完美版圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(2)

1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F、 F2 的距離的和等于常數(shù)2 a （大于 | F F2 | ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓11的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c 叫橢圓的焦距。若M 為橢圓上任意一點(diǎn)，則有| MF1 | | MF 2 |2a 。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y21（ a b0y2x 21（ ab 0 ）（焦點(diǎn)在 y 軸a2b2）（焦點(diǎn)在 x 軸上）或2b 2a上）。注：以上方程中a,b 的大小 ab0 ，其中 b2a2c2 ；在 x2y21 和 y2x21 兩個(gè)方程中都有 ab0 的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x2 和 y2的分a2b2a2b2母的大小。

2、例如橢圓x2y2（ m0， n 0 ， mn ）當(dāng) mn 時(shí)表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓；當(dāng) mn 時(shí)m1n表示焦點(diǎn)在y 軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)x2y21 知 | x | a ， | y | b ，說明橢圓位于直線 xa ， yb 所圍成的矩形里；范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程b2a2對稱性：在曲線方程里，若以y 代替 y 方程不變，所以若點(diǎn)(x, y) 在曲線上時(shí)，點(diǎn)(x, y) 也在曲線上，所以曲線關(guān)于 x 軸對稱，同理，以x 代替 x 方程不變，則曲線關(guān)于y 軸對稱。若同時(shí)以x 代替 x ， y 代替 y方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以，橢圓關(guān)于x 軸、 y 軸和原點(diǎn)對稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的

3、對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x 軸、 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x0 ，得 yb ，則 B1(0,b) ， B2 (0, b) 是橢圓與 y 軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令y0 得 xa ，即 A1 ( a,0) ，A2 (a,0) 是橢圓與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段A1 A2 、 B1B2 分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a 和 2b ， a 和 b 分別叫做橢圓的長1 / 15半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知： 橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a

4、 ；在 Rt OB2 F2 中，| OB2 |b ，|OF2 | c ，| B2 F2 | a ，且 |OF2 |2 | B2 F2 |2| OB2 |2 ，即 c2a2b2 ；離心率： 橢圓的焦距與長軸的比ec0e1，且 e 越接近 1， c 就叫橢圓的離心率 。 a c 0 ，a越接近 a ，從而 b 就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，e 越接近于 0 ， c 就越接近于0 ，從而 b 越接近于 a ，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)， c0 ，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2y2a2 。2雙曲線（ 1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（| PF1

5、| | PF2 |2a ）。注 意 ： 式 中 是 差 的 絕 對 值 ， 在 02a | F1 F2 | 條 件 下 ； | PF1 | | PF2 | 2a 時(shí) 為 雙 曲 線 的 一 支 ；| PF2 | PF1 |2a時(shí)為雙曲線的另一支（含F(xiàn)1 的一支）；當(dāng) 2a| F1F2 | 時(shí)， | PF1 | PF2 |2a表示兩條射線；當(dāng) 2a | F1F2| 時(shí)， | PF1 | PF2 | 2a 不表示任何圖形；兩定點(diǎn)F1 , F2 叫做雙曲線的焦點(diǎn)，| F1F2 | 叫做焦距。（ 2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程x 2y21 ，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線xa 的外側(cè)。即

6、a 2b2x2a 2 ， xa 即雙曲線在兩條直線xa 的外側(cè)。對稱性：雙曲線x 2y 21關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)a2b2是雙曲線 x 2y 21的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。a 2b 2頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線x2y 2x, y 軸，所a 21的方程里，對稱軸是b2以令 y0 得 xa ，因此雙曲線和x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) A ( a,0) A2 ( a,0)，他們是雙曲線x 2y21 的頂點(diǎn)。a 2b2令 x0，沒有實(shí)根，因此雙曲線和y 軸沒有交點(diǎn)。2 / 151）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的

7、（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。22叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于2a, a叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段2）實(shí)軸：線段A AB B 叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b,b 叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線x2y2a21 的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。b2等軸雙曲線：1）定義： 實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式： ab ；2）等軸雙曲線的性質(zhì)： （ 1）漸近線方程為： yx ；（ 2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，

8、即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3a b220x 軸，）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為：，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在當(dāng) 0時(shí)焦點(diǎn)在 y 軸上。注意 x 2y 21與 y2x21 的區(qū)別：三個(gè)量a,b, c 中 a,b 不同（互換） c 相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)169916軸也變了。3拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F 和一條定直線l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn) F 不在定直線l 上 )。定點(diǎn) F 叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l 叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程 y 22 pxp0 叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x 軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（ p ,0 ），

9、它的準(zhǔn)線方程是xp；22（ 2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式： y22 px ， x22 py ， x 22 py .這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：3 / 15y22 pxy22 pxx22 pyx22 py標(biāo)準(zhǔn)方程0)( p0)( p0)( p0)( pFl yyy圖形loxo FxFoxl焦點(diǎn)坐標(biāo)( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )2222準(zhǔn)線方程pxpypypx2222范圍x 0x0y0y0對稱性x 軸x 軸y 軸y 軸頂點(diǎn)(0,0)(0,0)(0,0)(0

10、,0)離心率e 1e1e1e1說明：（1）通徑： 過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（ 2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（ 3）注意強(qiáng)調(diào) p 的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。4. 高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識(shí)點(diǎn)梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡) 上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1) 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2) 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點(diǎn)與曲線的關(guān)系：若曲線C 的

11、方程是f(x,y)=0，則點(diǎn) P0(x 0,y 0) 在曲線 C 上f(x 0,y0)=0 ；點(diǎn)P0(x 0,y 0) 不在曲線C 上f(x 0,y 0) 0。兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線C1， C2 的方程分別為f 1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點(diǎn) P0(x 0,y 0) 是 C1， C2 的交點(diǎn)f1( x0 , y0 )0n 個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒方程組有 n 個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有f 2 ( x0 , y0 )0有交點(diǎn)。二、圓：1、定義： 點(diǎn)集 M OM=r ，其中定點(diǎn) O為圓心，定長r 為半徑 .4 / 152、方程： (1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在c(a,b)，半

12、徑為 r 的圓方程是 (x-a)2+(y-b) 2=r 2圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r 的圓方程是 x2+y 2=r 2(2) 一般方程：當(dāng)2222(D ,E ) 半徑D +E -4F 0時(shí)，一元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為22是 D 2E 24 F。配方，將方程x2+y 2+Dx+Ey+F=0化為 (x+ D ) 2+(y+E ) 2= D 2E 2 - 4F2D ,-E );224當(dāng) D2+E2-4F=0 時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-22當(dāng) D2+E2-4F 0 時(shí)，方程不表示任何圖形 .（ 3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心 C(a,b),半徑為 r, 點(diǎn) M的坐標(biāo)為

13、 (x0,y ) ，則 MC r點(diǎn) M在圓 C內(nèi)，0MC =r點(diǎn) M在圓 C上， MC r點(diǎn) M在圓 C內(nèi)，其中 MC =(x 0 - a)2(y 0 - b) 2 。（ 4）直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離沒有公共點(diǎn)。直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i) 判別式法； (ii) 利用圓心 C(a,b)到直線 Ax+By+C=0的距離 dAaBb CA2B2與半徑 r 的大小關(guān)系來判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y) 到一個(gè)定點(diǎn) F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l 的距離之

14、比是一個(gè)常數(shù) e(e 0), 則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0) 稱為焦點(diǎn)，定直線 l 稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e 稱為離心率。當(dāng) 0 e1 時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng) e=1 時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng) e 1 時(shí)，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線：橢圓雙曲線拋物線1到兩定點(diǎn) F1,F 2 的距離之和為定值 2a(2a|F F |)1到兩定點(diǎn) F1,F 2 的距離之差的的12絕對值為定值 2a(02a1）（ 0e0)1(a0,b0)方程a 2b2a 2b2程參數(shù)xa cosxasecyb sinyb tan方程(參數(shù) 為離心角）(參數(shù) 為離心角）范圍 a x a， b y b|x|a ，y R

15、中心原點(diǎn) O（ 0，0）原點(diǎn) O（ 0， 0）頂點(diǎn)(a,0), ( a,0),(a,0), ( a,0)(0,b) , (0, b)對稱軸x 軸， y 軸；x 軸， y 軸 ;長軸長 2a, 短軸長 2b實(shí)軸長 2a,虛軸長 2b.焦點(diǎn)F1(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)22y22 pxx2 pt 2 (t 為參數(shù) )y 2 ptx 0(0,0)x 軸pF (,0)x= ax= ax=-p準(zhǔn) 線cc2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸， 且在兩頂點(diǎn)的外 .內(nèi)側(cè) .且到頂點(diǎn)的距離相等 .焦距2c（ c=a 2b2）2c （ c= a2b

16、2）離心率ec (0e1)ec (e1)e=1aa【備注 1】雙曲線：等軸雙曲線：雙曲線x 2 y 2a2 稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為yx ，離心率 e2 .共軛雙曲線： 以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線， 叫做已知雙曲線的共軛雙曲線 . x2y2與a 2b 2x2y 2互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：x 2y20.a 2b 2a 2b2共漸近線的雙曲線系方程：x2y 2(0) 的漸近線方程為x 2y 20 如果雙曲線的漸近線為xy時(shí)，a2b 2a 2b 2a0b6 / 15它的雙曲線方程可設(shè)為x 2y2(0) .a 2b 2【備注 2】拋物線：（ 1）拋物線 y2 =2

17、px(p0) 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (p ,0) ，準(zhǔn)線方程 x=-p ，開口向右；拋物線y2 =-2px(p0)的焦點(diǎn)坐22標(biāo)是 (- p ,0) ，準(zhǔn)線方程 x=p ，開口向左；拋物線x2=2py(p0) 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (0,p ) ，準(zhǔn)線方程 y=-p，開2222口向上；拋物線 x2 =-2py （ p0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-p ），準(zhǔn)線方程 y=p ，開口向下 .22p ；拋物線 y2 =-2px(p0)（ 2）拋物線 y 2 =2px(p0) 上的點(diǎn) M(x0,y0)與焦點(diǎn) F 的距離 MFx0上的點(diǎn) M(x0,y0)2與焦點(diǎn) F 的距離MFpx02p ，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p ，焦點(diǎn)（ 3）設(shè)

18、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0) ，則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為22到準(zhǔn)線的距離為 p.（ 4）已知過拋物線y 2=2px(p0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B 兩點(diǎn)，則線段 AB稱為焦點(diǎn)弦， 設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長 AB = x1x2 +p 或 AB2 p( 為直線 AB的傾斜角 ) ， y1 y2p 2 ， x1 x2p2, AFx1p (AFsin 242叫做焦半徑 ).五、坐標(biāo)的變換：（ 1）坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換( 如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向) 叫做坐標(biāo)變換 . 實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變

19、點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程.（ 2）坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變原點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。（ 3）坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系 xOy 中的坐標(biāo)是（ x,y) ，在新坐標(biāo)系 x O y中的坐標(biāo)是 ( x , y ) . 設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O在原坐標(biāo)系 xOy 中的坐標(biāo)是 (h,k)xxhxxh，則yyk或yky叫做平移 ( 或移軸 ) 公式 .（ 4）中心或頂點(diǎn)在 (h,k)的圓錐曲線方程見下表：方程焦 點(diǎn)焦線對稱軸(x - h)2+ (y - k)2x= a2x=h=1( c+h,k)+hy=ka2b2c橢圓(x - h)2+

20、 (y - k)2y= a2x=h=1(h, c+k)+ky=kb 2a 2c7 / 15222x=h(x - h)- (y - k)=1( c+h,k)x= a+ky=ka2b2c雙曲線222x=h(y - k)- (x - h)=1(h, c+h)y= a+ky=ka 2b 2c(y-k)2=2p(x-h)( p +h,k)x=-p +hy=k22(y-k)2=-2p(x-h)(-p +h,k)x=p +hy=k22拋物線(x-h)2(h,p+k)y=-p+kx=h=2p(y-k)22(x-h)2=-2p(y-k)(h,-p +k)y=p +kx=h22六、橢圓的常用結(jié)論：1. 點(diǎn) P 處

21、的切線 PT 平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的外角 .2. PT平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn) .3. 以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離 .4.以焦點(diǎn)半徑PF1 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5.x2y21 上，則過x0 xy0 y1.若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓b2P0 的橢圓的切線方程是b2a2a26.若 0 00)在橢圓 x2y21 外，則過0 作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、 P2，則切點(diǎn)弦 P1P2 的直線方程是P ( x , ya2b2Px0 xy0 y1.a2b27.橢圓 x2

22、y212，則橢圓的焦點(diǎn)a2b21 (a b 0) 的左右焦點(diǎn)分別為 F ， F ，點(diǎn) P 為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2角形的面積為 S F PFb2 tan .1228.橢圓 x2y21 （a b 0）的焦半徑公式a2b2| MF1 | a ex0 ,| MF2 | aex0 ( F1 ( c,0) ,F2 (c,0)M ( x0 , y0 ) ).8 / 159.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F 作直線與橢圓相交P 、 Q兩點(diǎn)， A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和 AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F 的橢圓準(zhǔn)線于M、 N 兩點(diǎn)，則MF NF.10.過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F 的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、 Q, A 1、 A2 為橢圓長

23、軸上的頂點(diǎn)，A1P 和 A2Q交于點(diǎn) M，A2P 和 A1Q交于點(diǎn) N，則 MF NF.11.AB是橢圓x2y21的不平行于對稱軸的弦， M( x0 , y0 ) 為 AB的中點(diǎn)，則 kOM kABb2a2b2a2 ，即K ABb 2 x0。a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓x2y2x0 x y0 y x0 2y0 2；a2b21 內(nèi)，則被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是a2b2a2b2【推論】：x2y2x2y2x0 x y0 y。橢圓x2y211、若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓2b21內(nèi)，則過 Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是2b2a2b2a2b2aa（ a b o）

24、的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1( a,0) , A2 (a,0) ，與 y 軸平行的直線交橢圓于1、 21 12 2P P時(shí) A P 與 A P 交點(diǎn)的軌跡方程是 x2y21.a2b22、過橢圓 x2y21 (a 0, b 0) 上任一點(diǎn) A(x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C 兩點(diǎn)，則直a2b2線 BC有定向且 kBCb2 x0 （常數(shù)） .a2 y03、若 P 為橢圓 x2y21（ ab 0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F 1, F 2 是焦點(diǎn) ,PF1F2,PF2 F1，a2b2則 actan2co t .ac24、設(shè)橢圓 x2y21（ a b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P（

25、異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2 中，記a2b2F1 PF2,PF1F2,F1 F2 P，則有sincsine.sina5、若橢圓 x2y21（ a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為 L，則當(dāng) 0e21時(shí)，可在橢圓上a2b2求一點(diǎn) P，使得 PF 是 P 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d 與 PF 的比例中項(xiàng) .126、 P 為橢圓 x2y21（ a b 0）上任一點(diǎn) ,F 1,F 2 為二焦點(diǎn)， A 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則a2b29 / 152a| AF2 | | PA | PF1 |2a| AF1 | , 當(dāng)且僅當(dāng)A, F2 , P 三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立 .7、橢圓 (xx0 )

26、2( yy0 ) 21與直線 AxByC 0 有公共點(diǎn)的充要條件是a2b2A2a 2B2b 2( Ax0By 0C ) 2 .8、已知橢圓 x2y21（ a b 0）， O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、 Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OPOQ . （ 1）a2b21111224a2b2a2b22 .22a22 ; （ 2） |OP| +|OQ|的最大值為a2b2 ; （ 3） S OPQ 的最小值是a2b| OP | | OQ |b9、過橢圓 x2y21（ ab 0）的右焦點(diǎn) F 作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦 MN的垂直平分線交x 軸于 P，a2b2則 | PF |e .| MN |210、已知橢圓 x2y2

27、1（ a b 0） ,A 、B、是橢圓上的兩點(diǎn)， 線段 AB的垂直平分線與 x 軸相交于點(diǎn) P( x0 ,0) ,a2b2a2b2a2b2則ax0a.11、設(shè) P 點(diǎn)是橢圓x2y21 （ a b0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F 1、 F2 為其焦點(diǎn)記F1 PF2，則a2b2(1) | PF1 | PF2 |2b2.(2)S PF Fb2 tan .1 cos12212、設(shè) A、 B 是橢圓 x2y21（ a b0）的長軸兩端點(diǎn)，P 是橢圓上的一點(diǎn)，PAB,a2b2PBA,BPA， c、e 分別是橢圓的半焦距離心率，則有2ab2 | cos|(1) | PA |c2 cos2.(2)a2tanta

28、n1e2 .(3)S PAB2a2b2cot.b2a213、已知橢圓 x2y21（ a b 0）的右準(zhǔn)線 l 與 x 軸相交于點(diǎn) E ，過橢圓右焦點(diǎn)F 的直線與橢圓相交于 A、a2b2B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) C 在右準(zhǔn)線 l 上，且 BCx 軸，則直線 AC經(jīng)過線段 EF 的中點(diǎn) .14、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15、過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.10 / 1516、橢圓焦三角形中, 內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e( 離心率 ).（注 : 在橢圓焦三

29、角形中 , 非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn). ）17、橢圓焦三角形中, 內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中, 半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).七、雙曲線的常用結(jié)論：1、點(diǎn) P處的切線 PT 平分 PF F 在點(diǎn) P 處的 內(nèi)角 .122、 PT 平分 PF1F2 在點(diǎn) P 處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT 上的射影 H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn) .3、以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相交 .4、以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切 . （內(nèi)切： P 在右支；外切： P 在左支）x2y21（ a 0,b 0）上，則過 P0 的雙曲線的切線方程是x0 xy0 y1.5、若 P0 (x0 , y0 ) 在雙