x方向上受的合外力為，質(zhì)點(diǎn)系中的n個(gè)物體（質(zhì)量分別為）在x方向上的加速度分別為，那么有這就是質(zhì)點(diǎn)系的牛頓第二定律。313、牛頓第三定律（1）定律內(nèi)容：兩個(gè)物體之間的作

5、用力與反作用力總是大小相等，方向相反，作用在一條直線上。（2）數(shù)學(xué)表達(dá)式：（3）理解要點(diǎn)牛頓第三定律揭示了物體相互作用的規(guī)律，自然界中的力的作用都是相互的，任何一個(gè)物體既為受力體，則它一定就是施力體。相互作用力必定是同一性質(zhì)的力，即如果其中一個(gè)力是摩擦力，則它的反作用力也一定是摩擦力。兩個(gè)相互作用力要與一對(duì)平衡力區(qū)分清楚。這個(gè)相互作用力是指的性質(zhì)力。對(duì)于效果力不一定能找到“整體”的反作用力，如有人說向心力的反作用力就是離心力。這是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄蛐牧ν怯啥鄠€(gè)力作用是共同效果，其中每個(gè)力都有其各自的反作用力，故向心力這個(gè)合力就不一定有一個(gè)所謂反作用力。314、關(guān)于參照系的問題（1）慣性參照系：

6、牛頓第一定律實(shí)際上又定義了一種參照系，在這個(gè)參照系中觀察，一個(gè)不受力作用的物體將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這樣的參照系就叫做慣性參照系，簡稱慣性系。由于地球在自轉(zhuǎn)的同時(shí)又繞太陽公轉(zhuǎn)，所以嚴(yán)格地講，地面不是一個(gè)慣性系。在一般情況下，我們可不考慮地球的轉(zhuǎn)動(dòng)，且在研究較短時(shí)間內(nèi)物體的運(yùn)動(dòng)，我們可以把地面參照系看作一個(gè)足夠精確的慣性系。（2）非慣性參照系：凡牛頓第一定律不成立的參照系統(tǒng)稱為非慣性參性系，一切相對(duì)于慣性參照系做加速運(yùn)動(dòng)的參照系都是非慣性參照系。在考慮地球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，地球就是非慣性系。在非慣性系中，物體運(yùn)動(dòng)不遵循牛頓第二定律，但在引入“慣性力”的概念以后，就可以利用牛頓第二定律的形式來解決動(dòng)

7、力學(xué)問題了。（關(guān)于慣性力的應(yīng)用在后邊將到）。3.2牛頓定律在曲線運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用321、物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是，物體的初速度不為零，受到的合外力與初速度不共線，指向曲線的“凹側(cè)”，如圖3-2-1，該時(shí)刻物體受到的合外力f與速度的夾角滿足的條件是0180。322、圓周運(yùn)動(dòng)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件是，物體受到始終與速度方向垂直，沿半徑指向圓心，大小恒定的力的作用。由牛頓第二定律可知，其大小為 。在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，合外力在法線方向和切線方向都有分量，法向分量產(chǎn)生向心加速度。切向分量產(chǎn)生切向加速度。323、一般曲線運(yùn)動(dòng)與變速圓周運(yùn)動(dòng)類似，在一般曲線運(yùn)動(dòng)中，合外力在法線方向和切線方向都有

8、分量，法向分量的大小為r為曲線在該處的曲率半徑，切向分量的大小為3.3 慣性力應(yīng)用牛頓定律時(shí)，選用的參照系應(yīng)該是慣性系。在非慣性系中，為了能得到形式上與牛頓第二定律一致的動(dòng)力學(xué)方程，引入慣性力的概念，引入的慣性力必須滿足式中是質(zhì)點(diǎn)受到的真實(shí)合力，是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)非慣性系的加速度。真實(shí)力與參照系的選取無關(guān)，慣性力是虛構(gòu)的力，不是真實(shí)力。慣性力不是自然界中物質(zhì)間的相互作用，因此不屬于牛頓第三定律涉及的范圍之內(nèi)，它沒有施力物體，不存在與之對(duì)應(yīng)的反作用力331平動(dòng)加速系統(tǒng)中的慣性力設(shè)平動(dòng)非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度為。質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于慣性系加速度，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平動(dòng)非慣性系的加速度質(zhì)點(diǎn)受到的真實(shí)力

9、對(duì)慣性系有對(duì)非慣性系得 平動(dòng)非慣性系中，慣性力由非慣性系相對(duì)慣性系的加速度及質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量確定，與質(zhì)點(diǎn)的位置及質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于非慣性系速度無關(guān)。332、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)系中的慣性力om圖331如圖331，圓盤以角速度繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤上用長為r的細(xì)線把質(zhì)量為m的點(diǎn)系于盤心且質(zhì)點(diǎn)相對(duì)圓盤靜止，即隨盤一起作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以慣性系觀察，質(zhì)點(diǎn)在線拉力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，符合牛頓第二定律以圓盤為參照系觀察，質(zhì)點(diǎn)受力拉到作用而保持靜止，不符合牛頓定律要在這種非慣性系中保持牛頓第二定律形式不變，在質(zhì)點(diǎn)靜止于此參照系的情況下，引入慣性力為轉(zhuǎn)軸向質(zhì)點(diǎn)所引矢量，與轉(zhuǎn)軸垂直，由于這個(gè)慣性力的方向沿半徑背離圓心，通常稱為慣性離

10、心力由此得出：若質(zhì)點(diǎn)靜于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性參照系中，則作用于此質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)力與慣性離心力的合力等于零慣性離心力的大小，除與轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的角速度和質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)外，還與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)（半徑），必須指出的是，如果質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)，則若想在形式上用牛頓第二定律來分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，僅加慣性離心力是不夠的，還須加其他慣性力。如科里奧里力，科里奧利力是以地球這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)物體為參照系所加入的慣性力，它的水平分量總是指向運(yùn)動(dòng)的右側(cè)，即指向相對(duì)速度的右側(cè)。例如速度自北向南，科里奧利力則指向西方。這種長年累月的作用，使得北半球河流右岸的沖刷甚于左岸，因而比較陡峭。雙軌鐵路的情形也是這樣。在北半球，由于右軌所受壓力

11、大于左軌，因而磨損較甚。南半球的情況與此相反，河流左岸沖刷較甚，而雙線鐵路的左軌磨損較甚。由于這個(gè)過程極為復(fù)雜，涉及微分知識(shí)及坐標(biāo)系建立，這里就不進(jìn)一步討論了。333、用實(shí)驗(yàn)方法證明在非慣性系中加入慣性力的必要性。圖332在一列以加速度做直線運(yùn)動(dòng)的車廂里，有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，放在光滑的桌面上，如圖3-3-2所示，相對(duì)于地面慣性系來觀測(cè)，小球保持靜止?fàn)顟B(tài)，小球所受合外力為零，符合牛頓運(yùn)動(dòng)定律，相對(duì)于非慣性系的車廂來觀測(cè)，小球以加速度向后運(yùn)動(dòng)，而小球沒有受到其它物體對(duì)他的力的作用，牛頓運(yùn)動(dòng)定律不再成立。不過，車廂里的人可以認(rèn)為小球受到一向后的力，把牛頓定律寫為。這樣的力不是其它物體的作用，而是參

12、照系是非慣性系所引起的，稱為慣性力如果一非慣性系以加速度相對(duì)慣性系而運(yùn)動(dòng)，則在此非慣性系里，任一質(zhì)量為m的物體都受到一慣性力，把慣性力計(jì)入在內(nèi)，在非慣性里也可以應(yīng)用牛頓定律當(dāng)汽車拐彎做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于地面出現(xiàn)向心加速度，相對(duì)于車廂人感覺向外傾倒，常說受到了離心力，正確地說應(yīng)是慣性離心力，這就是非慣性系中出現(xiàn)的慣性力。abn圖3-3-3如圖3-3-3，一物塊a放在傾角為的光滑斜面b上，問斜面b必須以多大的加速度運(yùn)動(dòng)，才能保持a、b相對(duì)靜上？可取b作為參照系，a在此參照系中靜止。因?yàn)閎是相對(duì)地面有加速度的非慣性參照系，所以要加一個(gè)慣性力f=ma，方向水平向右，a的大小等于b相對(duì)地面的加速度。由受

13、力分析圖可知f=ma=mg3.4應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解題的方法和步驟應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律的基本方法是隔離法，再配合正交坐標(biāo)運(yùn)用分量形式求解。解題的基本步驟如下：(1)選取隔離體，即確定研究對(duì)象一般在求某力時(shí)，就以此力的受力體為研究對(duì)象，在求某物體的運(yùn)動(dòng)情況時(shí)，就以此物體為研究對(duì)象。有幾個(gè)物體相互作用，要求它們之間的相互作用力，則必須將相互作用的物體隔離開來，取其中一物體作研究對(duì)象。有時(shí)，某些力不能直接用受力體作研究對(duì)象求出，這時(shí)可以考慮選取施力物體作為研究對(duì)象，如求人在變速運(yùn)動(dòng)的升降機(jī)內(nèi)地板的壓力，因?yàn)榈匕迨芰^為復(fù)雜，故采用人作為研究對(duì)象為好。在選取隔離體時(shí)，采用整體法還是隔離法要靈活運(yùn)用。如圖3-

14、4-1要求質(zhì)量分別為m和m的兩物體組成的系統(tǒng)的加速度a，有兩種方法，一種是將兩物體隔離，得方程為mm圖3-4-1另種方法是將整個(gè)系統(tǒng)作為研究對(duì)象，得方程為顯然，如果只求系統(tǒng)的加速度，則第二種方法好；如果還要求繩的張力，則需采用前一種方法。(2)分析物體受力情況：分析物體受力是解動(dòng)力學(xué)問題的一個(gè)關(guān)鍵，必須牢牢掌握。一般順序：在一般情況下，分析物體受力的順序是先場(chǎng)力，如重力、電場(chǎng)力等，再彈力，如壓力、張力等，然后是摩擦力。并配合作物體的受力示意圖。大小和方向不受其它力和物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)影響的力叫主動(dòng)力，如重力、庫侖力；大小和主向與主動(dòng)力和物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有密切聯(lián)系的力叫被動(dòng)力或約束力，如支持力、摩擦力。這

15、就決定了分析受力的順序。如物體在地球附近不論是靜止還是加速運(yùn)動(dòng)，它受的重力總是不變的；放在水平桌面上的物體對(duì)桌面的壓力就與它們?cè)谪Q直方向上有無加速度有關(guān)，而滑動(dòng)摩擦力總是與壓力成正比。afxfy圖3-4-2關(guān)于合力與分力：分析物體受力時(shí)，只在合力或兩個(gè)分力中取其一，不能同時(shí)取而說它受到三個(gè)力的作用。一般情況下選取合力，如物體在斜面上受到重力，一般不說它受到下滑力和垂直面的兩個(gè)力。在些特殊情況下，物體其合力不能先確定，則可用兩分力來代替它，如圖3-4-2橫桿左端所接鉸鏈對(duì)它的力方向不能明確之前，可用水平和豎直方向上的兩個(gè)分力來表示，最后再求出這兩個(gè)分力的合力來。關(guān)于內(nèi)力與外力：在運(yùn)用牛頓第二定律

16、時(shí)，內(nèi)力是不可能對(duì)整個(gè)物體產(chǎn)生加速度的，選取幾個(gè)物體的組合為研究對(duì)象時(shí)，這幾個(gè)物體之間的相互作用力不能列入方程中。要求它們之間的相互作用，必須將它們隔離分析才行，此時(shí)內(nèi)力轉(zhuǎn)化成外力。關(guān)于作用力與反作用力：物體之間的相互作用力總是成對(duì)出現(xiàn)，我們要分清受力體與施力體。在列方程解題時(shí)，對(duì)一對(duì)相互作用力一般采用同一字線表示。在不考慮繩的質(zhì)量時(shí)，由同一根繩拉兩個(gè)物體的力經(jīng)常作為一對(duì)相互作用力處理，經(jīng)過不計(jì)摩擦的定滑輪改變了方向后，我們一般仍將繩對(duì)兩個(gè)物體的拉力當(dāng)作一對(duì)相互作用力處理。(3)分析物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及其變化運(yùn)用牛頓定律解題主要是分析物體運(yùn)動(dòng)的加速度a，加速度是運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)聯(lián)系的紐帶，經(jīng)常遇到的問

17、題是已知物體運(yùn)動(dòng)情況通過求a而求物體所受的力。圖343m1f針對(duì)不同的運(yùn)動(dòng)形式和運(yùn)用不同的公式，在分析物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)有不同的要求。對(duì)于靜力學(xué)的問題，其加速度為零，速度為零或常量；對(duì)于牛頓運(yùn)動(dòng)定律問題，主要是分析加速度，要注意其瞬時(shí)性，勻變速運(yùn)動(dòng)可任取一點(diǎn)分析，變加速運(yùn)動(dòng)則必須找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)分析；如果是運(yùn)用動(dòng)量定理或動(dòng)能定理，則必須分析物體所受的力的沖量或所做的功，還要分析運(yùn)動(dòng)始末兩態(tài)的動(dòng)量或動(dòng)能。要注意物體運(yùn)動(dòng)的加速度與速度的大小方向的關(guān)系，也要注意兩者大小不一定同時(shí)為零，如豎直上拋的最高點(diǎn)，速度為零加速度不為零，在振動(dòng)的平衡位置速度最大加速度為零；兩者的方向也不一定相同，如加速上升，兩者方向相同

18、，減速上升，兩者方向相反。圖3-4-4對(duì)于由幾個(gè)物體組成的連接體的運(yùn)動(dòng)，要分析各個(gè)物體的加速度。各個(gè)物體的加速度之間的關(guān)系的求法是：一般假設(shè)各物體初速為零，由公式，再由各物體的位移的比值找出它們加速度之間的關(guān)系來。如圖3-4-3，顯然有，故有，所以 圖3-4-4， 故有 如圖3-4-5設(shè)，我們以地球?yàn)閰⒄瘴?，三者的加速度如圖所示，為了找出三個(gè)加速度大小的關(guān)系，我們?cè)O(shè)由于和的運(yùn)動(dòng)，使繩有沿動(dòng)滑輪邊沿的加速度，根據(jù)有關(guān)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律有m1m2m3圖3-4-5兩式相減消去得到三個(gè)加速度之間的關(guān)系式為若不知加速度a的方向，則可事先假設(shè)加速度的方向，按假設(shè)算出來的加速度若為正，則說明假設(shè)正確；若計(jì)算出來

19、的加速度為負(fù)，則不能簡單地認(rèn)為加速度的方向與假設(shè)的方向相反，一般情況下，應(yīng)該換一個(gè)方向重新計(jì)算，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)方向不同時(shí)，物體所受的力有可能不同，特別是有摩擦力的時(shí)候。(4)建立坐標(biāo)系通常我們采用慣性坐標(biāo)系，一般不加申明就以地球?yàn)閰⒄瘴?，有時(shí)為了方便，采用非慣性坐標(biāo)系。坐標(biāo)也有瞬時(shí)性，如圓錐擺所建立的坐標(biāo)就是指某一瞬間的。通常采用直角坐標(biāo)系，對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)常用自然坐標(biāo)，即取切向和法向?yàn)閮勺鴺?biāo)軸的方向，切向加速度反映了速度大小的變化，法向加速度反映了速度方向的變化。選取坐標(biāo)軸，最好能以加速度方向?yàn)橐惠S的方向，這樣可以使方程較為簡潔；如果由于解題需要而兩軸都不與加速度同向，則要注意將加速度依坐標(biāo)分解列入方程

20、。(5)列方程和解方程根據(jù)物理意義列出方程，對(duì)于正交坐標(biāo)，一般是對(duì)每一個(gè)隔離體列出一組坐標(biāo)數(shù)的方程。出于解題的需要，一般是方程數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等，若方程數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則要注意題目的隱含條件，或者用特殊方法可以解出。不同的題型要注意有不同的解法，有些題目可以一次性的列出方程，有些題目必須走一步看一步，逐步推出結(jié)論。(6)驗(yàn)算作答驗(yàn)算是必不可少的一步，要根據(jù)物理意義和題設(shè)條件剔除多余的根。為了快速檢驗(yàn)，可以采用檢驗(yàn)答案的量綱的方法。正負(fù)符號(hào)在物理問題中有廣泛的應(yīng)用，要特別注意正負(fù)號(hào)的物理意義。3.5力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系判斷一個(gè)物體做什么運(yùn)動(dòng)，一要看它受到什么外力，二要看它的初速與外力方向的關(guān)系。

21、物體運(yùn)動(dòng)某時(shí)刻的加速度總與該時(shí)刻所受的合外力相對(duì)應(yīng)，而某時(shí)刻的速度沿軌跡切線方向，與該時(shí)刻所受的力沒有直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。(1)物體受平衡力的作用：。當(dāng)時(shí)，物體靜止：當(dāng)時(shí)，物體以作勻速直線運(yùn)動(dòng)。(2)物體作直線運(yùn)動(dòng)：=恒量，恒量，物體作勻變速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，作初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)時(shí)，如果與同向，物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，如果和反向，物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)。=變量，=變量，物體將做變加速運(yùn)動(dòng)。如果方向不變大小變，物體作如有空氣阻力的豎直上拋運(yùn)動(dòng)；若大小和方向都變，物體的運(yùn)動(dòng)更要具體分析。(3)物體作曲線運(yùn)動(dòng)物體作曲線運(yùn)動(dòng)的條件：當(dāng)物體所受的合外力的方向與物體運(yùn)動(dòng)的速度方向不在一條直線上時(shí)，物體將作曲線運(yùn)

22、動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過程中，物體的速度方向是在曲線某點(diǎn)的切線方向上，合力在切線方向的分量產(chǎn)生切向加速度，它描述速度大小改變的快慢；合力在法線方向（徑向）的分量產(chǎn)生法向加速度，它描述速度方向改變的快慢。拋物線運(yùn)動(dòng)：當(dāng)物體所受的合外力大小和方向都不變，而速度與合外力方向不在同一直線上時(shí)，物體作軌跡為拋物線的運(yùn)動(dòng)。如物體只受重力作用的拋體運(yùn)動(dòng)和帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)合力與初速的方向垂直時(shí)，物體做類平拋運(yùn)動(dòng)；當(dāng)合力與初速的夾角小于90時(shí)，物體作類下拋運(yùn)動(dòng)；當(dāng)合力與初速的夾角大于90時(shí)，物體作類上拋運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)：當(dāng)物體所受的合外力的大小保持不變，而速度與合外力保持垂直，則物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在勻速圓周運(yùn)

23、動(dòng)中，切向加速度為零，法向加速度即向心加速度，故此時(shí)合外力就叫向心力或 m1m2m3圖3-5-1向心力是從力的作用效果命名的力，任何一個(gè)力或幾個(gè)力的合力，只要它的作用效果是使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生向心加速度，這個(gè)力或這幾力的合力就叫向心力。不要在分析物體所受的重力、彈力、摩擦力之外再無中生有地受到一個(gè)向心力。做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力，一定在法向上有一個(gè)分量，這一分量即為向心力；在切向上也有一個(gè)分量，這一分量使速度大小有變化。所謂離心力是對(duì)作圓周運(yùn)動(dòng)的物體給提供它的向心力的另一物體的作用力，如果做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的向心力是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體共同提供的，則離心力必作用在這兩個(gè)或兩個(gè)以上的相應(yīng)的物體

24、上，所以，除了只有一個(gè)物體提供向心力的情況外，一般不能把離心力說成是向心力的反作用力。當(dāng)合外力提供的向心力小于物體所需的向心力時(shí)，物體將遠(yuǎn)離原來的軌道作離心運(yùn)動(dòng)；當(dāng)合力提供的向心力在某時(shí)刻消失時(shí)，物體將沿該時(shí)刻的速度方向飛出，這些現(xiàn)象的實(shí)質(zhì)是物體的慣性所致，而不是所謂離心力的作用。在非慣性系中提出的慣性離心力這一虛擬力，也與上述離心力根本不同，決不能混淆。如下是一些實(shí)際應(yīng)用問題：兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體在某一種力（一般是彈力或摩擦力）作用下一起運(yùn)動(dòng)，叫做聯(lián)接體，解聯(lián)接體的問題一般要用隔離法，即把某一個(gè)物體隔離出來進(jìn)行分析，有時(shí)聯(lián)接體中的各個(gè)物體具有不同的加速度，必須確定它們的加速度之間的關(guān)系。如圖

25、3-5-1所示的裝置，細(xì)繩不可伸長，三個(gè)物體的加速度方向如圖所示，那么它們的加速度之間有什么關(guān)系呢？先設(shè)物體不動(dòng)，那么當(dāng)物體下降時(shí)物體將上升；再設(shè)物體不動(dòng)，當(dāng)物體下降物體將上升。當(dāng)上述兩種運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來，則實(shí)際上物體下降物體下降物體應(yīng)是上升。它們對(duì)時(shí)間的變化率（即速度）之間也有上述關(guān)聯(lián)，即 它們的加速度之間的關(guān)系也同樣是abpqk圖3-5-2再如圖3-5-2所示的物體系，由于b球受重力作用，使b球向下做加速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)三角形劈a向左做加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)球和劈在原來的k點(diǎn)接觸，經(jīng)過時(shí)間之后，球上的k點(diǎn)移動(dòng)到了p點(diǎn)處，劈上的k點(diǎn)移到了q點(diǎn)處，顯然kpq和劈的剖面三角形是相似的，即kqp等于劈的底角，因此同樣

26、，任何時(shí)刻都有mgnh圖3-5-3如圖3-5-3所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球沿著拋物線型的軌道從h米高處由靜止開始滑下，試求小球到達(dá)軌道底部時(shí)對(duì)軌道的壓力。小球到達(dá)底部時(shí)的速度根據(jù)第二講的討論可知，拋物線底部的曲率半徑小球在底部時(shí)受到二個(gè)力：重力mg和軌道彈力n，因此fmmxy圖3-5-4兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，用細(xì)繩連接起來，置于光滑平面上，繩恰好被拉直。用一個(gè)恒力f作用在連繩中點(diǎn)，f的方向水平且垂直于繩的初始位置（圖3-5-4），f力拉動(dòng)原來處于靜止?fàn)顟B(tài)的小球。問：在兩小球第一次相撞前的一瞬間，小球在垂直于f的作用線方向（設(shè)為y方向）上的分速度多大？由于繩的張力和方向都在不斷改變，因此兩小球的運(yùn)

27、動(dòng)是比較復(fù)雜的，我們應(yīng)用兩種手段使復(fù)雜的問題簡化。一是先研究小球在某一方向即f作用的線方向（設(shè)為x方向）上的運(yùn)動(dòng)：當(dāng)繩與作用線成角時(shí)繩上的張力，這個(gè)張力使小球產(chǎn)生的在x方向上的加速度為ft圖3-5-5可見，無關(guān)，即小球在x方向上做勻加速運(yùn)動(dòng)（圖3-5-5）二是只考慮小球運(yùn)動(dòng)的初、末兩個(gè)狀態(tài)：設(shè)f的作用點(diǎn)共移動(dòng)了s距離，則小球在x方向上運(yùn)動(dòng)了的距離，小球碰撞前在x方向上的速度為在這段過程中，f力做的功為，根據(jù)動(dòng)能定理應(yīng)該說明的是，因?yàn)閯?dòng)能定理是從牛頓第二定律推導(dǎo)出來的，因此只適用于慣性系。雖然相對(duì)不同的慣性系，f做功的位移和物體的速度都是不一樣的，但動(dòng)能定理卻仍然成立。3.6 萬有引力 天體的運(yùn)

28、動(dòng)361、萬有引力任何兩個(gè)物體間存在一種稱為萬有引力的相互作用力。萬有引力是自然界中已發(fā)現(xiàn)的四種相互作用（萬有引力相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用）之一。兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，其大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量乘積成正比，與兩質(zhì)點(diǎn)距離的平方成反比，方向沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向，其表示式為式中g(shù)稱為萬有引力常量，其值為萬有引力公式只適用于質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)物體的幾何線度不能忽略時(shí)，可以把它們分割成線度可略的小部分，兩物體間每一小部分之間的萬有引力的合力便就是兩物體間的萬有引力?？梢宰C明兩個(gè)質(zhì)量均勻的球體之間的引力?？梢杂萌f有引力定律計(jì)算，只是計(jì)算式中的r為兩球心間的距離。質(zhì)量為m的均勻分布的球殼對(duì)球殼外任一質(zhì)點(diǎn)

29、的萬有引力，等于質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)處于球心處與該質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力，它對(duì)球殼內(nèi)的任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力則為零。測(cè)得的地球表面上物體所受到的重力，是地球?qū)ξ矬w引力的一個(gè)分量，由于地球并不嚴(yán)格是個(gè)球體，質(zhì)量分布也不均勻，加之地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，使得同一物體，在地球表面不同位置處受到的重力略有不同。萬有引力定律的應(yīng)用天體表面的重力加速度g：設(shè)天體質(zhì)量為m且均勻分布，天體為圓球體且半徑為r，物體質(zhì)量為m，則 故 關(guān)于天體質(zhì)量和平均密度的計(jì)算：設(shè)質(zhì)量為m的行星繞質(zhì)量為m的恒星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)，公轉(zhuǎn)的半徑為r，周期為t，由牛頓定律，恒星對(duì)行星的萬有引力就是行星繞恒星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故有由此可得恒星的質(zhì)量為圖

30、3-6-1設(shè)恒星的球半徑為r，則它的平均密度為這個(gè)公式也適用于衛(wèi)星繞行星作圓周運(yùn)動(dòng)的情況。如設(shè)近地人造衛(wèi)星的周期為t，因有，上式就可以寫成這就很容易求出地球的平均密度了。362、天體的運(yùn)動(dòng)開普勒根據(jù)前人積累的行星運(yùn)動(dòng)觀察資料。總結(jié)出關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的三定律開普勒三定律。第一定律：行星圍繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓，太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第二定律：行星與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。下面舉一個(gè)例子詳加說明：為用數(shù)學(xué)式子表述第二定律，設(shè)徑矢r在時(shí)間內(nèi)掃過的面積為，則面積速度為，由圖3-6-1可知，故面積速度為常量式中v為行星運(yùn)動(dòng)的線速度，為徑矢r與速度v方向之間的夾角。當(dāng)行星位于橢圓軌道的近日點(diǎn)或

31、遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，速度v的方向與徑矢r的方向垂直，即=90，故第三定律：各行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期平方與軌道半長軸立方的比值相同，即 開普勒定律不僅適用于行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)。也適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)半長軸a與半短軸b相等時(shí)，橢圓成為圓。由開普勒第二定律可知，圓軌道運(yùn)動(dòng)必為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力。對(duì)于繞地球作半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，由牛頓第二定律和萬有引力定律可得根據(jù)地球表面物體重力與引力的關(guān)系r為地球半徑衛(wèi)星速率為對(duì)于貼著地球表面運(yùn)行的衛(wèi)星。這就是第一宇宙速度，也就是發(fā)射衛(wèi)星必須具有的最小速度利用能量關(guān)系，可求出從地球表面發(fā)射的宇宙飛般，為能掙脫地球引力的束縛，其發(fā)射速度必須滿足稱為第二

32、宇宙速度。下面舉一個(gè)例子詳加說明：新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400km，且由通常的水形成的海洋覆蓋著它的所有表面，海洋的深度為10km。學(xué)者們對(duì)該行星進(jìn)行探查時(shí)發(fā)現(xiàn)。當(dāng)把試驗(yàn)用的樣品浸入行星海洋的不同深度時(shí)，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變，試求這個(gè)行星表面處的自由落體加速度。已知萬有引力常數(shù)為 。解1：如圖3-6-2以r表示此星球（包括水層）的半徑，m表示其質(zhì)量，h表示其表層海洋的深度，r表示海洋內(nèi)任一點(diǎn)a到星球中心o的距離，表示除表層海洋外星球內(nèi)層的半徑。則有，且，以表示水的密度，則此星球表層海洋中水的總質(zhì)量為由于，故式可略去其中h的高次項(xiàng)面是近似寫為根據(jù)均勻球體表面處重力加

33、速度的公式，r0rraoh圖3-6-2可得此星球表層海洋的底面和表面處的重力加速度分別為依題述有,即整理上式可解得由于，故近似取2rh-,則式可寫為由和式得此星球表面的重力加速度為以g=、代入式，得解2：設(shè)行星的內(nèi)層（即半徑為的球體部分）的平均密度為，則可將該半徑為的球體視為由一個(gè)均勻的水球（密度為、半徑為）和一個(gè)密度為半徑為的球疊加而成。則在水球殼層內(nèi)的重力加速度應(yīng)由這兩個(gè)球分別產(chǎn)生的加速度疊加而成。如圖3-6-2，對(duì)于水球殼層中的任一點(diǎn)a，以表示上述水球在該處形成的重力加速度，則有由上式可見，隨r的增加而增加，當(dāng)r增加為r+r時(shí)，的增加量為又以表示上述的密度為的球在a點(diǎn)產(chǎn)生的重力加速度，則

34、有由上式可見，隨r的增加而減少，當(dāng)r增加為r+r時(shí)，的增加量（為一負(fù)值，表明其實(shí)際上是減少）為上式演算中利用了近似關(guān)系。由于要求在水層內(nèi)重力加速度g為恒量，即不隨r變化而變化，故應(yīng)有即近似取r=，乃得則行星內(nèi)層密度為由上可得此行星內(nèi)外兩層分界面處的重力加速度（亦即行星表面處的重力加速度）為運(yùn)動(dòng)學(xué)2.1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念圖2-1-1211、參照物和參照系要準(zhǔn)確確定質(zhì)點(diǎn)的位置及其變化，必須事先選取另一個(gè)假定不動(dòng)的物體作參照，這個(gè)被選的物體叫做參照物。為了定量地描述物體的運(yùn)動(dòng)需要在參照物上建立坐標(biāo)，構(gòu)成坐標(biāo)系。通常選用直角坐標(biāo)系oxyz，有時(shí)也采用極坐標(biāo)系。平面直角坐標(biāo)系一般有三種，一種是兩軸沿水

35、平豎直方向，另一是兩軸沿平行與垂直斜面方向，第三是兩軸沿曲線的切線和法線方向（我們常把這種坐標(biāo)稱為自然坐標(biāo)）。212、位矢 位移和路程在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置可用三個(gè)坐標(biāo)x，y，z表示，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的坐標(biāo)是時(shí)間的函數(shù)x=x（t） y=y（t） z=z（t）這就是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。質(zhì)點(diǎn)的位置也可用從坐標(biāo)原點(diǎn)o指向質(zhì)點(diǎn)p（x、y、z）的有向線段來表示。如圖2-1-1所示, 也是描述質(zhì)點(diǎn)在空間中位置的物理量。的長度為質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離，的方向由余弦、決定,它們之間滿足當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),其位矢的大小和方向也隨時(shí)間而變,可表示為=(t)。在直角坐標(biāo)系中,設(shè)高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第二講 運(yùn)動(dòng)學(xué)分別為、沿

36、方向、和單位矢量，則可表示為 o2圖2-1-2位矢與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)。研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，不僅要知道它的位置，還必須知道它的位置的變化情況，如果質(zhì)點(diǎn)從空間一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)，相應(yīng)的位矢由1變到2，其改變量為稱為質(zhì)點(diǎn)的位移，如圖2-1-2所示，位移是矢量，它是從初始位置指向終止位置的一個(gè)有向線段。它描寫在一定時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置變動(dòng)的大小和方向。它與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無關(guān)。213、速度平均速度 質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)通過的位移和所用的時(shí)間之比叫做這段時(shí)間內(nèi)的平均速度平均速度是矢量，其方向?yàn)榕c的方向相同。平均速度的大小，與所取的時(shí)間間隔有關(guān)，因此須指明是哪一段時(shí)間（或哪一段位移）的平均速度。瞬時(shí)速度 當(dāng)為無限小量，即

37、趨于零時(shí)，成為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，簡稱速度 瞬時(shí)速度是矢量，其方向在軌跡的切線方向。瞬時(shí)速度的大小稱為速率。速率是標(biāo)量。214、加速度平均加速度 質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)，速度變化量為，則與的比值為這段時(shí)間內(nèi)的平均加速度平均加速度是矢量，其方向?yàn)榈姆较颉Ｋ矔r(shí)加速度 當(dāng)為無限小量，即趨于零時(shí)，與的比值稱為此時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，簡稱加速度加速度是矢量，其方向就是當(dāng)趨于零時(shí)，速度增量的極限方向。215、勻變速直線運(yùn)動(dòng)加速度不隨時(shí)間t變化的直線運(yùn)動(dòng)稱為勻變速直線運(yùn)動(dòng)。若與同方向，則為勻加速直線運(yùn)動(dòng)；若與反方向，則為勻減速直線運(yùn)動(dòng)。勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為： ost12t1t2圖2-1-3ovt圖2-1-4勻變速直線運(yùn)動(dòng)

38、的規(guī)律也可以用圖像描述。其位移時(shí)間圖像（st圖）和速度時(shí)間圖像（vt圖）分別如圖2-1-3和圖2-1-4所示。從(st)圖像可得出：(1)任意一段時(shí)間內(nèi)的位移。(2)平均速度，在（）的時(shí)間內(nèi)的平均速度的大小，是通過圖線上點(diǎn)1、點(diǎn)2的割線的斜率。(3)瞬時(shí)速度，圖線上某點(diǎn)的切線的斜率值，等于該時(shí)刻的速度值。從st圖像可得出：從(vt)圖像可得出：(1)任意時(shí)刻的速度。(2)任意一段時(shí)間內(nèi)的位移，時(shí)間內(nèi)的位移等于vt圖線，時(shí)刻與橫軸所圍的“面積”。這一結(jié)論對(duì)非勻變速直線運(yùn)動(dòng)同樣成立。(3)加速度，vt圖線的斜率等于加速度的值。若為非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，則vt圖線任一點(diǎn)切線的斜率即為該時(shí)刻的瞬時(shí)加速度的

39、大小。2.2 運(yùn)動(dòng)的合成與分解相對(duì)運(yùn)動(dòng)221、運(yùn)動(dòng)的合成與分解(1)矢量的合成與分解矢量的合成與分解的基本方法是平行四邊形法則，即兩分量構(gòu)成平行四邊形的兩鄰邊，合矢量為該平行四邊形與兩分量共點(diǎn)的對(duì)角線。由平行四邊形法則又衍生出三角形法則，多個(gè)矢量的合成又可推導(dǎo)出多邊形法則。同一直線上的矢量的合成與分解可以簡化為代數(shù)運(yùn)算，由此，不在同一直線上的矢量的合成與分解一般通過正交分解法進(jìn)行運(yùn)算，即把各個(gè)矢量向互相垂直的坐標(biāo)軸投影，先在各軸上進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算之后，再進(jìn)行矢量運(yùn)算。(2)運(yùn)動(dòng)的合成和分解運(yùn)動(dòng)的合成與分解是矢量的合成與分解的一種。運(yùn)動(dòng)的合成與分解一般包括位移、速度、加速度等的合成與分解。運(yùn)動(dòng)的合成

40、與分解的特點(diǎn)主要有：運(yùn)動(dòng)的合成與分解總是與力的作用相對(duì)應(yīng)的；各個(gè)分運(yùn)動(dòng)有互不相干的性質(zhì)，即各個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)與其他方向的運(yùn)動(dòng)存在與否無關(guān)，這與力的獨(dú)立作用原理是對(duì)應(yīng)的；位移等物理量是在一段時(shí)間內(nèi)才可完成的，故他們的合成與分解要講究等時(shí)性，即各個(gè)運(yùn)動(dòng)要取相同時(shí)間內(nèi)的位移；瞬時(shí)速度等物理量是指某一時(shí)刻的，故它們的合成分解要講究瞬時(shí)性，即必須取同一時(shí)刻的速度。兩直線運(yùn)動(dòng)的合成不一定就是直線運(yùn)動(dòng)，這一點(diǎn)同學(xué)們可以證明。如：兩勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成仍為勻速直線運(yùn)動(dòng)；兩初速為零（同一時(shí)刻）的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合成仍為初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；在同一直線上的一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)和一個(gè)初速為零的勻變速運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)是一個(gè)初速不

41、為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，如：豎上拋與豎下拋運(yùn)動(dòng)；不在同一直線上的一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)與一個(gè)初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合成是一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)，如：斜拋運(yùn)動(dòng)。222、相對(duì)運(yùn)動(dòng)任何物體的運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)于一定的參照系而言的，相對(duì)于不同的參照系，同一物體的運(yùn)動(dòng)往往具有不同的特征、不同的運(yùn)動(dòng)學(xué)量。通常將相對(duì)觀察者靜止的參照系稱為靜止參照系；將相對(duì)觀察者運(yùn)動(dòng)的參照系稱為運(yùn)動(dòng)參照系。物體相對(duì)靜止參照系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度；物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為相對(duì)速度和相對(duì)加速度；而運(yùn)動(dòng)參照系相對(duì)靜止參照系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為牽

42、連速度和牽連加速度。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)的速度關(guān)系是：絕對(duì)速度等于相對(duì)速度和牽連速度的矢量和。這一結(jié)論對(duì)運(yùn)動(dòng)參照系是相對(duì)于靜止參照系作平動(dòng)還是轉(zhuǎn)動(dòng)都成立。當(dāng)運(yùn)動(dòng)參照系相對(duì)靜止參照系作平動(dòng)時(shí)，加速度也存在同樣的關(guān)系：當(dāng)運(yùn)動(dòng)參照系相對(duì)靜止參照系作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，這一關(guān)系不成立。如果有一輛平板火車正在行駛，速度為（腳標(biāo)“火地”表示火車相對(duì)地面，下同）。有一個(gè)大膽的駕駛員駕駛著一輛小汽車在火車上行駛，相對(duì)火車的速度為，那么很明顯，汽車相對(duì)地面的速度為：（注意：和不一定在一條直線上）如果汽車中有一只小狗，以相對(duì)汽車為的速度在奔跑，那么小狗相對(duì)地面的速度就是從以上二式中可看到，上列相對(duì)運(yùn)動(dòng)的式子要遵守以下

43、幾條原則：合速度的前腳標(biāo)與第一個(gè)分速度的前腳標(biāo)相同。合速度的后腳標(biāo)和最后一個(gè)分速度的后腳標(biāo)相同。前面一個(gè)分速度的后腳標(biāo)和相鄰的后面一個(gè)分速度的前腳標(biāo)相同。所有分速度都用矢量合成法相加。速度的前后腳標(biāo)對(duì)調(diào)，改變符號(hào)。以上求相對(duì)速度的式子也同樣適用于求相對(duì)位移和相對(duì)加速度。相對(duì)運(yùn)動(dòng)有著非常廣泛的應(yīng)用，許多問題通過它的運(yùn)用可大為簡化，以下舉兩個(gè)例子。6030vb=20m/sva=10m/s圖2-2-1例 如圖2-2-1所示，在同一鉛垂面上向圖示的兩個(gè)方向以的初速度拋出a、b兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，問1s后a、b相距多遠(yuǎn)？這道題可以取一個(gè)初速度為零，當(dāng)a、b拋出時(shí)開始以加速度g向下運(yùn)動(dòng)的參考系。在這個(gè)參考系中，a、

44、b二個(gè)質(zhì)點(diǎn)都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而且方向互相垂直，它們之間的距離m在空間某一點(diǎn)o，向三維空間的各個(gè)方向以相同的速度射出很多個(gè)小球，球ts之后這些小球中離得最遠(yuǎn)的二個(gè)小球之間的距離是多少（假設(shè)ts之內(nèi)所有小球都未與其它物體碰撞）？這道題初看是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，要考慮向各個(gè)方向射出的小球的情況。但如果我們?nèi)∫粋€(gè)在小球射出的同時(shí)開始自o點(diǎn)自由下落的參考系，所有小球就都始終在以o點(diǎn)為球心的球面上，球的半徑是，那么離得最遠(yuǎn)的兩個(gè)小球之間的距離自然就是球的直徑2。2.3拋體運(yùn)動(dòng)231、曲線運(yùn)動(dòng)的基本知識(shí)pqo1r1o2a1a2b1b2圖2-3-1軌跡為曲線的運(yùn)動(dòng)叫曲線運(yùn)動(dòng)。它一定是一個(gè)變速運(yùn)動(dòng)。圖2-3-1

45、表示一質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，它經(jīng)過p點(diǎn)時(shí)，在p點(diǎn)兩旁的軌跡上取兩點(diǎn)，過三點(diǎn)可作一圓，當(dāng)這兩點(diǎn)無限趨近于p點(diǎn)時(shí)，則圓亦趨近于一個(gè)定圓，我們把這個(gè)圓叫p點(diǎn)的曲率圓，曲率圓的半徑叫p點(diǎn)的曲率半徑，曲率圓的圓心叫p點(diǎn)的曲率中心，曲率半徑的倒數(shù)叫p點(diǎn)的曲率。如圖2-3-1，亦可做出q點(diǎn)的曲率圓。曲率半徑大，曲率小，表示曲線彎曲較緩，曲率半徑小，曲率大，表示曲線彎曲厲害。直線可認(rèn)為是曲率半徑為無窮大的曲線。avavbv1vbv2cvb圖2-3-2質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的方向總是沿該點(diǎn)的切線方向。如圖2-3-2所示，質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)沿曲線由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，速度由v變化到vb，則其速度增量為兩者之矢量差，=vbv，

46、這個(gè)速度增量又可分解成兩個(gè)分量：在vb上取一段ac等于v，則v分解成v和v，其中v表示質(zhì)點(diǎn)由a運(yùn)動(dòng)到b的速度方向上的增量，v表示速度大小上的增量。法向加速度a表示質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)速度方向改變的快慢，其大小為在a點(diǎn)的曲率圓的向心加速度：其方向指向a點(diǎn)的曲率中心。切向加速度表示質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)速度大小改變的快慢，方向亦沿切線方向，其大小為總加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。232、拋物運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要特例物體以一定的初速度拋出后，若忽略空氣阻力，且物體的運(yùn)動(dòng)在地球表面附近，它的運(yùn)動(dòng)高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地球半徑，則在運(yùn)動(dòng)過程中，其加速度恒為豎直向下的重力加速度。因此，拋體運(yùn)動(dòng)是一種加速度恒定

47、的曲線運(yùn)動(dòng)。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的疊加原理，拋體運(yùn)動(dòng)可看成是由兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)疊加而成。常用的處理方法是:將拋體運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。如圖2-3-3。取拋物軌跡所在平面為平面，拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸。則拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為：其軌跡方程為這是開口向下的拋物線方程。在拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)在同一水平面上的情況下，飛行時(shí)間t，射程r和射高h(yuǎn)分別為 拋體運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性，上升時(shí)間和下降時(shí)間（拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)在同一水平面上）相等（一般地，從某一高度上升到最高點(diǎn)和從最高點(diǎn)下降到同一高度的時(shí)間相等）；上升和下降時(shí)經(jīng)過同一高度時(shí)速度大小相等，速度方向與水平方向的夾角大小相等。下

48、面介紹一種特殊的拋體運(yùn)動(dòng)平拋運(yùn)動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的運(yùn)動(dòng)叫平拋運(yùn)動(dòng)。它可以看成水平方向上的勻速運(yùn)動(dòng)（速度為v0）與豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)的合成。xyov0gvvxvy圖2-3-4速度：采用水平豎直方向的直角坐標(biāo)可得： ，其合速度的大小為，其合速度的方向?yàn)椋ㄔO(shè)水平方向夾角為），可見，當(dāng)時(shí)，即表示速度趨近于自由落體的速度。位移：仍按上述坐標(biāo)就有，。仿上面討論也可得到同樣結(jié)論，當(dāng)時(shí)間很長時(shí)，平拋運(yùn)動(dòng)趨近于自由落體運(yùn)動(dòng)。加速度：采用水平和豎直方向直角坐標(biāo)系有,，用自然坐標(biāo)進(jìn)行分解，如圖2-3-4其法向加速度為，切向加速度為，為速度與水平向方的夾角，將速度在水平與豎直方向的坐

49、標(biāo)系中分解可知：由此可知，其法向加速度和切向加速度分別為：由上兩式可以看出，隨著時(shí)間的推移，法向加速度逐漸變小趨近于零，切向加速度趨近于定值g，這表示越來越接近豎直下拋運(yùn)動(dòng)。在生活中也很容易看到，平拋物體的遠(yuǎn)處時(shí)就接近豎直下落了。運(yùn)動(dòng)的軌跡方程：abcsh圖2-3-5從方程可以看出，此圖線是拋物線，過原點(diǎn)，且越大，圖線張開程度大，即射程大。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，經(jīng)常把斜拋運(yùn)動(dòng)分解成水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的豎直上拋運(yùn)動(dòng)來處理，但有時(shí)也可以用其它的分解分法。拋體運(yùn)動(dòng)另一種常用的分解方法是：分解沿方向的速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)二個(gè)分運(yùn)動(dòng)。如圖2-3-5所示，從a點(diǎn)以的初速

50、度拋出一個(gè)小球，在離a點(diǎn)水平距離為s處有一堵高度為h的墻bc，要求小球能越過b點(diǎn)。問小球以怎樣的角度拋出，才能使最??？將斜拋運(yùn)動(dòng)看成是方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和另一個(gè)自由落體運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，如圖2-3-6所示。abchd圖2-3-6在位移三角形adb在用正弦定理 軌跡：由直角坐標(biāo)的位移公式消去時(shí)間參數(shù)t便可得到直角坐標(biāo)系中的平拋運(yùn)由式中第一個(gè)等式可得 將式代入式中第二個(gè)等式當(dāng)有極大值1時(shí)，即時(shí)，有極小值。因?yàn)椋援?dāng)小球越過墻頂時(shí)，y方向的位移為零，由式可得式代入式：我們還可用另一種處理方法以ab方向作為x軸（圖2-3-7）這樣一取，小球在x、y方向上做的都是勻變速運(yùn)動(dòng)了，和g都要正交分解到x、y方向

51、上去。小球運(yùn)動(dòng)的方程為abcxyg圖2-3-7當(dāng)最大，即時(shí)，有極小值2.4質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)xyopr圖2-4-1剛體平面平行運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)241、質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)如圖2-4-1所示，質(zhì)點(diǎn)p在半徑為r的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的位置可用角度表示（習(xí)慣上以逆時(shí)針轉(zhuǎn)角正，順時(shí)針轉(zhuǎn)角為負(fù)），轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢用角速度表示：質(zhì)點(diǎn)p的速度方向在圓的切線方向，大小為（或v）為常量的圓周運(yùn)動(dòng)稱為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這里的“勻速”是指勻角速度或勻速率，速度的方向時(shí)刻在變。因此，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)具有加速度，其加速度沿半徑指向圓心，稱為向心加速度（法向加速度）。向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。(2)變速圓周運(yùn)動(dòng) （或v）隨時(shí)間變化的圓周運(yùn)動(dòng)，稱為變速圓周運(yùn)動(dòng)，描述角速度變化快慢的物理量為角加速度質(zhì)點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度的大小和方向都在變化。將速度增量分解為與平行的分量和垂直的分量